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(2) 一个正方体的底面周长是12 cm，它的体积是(
① 9
② 27
③ 36
②
)cm³。① 9
② 27
③ 36
答案
4. (2) ②
解析
【分析】
要解决这个问题，我们需要先通过正方体底面的周长求出底面边长，再利用正方体体积公式计算体积。首先，正方体的底面是正方形，根据正方形周长公式“周长=边长×4”，可推导出边长=周长÷4；得到边长后，再根据正方体体积公式“体积=边长×边长×边长”计算出体积，最后对比选项选出正确答案。
【解析】
1. 求正方体底面边长：
已知底面周长是12cm，正方形周长公式为$C = 4a$（$C$表示周长，$a$表示边长），则边长$a = C÷4 = 12÷4 = 3$cm。
2. 计算正方体体积：
正方体体积公式为$V = a^3$（$V$表示体积），则体积$V = 3×3×3 = 27$cm³。
因此对应选项②。
【答案】
②
【知识点】
正方形周长公式、正方体体积公式
【点评】
本题主要考查正方形周长和正方体体积公式的综合运用，解题关键是通过底面周长求出正方体的棱长，再代入体积公式计算，属于基础题型，需要熟练掌握相关公式的转换与应用。
【难度系数】
0.8
要解决这个问题，我们需要先通过正方体底面的周长求出底面边长，再利用正方体体积公式计算体积。首先，正方体的底面是正方形，根据正方形周长公式“周长=边长×4”，可推导出边长=周长÷4；得到边长后，再根据正方体体积公式“体积=边长×边长×边长”计算出体积，最后对比选项选出正确答案。
【解析】
1. 求正方体底面边长：
已知底面周长是12cm，正方形周长公式为$C = 4a$（$C$表示周长，$a$表示边长），则边长$a = C÷4 = 12÷4 = 3$cm。
2. 计算正方体体积：
正方体体积公式为$V = a^3$（$V$表示体积），则体积$V = 3×3×3 = 27$cm³。
因此对应选项②。
【答案】
②
【知识点】
正方形周长公式、正方体体积公式
【点评】
本题主要考查正方形周长和正方体体积公式的综合运用，解题关键是通过底面周长求出正方体的棱长，再代入体积公式计算，属于基础题型，需要熟练掌握相关公式的转换与应用。
【难度系数】
0.8
(3) 一个正方体的棱长是6 cm，它的表面积和体积相比(
① 体积大
② 一样大
③ 无法比较
③
)。① 体积大
② 一样大
③ 无法比较
答案
4. (3) ③
解析
【分析】
要解决这道题，首先得明确正方体表面积和体积的概念：表面积是正方体6个面的总面积，属于面积类的量；体积是正方体所占空间的大小，属于体积类的量。接下来思考，不同类型的量，它们的单位不同，所表示的物理意义也完全不一样，就像长度和重量无法比较一样，所以表面积和体积是无法比较大小的。
【解析】
正方体的表面积是指其6个面的总面积，计算公式为$S = 6a^2$（$a$为棱长），单位是平方厘米等面积单位，反映的是平面的大小；
正方体的体积是指其所占空间的大小，计算公式为$V = a^3$，单位是立方厘米等体积单位，反映的是空间的大小。
由于表面积和体积表示的是不同意义的量，单位也不相同，因此二者无法比较大小。
【答案】
③
【知识点】
正方体表面积与体积概念、不同类量比较
【点评】
本题主要考查对正方体表面积和体积概念的理解，易错点在于部分学生可能仅计算出数值后直接比较大小，忽略了二者所表示的意义和单位的差异。解题的关键是明确不同类别的量不能进行大小比较。
【难度系数】
0.8
要解决这道题，首先得明确正方体表面积和体积的概念：表面积是正方体6个面的总面积，属于面积类的量；体积是正方体所占空间的大小，属于体积类的量。接下来思考，不同类型的量，它们的单位不同，所表示的物理意义也完全不一样，就像长度和重量无法比较一样，所以表面积和体积是无法比较大小的。
【解析】
