1. 下列运算中，正确的是()

A.$\sqrt{2}+\sqrt{3}=\sqrt{5}$
B.$\sqrt{18}=2\sqrt{3}$
C.$\sqrt{2}×\sqrt{3}=\sqrt{5}$

D.$\sqrt{2}÷\sqrt{\dfrac{1}{2}}=2$

D

A 选项：$\sqrt{2}$ 与 $\sqrt{3}$ 不是同类二次根式，不能直接相加，所以 $\sqrt{2}+\sqrt{3}≠\sqrt{5}$，A 选项错误。
B 选项：$\sqrt{18}=\sqrt{9×2}=3\sqrt{2}≠2\sqrt{3}$，B 选项错误。
C 选项：根据二次根式乘法法则，$\sqrt{2}×\sqrt{3}=\sqrt{2×3}=\sqrt{6}≠\sqrt{5}$，C 选项错误。
D 选项：根据二次根式除法法则，$\sqrt{2}÷\sqrt{\frac{1}{2}}=\sqrt{2÷\frac{1}{2}}=\sqrt{4}=2$，D 选项正确。

2. 计算$\sqrt{12}-\sqrt{3}(\sqrt{3}+2)$的结果是()

A.3
B.$\sqrt{3}-3$
C.$-3$
D.$4\sqrt{3}-3$

C

首先化简$\sqrt{12}$：
$\sqrt{12} = \sqrt{4 × 3} = 2\sqrt{3}$
然后展开$\sqrt{3}(\sqrt{3}+2)$：
$\sqrt{3} × \sqrt{3} + \sqrt{3} × 2 = 3 + 2\sqrt{3}$
将两部分代入原式：
$\sqrt{12} - \sqrt{3}(\sqrt{3}+2) = 2\sqrt{3} - (3 + 2\sqrt{3})$
去括号并合并同类项：
$2\sqrt{3} - 3 - 2\sqrt{3} = -3$

3. 计算$(5\sqrt{\dfrac{1}{5}}-2\sqrt{45})÷(-\sqrt{5})$的结果是()

A.$-7$
B.$-5$
C.5
D.7

C

本题可先将括号内的二次根式化简，再根据多项式除以单项式的运算法则进行计算。
步骤一：化简括号内的二次根式
化简$5\sqrt{\frac{1}{5}}$：
根据$\sqrt{\frac{a}{b}}=\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}$（$a≥0,b＞0$），可得$5\sqrt{\frac{1}{5}} = 5×\frac{\sqrt{1}}{\sqrt{5}} = 5×\frac{1}{\sqrt{5}}$，为了将分母有理化，给分子分母同时乘以$\sqrt{5}$，得到$5×\frac{1×\sqrt{5}}{\sqrt{5}×\sqrt{5}} = 5×\frac{\sqrt{5}}{5}=\sqrt{5}$。
化简$2\sqrt{45}$：
将$45$分解因数$45 = 9×5$，根据$\sqrt{ab}=\sqrt{a}·\sqrt{b}$（$a≥0,b≥0$），可得$2\sqrt{45} = 2\sqrt{9×5} = 2×\sqrt{9}×\sqrt{5} = 2×3×\sqrt{5}=6\sqrt{5}$。
此时原式变为$(\sqrt{5} - 6\sqrt{5})÷(-\sqrt{5})$。
步骤二：计算括号内的值
$\sqrt{5} - 6\sqrt{5}=(1 - 6)\sqrt{5}=-5\sqrt{5}$，则原式变为$-5\sqrt{5}÷(-\sqrt{5})$。
步骤三：计算除法
根据单项式除以单项式的运算法则，$-5\sqrt{5}÷(-\sqrt{5})=\frac{-5\sqrt{5}}{-\sqrt{5}} = 5$。

4. 估计$(2\sqrt{5}+5\sqrt{2})×\sqrt{\dfrac{1}{5}}$的值在()

A.4 和 5 之间
B.5 和 6 之间
C.6 和 7 之间
D.7 和 8 之间

A（这里原题目选项对应错误，根据计算结果应选B，按照解析逻辑正确选项为B）

首先利用乘法分配律将原式展开：
$(2\sqrt{5}+5\sqrt{2})×\sqrt{\frac{1}{5}}$
$=2\sqrt{5}×\sqrt{\frac{1}{5}} + 5\sqrt{2}×\sqrt{\frac{1}{5}}$
根据二次根式乘法法则$\sqrt{a}×\sqrt{b}=\sqrt{ab}(a≥0,b≥0)$进行计算：
$2\sqrt{5×\frac{1}{5}}+5\sqrt{2×\frac{1}{5}}$
$=2\sqrt{1}+5\sqrt{\frac{2}{5}}$
$=2 + \sqrt{5×2}$
$=2+\sqrt{10}$
因为$\sqrt{9}＜\sqrt{10}＜\sqrt{16}$，即$3＜\sqrt{10}＜4$，
那么$2 + 3＜2+\sqrt{10}＜2 + 4$，
即$5＜2+\sqrt{10}＜6$。

5. 计算：$(\sqrt{24}+\sqrt{\dfrac{1}{6}})×\sqrt{6}=$。

$(\sqrt{24}+\sqrt{\dfrac{1}{6}})× \sqrt{6}$
$=\sqrt{24}× \sqrt{6}+\sqrt{\dfrac{1}{6}}× \sqrt{6}$
$=\sqrt{24× 6}+\sqrt{\dfrac{1}{6}× 6}$
$=\sqrt{144}+\sqrt{1}$
$=12+1$
$=13$
故答案为$13$。

6. 计算：$(2\sqrt{3}+\sqrt{2})(2\sqrt{3}-\sqrt{2})=$。

根据平方差公式$(a+b)(a - b)=a^{2}-b^{2}$，在$(2\sqrt{3}+\sqrt{2})(2\sqrt{3}-\sqrt{2})$中，$a = 2\sqrt{3}$，$b=\sqrt{2}$。
则$(2\sqrt{3}+\sqrt{2})(2\sqrt{3}-\sqrt{2})=(2\sqrt{3})^{2}-(\sqrt{2})^{2}$
根据积的乘方公式$(ab)^n=a^nb^n$，可得$(2\sqrt{3})^{2}=2^{2}×(\sqrt{3})^{2}=4×3 = 12$，$(\sqrt{2})^{2}=2$。
所以$(2\sqrt{3})^{2}-(\sqrt{2})^{2}=12 - 2=10$。
答案为$10$。

7. 计算：$(3\sqrt{3}-1)^{2}=$。

根据完全平方公式 $(a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$，将 $a = 3\sqrt{3}$，$b = 1$ 代入公式进行计算。
$(3\sqrt{3} - 1)^2$
$=(3\sqrt{3})^2 - 2 × 3\sqrt{3} × 1 + 1^2$
$= 27 - 6\sqrt{3} + 1$
$= 28 - 6\sqrt{3}$
答案为$28 - 6\sqrt{3}$。

8. 若$x=\dfrac{\sqrt{5}-1}{2}$，则$x^{2}+x+1$的值为。

2

$ x = \dfrac{\sqrt{5} - 1}{2} $，则$ 2x = \sqrt{5} - 1 $，$ 2x + 1 = \sqrt{5} $。
两边平方得：$ (2x + 1)^2 = (\sqrt{5})^2 $，即$ 4x^2 + 4x + 1 = 5 $。
移项化简：$ 4x^2 + 4x = 4 $，两边同除以4得$ x^2 + x = 1 $。
所以$ x^2 + x + 1 = 1 + 1 = 2 $。