1. 若一个六边形的每个内角都是 $ x^{\circ} $，则 $ x $ 的值为()

A.60
B.90
C.120
D.150

C

对于一个正六边形，其内角和为$(6 - 2) × 180^{\circ} = 720^{\circ}$。
因为每个内角都相等，所以每个内角的度数为$x = \frac{720^{\circ}}{6} = 120^{\circ}$。

2. 如图，在$□ ABCD$中，$∠ BAD$的平分线交$BC$于点$E$，$∠ ABC$的平分线交$AD$于点$F$.若$BF = 12$，$AB = 10$，则$AE$的长为()


A.13
B.14
C.15
D.16

3. 如图，$E$是菱形$ABCD$的边$BC$上一点，且$∠ DAE = ∠ B = 80^{\circ}$，那么$∠ CDE$的度数为()


A.$20^{\circ}$
B.$25^{\circ}$
C.$30^{\circ}$
D.$35^{\circ}$

C

∵四边形ABCD是菱形，∴AD=AB，AD//BC，∠ADC=∠B=80°。
∵∠DAE=∠B=80°，AD//BC，∴∠AEB=∠DAE=80°（两直线平行，内错角相等）。
在△ABE中，∠B=80°，∠AEB=80°，∴∠BAE=180°-80°-80°=20°。
∵∠BAD=180°-∠B=100°（菱形邻角互补），∴∠DAE=∠BAD-∠BAE=100°-20°=80°（已知）。
∵AD=AB，∠BAE=20°，∠AEB=80°，∴AB=AE（等角对等边），故AD=AE。
在△ADE中，AD=AE，∠DAE=80°，∴∠ADE=(180°-80°)/2=50°。
∵∠ADC=80°，∴∠CDE=∠ADC-∠ADE=80°-50°=30°。

4. 如图，在矩形$ABCD$中，点$E$在边$AD$上，且$EF ⊥ EC$，$EF = EC$，$DE = 2$.若矩形的周长为 16，则$AE$的长是()


A.3
B.4
C.5
D.7

A

在矩形$ABCD$中，$∠ A=∠ D=90^{\circ}$，$AD=BC$，$AB=CD$。
$\because EF⊥ EC$，$\therefore ∠ FEC=90^{\circ}$，则$∠ AEF+∠ DEC=90^{\circ}$。
又$∠ AEF+∠ AFE=90^{\circ}$，$\therefore ∠ AFE=∠ DEC$。
在$△ AEF$和$△ DCE$中，$\{\begin{array}{l}∠ A=∠ D=90^{\circ}\\∠ AFE=∠ DEC\\EF=EC\end{array} $，
$\therefore △ AEF≌△ DCE(AAS)$，$\therefore AE=DC$，$AF=DE=2$。
设$AE=x$，则$DC=AB=x$，$AD=AE+DE=x+2$。
矩形周长为$16$，$\therefore 2(AD+AB)=16$，即$AD+AB=8$。
$\therefore (x+2)+x=8$，解得$x=3$，即$AE=3$。