正方体的表面积是指其6个面的总面积，计算公式为$S = 6a^2$（$a$为棱长），单位是平方厘米等面积单位，反映的是平面的大小；
正方体的体积是指其所占空间的大小，计算公式为$V = a^3$，单位是立方厘米等体积单位，反映的是空间的大小。
由于表面积和体积表示的是不同意义的量，单位也不相同，因此二者无法比较大小。
【答案】
③
【知识点】
正方体表面积与体积概念、不同类量比较
【点评】
本题主要考查对正方体表面积和体积概念的理解，易错点在于部分学生可能仅计算出数值后直接比较大小，忽略了二者所表示的意义和单位的差异。解题的关键是明确不同类别的量不能进行大小比较。
【难度系数】
0.8
(4) 在一个长8 cm、宽6 cm、高5 cm的长方体上，截下一个最大的正方体，正方体的体积是(
① 512
② 216
③ 125
③
)立方厘米。① 512
② 216
③ 125
答案
4. (4) ③
解析
【分析】
要解决在长方体上截最大正方体的问题，首先需明确：正方体的所有棱长都相等，所以截得的正方体的棱长不能超过长方体长、宽、高中的最小值，否则无法在长方体中截出该正方体。观察题目中长方体的长8cm、宽6cm、高5cm，其中最小的长度是5cm，因此最大正方体的棱长只能是5cm。接下来根据正方体体积公式计算体积，即可得出答案。
【解析】
1. 确定最大正方体的棱长：
长方体的长、宽、高分别为8cm、6cm、5cm，其中最小的边长为5cm，所以截得的最大正方体的棱长为5cm。
2. 计算正方体体积：
根据正方体体积公式$V = a^3$（其中$a$为正方体棱长），代入$a=5cm$，可得：
$V = 5×5×5 = 125$（立方厘米）
因此应选择③。
【答案】
③
【知识点】
1. 正方体体积计算
2. 长方体截最大正方体的判定
【点评】
本题主要考查长方体与正方体的特征及正方体体积公式的应用，解题关键是准确判断出能截出的最大正方体的棱长，易错点是误将长方体的长或宽当作正方体的棱长进行计算，属于基础题型，有助于巩固对立体图形基本特征和体积公式的掌握。
【难度系数】
0.8
要解决在长方体上截最大正方体的问题，首先需明确：正方体的所有棱长都相等，所以截得的正方体的棱长不能超过长方体长、宽、高中的最小值，否则无法在长方体中截出该正方体。观察题目中长方体的长8cm、宽6cm、高5cm，其中最小的长度是5cm，因此最大正方体的棱长只能是5cm。接下来根据正方体体积公式计算体积，即可得出答案。
【解析】
1. 确定最大正方体的棱长：
长方体的长、宽、高分别为8cm、6cm、5cm，其中最小的边长为5cm，所以截得的最大正方体的棱长为5cm。
2. 计算正方体体积：
根据正方体体积公式$V = a^3$（其中$a$为正方体棱长），代入$a=5cm$，可得：
$V = 5×5×5 = 125$（立方厘米）
因此应选择③。
【答案】
③
【知识点】
1. 正方体体积计算
2. 长方体截最大正方体的判定
【点评】
本题主要考查长方体与正方体的特征及正方体体积公式的应用，解题关键是准确判断出能截出的最大正方体的棱长，易错点是误将长方体的长或宽当作正方体的棱长进行计算，属于基础题型，有助于巩固对立体图形基本特征和体积公式的掌握。
【难度系数】
0.8
(5) 一个正方体的棱长扩大到原来的2倍，它的棱长总和扩大到原来的(
① 2
② 4
③ 8
①
)倍，表面积扩大到原来的(②
)倍，体积扩大到原来的(③
)倍。① 2
② 4
③ 8
答案
4. (5) ① ② ③
解析
【分析】
要解决这道题，我们可以通过设数法结合正方体的相关公式逐步分析：
1. 先假设正方体原来的棱长为$a$，回忆正方体棱长总和、表面积、体积的核心公式：
棱长总和公式：$L = 12×\mathrm{棱长}$
表面积公式：$S = 6×\mathrm{棱长}^2$
体积公式：$V = \mathrm{棱长}^3$
2. 计算棱长扩大到原来2倍后（新棱长为$2a$）的各量，再分别与原量作比，从而得到扩大的倍数：
先对比棱长总和的原量与新量，求倍数；
再对比表面积的原量与新量，求倍数；
最后对比体积的原量与新量，求倍数。
【解析】
设正方体原来的棱长为$a$：
1. 棱长总和的变化：
原棱长总和：$L_1 = 12a$
棱长扩大到原来的2倍后，新棱长为$2a$，新棱长总和：$L_2 = 12×2a = 24a$
倍数：$L_2÷L_1 = 24a÷12a = 2$，即棱长总和扩大到原来的2倍。
2. 表面积的变化：
原表面积：$S_1 = 6a^2$
新表面积：$S_2 = 6×(2a)^2 = 6×4a^2 = 24a^2$
倍数：$S_2÷S_1 = 24a^2÷6a^2 = 4$，即表面积扩大到原来的4倍。
3. 体积的变化：
原体积：$V_1 = a^3$
新体积：$V_2 = (2a)^3 = 8a^3$
倍数：$V_2÷V_1 = 8a^3÷a^3 = 8$，即体积扩大到原来的8倍。
【答案】
① ② ③
【知识点】
正方体棱长总和计算、正方体表面积计算、正方体体积计算
【点评】
本题考查正方体棱长与棱长总和、表面积、体积的数量关系，设数法是最直观的解题方式。需要注意区分表面积（与棱长平方成正比）和体积（与棱长立方成正比）的变化规律，避免混淆，属于基础必掌握题型。
【难度系数】
0.8
要解决这道题，我们可以通过设数法结合正方体的相关公式逐步分析：
1. 先假设正方体原来的棱长为$a$，回忆正方体棱长总和、表面积、体积的核心公式：
棱长总和公式：$L = 12×\mathrm{棱长}$
表面积公式：$S = 6×\mathrm{棱长}^2$
体积公式：$V = \mathrm{棱长}^3$
2. 计算棱长扩大到原来2倍后（新棱长为$2a$）的各量，再分别与原量作比，从而得到扩大的倍数：
先对比棱长总和的原量与新量，求倍数；
再对比表面积的原量与新量，求倍数；
最后对比体积的原量与新量，求倍数。
【解析】
设正方体原来的棱长为$a$：
1. 棱长总和的变化：
原棱长总和：$L_1 = 12a$
棱长扩大到原来的2倍后，新棱长为$2a$，新棱长总和：$L_2 = 12×2a = 24a$
倍数：$L_2÷L_1 = 24a÷12a = 2$，即棱长总和扩大到原来的2倍。
2. 表面积的变化：
原表面积：$S_1 = 6a^2$
新表面积：$S_2 = 6×(2a)^2 = 6×4a^2 = 24a^2$
倍数：$S_2÷S_1 = 24a^2÷6a^2 = 4$，即表面积扩大到原来的4倍。
3. 体积的变化：
原体积：$V_1 = a^3$
新体积：$V_2 = (2a)^3 = 8a^3$
倍数：$V_2÷V_1 = 8a^3÷a^3 = 8$，即体积扩大到原来的8倍。
【答案】
① ② ③
【知识点】
正方体棱长总和计算、正方体表面积计算、正方体体积计算
【点评】
本题考查正方体棱长与棱长总和、表面积、体积的数量关系，设数法是最直观的解题方式。需要注意区分表面积（与棱长平方成正比）和体积（与棱长立方成正比）的变化规律，避免混淆，属于基础必掌握题型。
【难度系数】
0.8
5. 李老师书橱的体积是多少立方米？
答案
5. $ 1.2×0.6×1.8=1.296(m^{3}) $
解析
【分析】
书橱为长方体，求其体积需运用长方体体积公式。解题思路：先明确长方体体积计算公式为长×宽×高，再将题目给出的长1.2m、宽0.6m、高1.8m代入公式，通过小数乘法运算得出结果。
【解析】
长方体体积公式：$ V = 长×宽×高 $
代入已知数据：
$ V = 1.2×0.6×1.8 $
分步计算：
$ 1.2×0.6 = 0.72 $
$ 0.72×1.8 = 1.296 $
因此书橱体积为$ 1.296(m^3) $
【答案】
$ 1.296m^3 $
【知识点】
长方体体积计算
【点评】
本题是长方体体积公式的基础应用，需牢记公式，准确进行小数乘法运算，注意体积单位的规范书写。
【难度系数】
0.9
书橱为长方体，求其体积需运用长方体体积公式。解题思路：先明确长方体体积计算公式为长×宽×高，再将题目给出的长1.2m、宽0.6m、高1.8m代入公式，通过小数乘法运算得出结果。
【解析】
长方体体积公式：$ V = 长×宽×高 $
代入已知数据：
$ V = 1.2×0.6×1.8 $
分步计算：
$ 1.2×0.6 = 0.72 $
$ 0.72×1.8 = 1.296 $
因此书橱体积为$ 1.296(m^3) $
【答案】
$ 1.296m^3 $
【知识点】
长方体体积计算
【点评】
本题是长方体体积公式的基础应用，需牢记公式，准确进行小数乘法运算，注意体积单位的规范书写。
【难度系数】
0.9
6. 用64个小正方体做了一个棱长是1.6 dm的魔方，这个魔方的体积是多少立方分米？
答案
6. $ 1.6×1.6×1.6=4.096(dm^{3}) $
解析
【分析】
这道题是求正方体魔方的体积，解题关键是明确正方体体积计算公式，同时注意题目中的“64个小正方体”属于干扰信息，题目已经直接给出了魔方的棱长，我们只需利用正方体体积公式：体积=棱长×棱长×棱长，代入棱长数值计算即可。
【解析】
正方体体积公式为：$ V = a×a×a $（其中$ a $为正方体棱长）
已知魔方棱长$ a = 1.6 \, \mathrm{dm} $，代入公式得：
$ V = 1.6×1.6×1.6 = 4.096 \, (\mathrm{dm}^3) $
【答案】
$ 4.096 \, \mathrm{立方分米} $
【知识点】
正方体体积计算
【点评】
本题考查正方体体积的基本计算，需要注意识别题目中的干扰信息，避免被无关条件误导，牢记正方体体积公式是解题的核心。
【难度系数】
0.9
这道题是求正方体魔方的体积，解题关键是明确正方体体积计算公式，同时注意题目中的“64个小正方体”属于干扰信息，题目已经直接给出了魔方的棱长，我们只需利用正方体体积公式：体积=棱长×棱长×棱长，代入棱长数值计算即可。
【解析】
正方体体积公式为：$ V = a×a×a $（其中$ a $为正方体棱长）
已知魔方棱长$ a = 1.6 \, \mathrm{dm} $，代入公式得：
$ V = 1.6×1.6×1.6 = 4.096 \, (\mathrm{dm}^3) $
【答案】
$ 4.096 \, \mathrm{立方分米} $
【知识点】
正方体体积计算
【点评】
本题考查正方体体积的基本计算，需要注意识别题目中的干扰信息，避免被无关条件误导，牢记正方体体积公式是解题的核心。
【难度系数】
0.9
7. 学校挖一个长6 m、宽1.5 m、深0.6 m的长方体沙坑，运来4.5方黄沙倒入沙坑，能否将沙坑填平？
答案
7. $ 6×1.5×0.6=5.4(m^{3}) $
因为 $ 5.4＞4.5 $，所以不能将沙坑填平。
因为 $ 5.4＞4.5 $，所以不能将沙坑填平。
解析
【分析】
要判断能否将沙坑填平，关键是比较长方体沙坑的容积（即体积）与运来黄沙的体积大小。首先根据长方体体积公式：体积=长×宽×高，计算出沙坑的容积；再明确“方”是体积单位，1方=1立方米，将黄沙体积与沙坑容积对比，若沙坑容积大于黄沙体积，则不能填平，反之可以。
【解析】
1. 计算长方体沙坑的体积：
$6×1.5×0.6=5.4(m^{3})$
2. 比较沙坑体积与黄沙体积：
已知运来黄沙4.5方，即$4.5m^{3}$，因为$5.4＞4.5$，所以不能将沙坑填平。
【答案】
不能将沙坑填平。
【知识点】
长方体体积计算，体积单位换算，数的大小比较
【点评】
本题考查长方体体积公式在实际生活中的应用，需理解“方”与立方米的换算关系，通过计算并比较体积大小解决实际问题，有助于提升学生的数学应用能力。
【难度系数】
0.8
要判断能否将沙坑填平，关键是比较长方体沙坑的容积（即体积）与运来黄沙的体积大小。首先根据长方体体积公式：体积=长×宽×高，计算出沙坑的容积；再明确“方”是体积单位，1方=1立方米，将黄沙体积与沙坑容积对比，若沙坑容积大于黄沙体积，则不能填平，反之可以。
【解析】
1. 计算长方体沙坑的体积：
$6×1.5×0.6=5.4(m^{3})$
2. 比较沙坑体积与黄沙体积：
已知运来黄沙4.5方，即$4.5m^{3}$，因为$5.4＞4.5$，所以不能将沙坑填平。
【答案】
不能将沙坑填平。
【知识点】
长方体体积计算，体积单位换算，数的大小比较
【点评】
本题考查长方体体积公式在实际生活中的应用，需理解“方”与立方米的换算关系，通过计算并比较体积大小解决实际问题，有助于提升学生的数学应用能力。
【难度系数】
0.8
1. 一块棱长2.6 dm的正方体积木，它的体积是多少立方分米？如果在积木的表面涂上绿色油漆，涂漆部分的面积是多少平方分米？
答案
1. $ 2.6×2.6×2.6=17.576(dm^{3}) $
$ 2.6×2.6×6=40.56(dm^{2}) $
$ 2.6×2.6×6=40.56(dm^{2}) $
解析
【分析】
这道题考查正方体的体积和表面积计算。首先回忆正方体的相关公式：正方体体积公式为棱长×棱长×棱长，已知正方体积木的棱长，直接代入公式就能算出体积；正方体有6个完全相同的正方形面，表面积公式为棱长×棱长×6，代入棱长数值即可求出涂漆部分的面积。解题时先分别明确两个问题对应的公式，再代入数据计算即可。
【解析】
1. 计算正方体积木的体积：
根据正方体体积公式$ V = a^3 $（$ a $为正方体棱长），将$ a = 2.6\ \mathrm{dm} $代入，可得：
$ V = 2.6×2.6×2.6 = 17.576\ \mathrm{dm}^3 $
2. 计算涂漆部分的面积（即正方体表面积）：
根据正方体表面积公式$ S = 6a^2 $，将$ a = 2.6\ \mathrm{dm} $代入，可得：
$ S = 2.6×2.6×6 = 40.56\ \mathrm{dm}^2 $
【答案】
体积是$ 17.576\ \mathrm{立方分米} $，涂漆部分的面积是$ 40.56\ \mathrm{平方分米} $
【知识点】
正方体体积计算、正方体表面积计算
【点评】
本题是正方体体积与表面积的基础应用题，核心在于牢记正方体的体积和表面积公式，计算时注意小数乘法的运算准确性，属于对基础公式的直接考查，掌握公式后可轻松求解。
【难度系数】
0.9
这道题考查正方体的体积和表面积计算。首先回忆正方体的相关公式：正方体体积公式为棱长×棱长×棱长，已知正方体积木的棱长，直接代入公式就能算出体积；正方体有6个完全相同的正方形面，表面积公式为棱长×棱长×6，代入棱长数值即可求出涂漆部分的面积。解题时先分别明确两个问题对应的公式，再代入数据计算即可。
【解析】
1. 计算正方体积木的体积：
根据正方体体积公式$ V = a^3 $（$ a $为正方体棱长），将$ a = 2.6\ \mathrm{dm} $代入，可得：
$ V = 2.6×2.6×2.6 = 17.576\ \mathrm{dm}^3 $
2. 计算涂漆部分的面积（即正方体表面积）：
根据正方体表面积公式$ S = 6a^2 $，将$ a = 2.6\ \mathrm{dm} $代入，可得：
$ S = 2.6×2.6×6 = 40.56\ \mathrm{dm}^2 $
【答案】
体积是$ 17.576\ \mathrm{立方分米} $，涂漆部分的面积是$ 40.56\ \mathrm{平方分米} $
【知识点】
正方体体积计算、正方体表面积计算
【点评】
本题是正方体体积与表面积的基础应用题，核心在于牢记正方体的体积和表面积公式，计算时注意小数乘法的运算准确性，属于对基础公式的直接考查，掌握公式后可轻松求解。
【难度系数】
0.9
