5. 如果顺次连接四边形的各边中点得到的四边形是矩形，那么原来四边形的对角线一定满足的条件是()

A.互相平分
B.相等
C.互相垂直
D.互相垂直平分

C

顺次连接四边形各边中点得到的四边形为中点四边形，其为平行四边形（利用三角形中位线定理：中位线平行且等于第三边一半，故对边平行且相等）。要使中点四边形为矩形，需该平行四边形邻边垂直。因中点四边形的邻边分别平行于原四边形的两条对角线，故原四边形对角线需互相垂直。

6. 如图，$□ ABCD$的顶点$A$，$B$，$C$的坐标分别是$(0,1)$，$(-2,-2)$，$(2,-2)$，则顶点$D$的坐标是()


A.$(-4,1)$
B.$(4,-2)$
C.$(4,1)$
D.$(2,1)$

C

在平行四边形ABCD中，AB与CD平行且相等。已知A(0,1)，B(-2,-2)，C(2,-2)。向量AB=(-2-0,-2-1)=(-2,-3)，则向量DC=AB=(-2,-3)。设D(x,y)，则C-D=(2-x,-2-y)=(-2,-3)，即2-x=-2，-2-y=-3，解得x=4，y=1，所以D(4,1)。

7. 如图，在矩形$ABCD$中，$AD = 2AB$，点$M$，$N$分别在边$AD$，$BC$上，连接$BM$，$DN$.若四边形$MBND$是菱形，则$\frac{AM}{MD}$的值为()


A.$\frac{3}{8}$
B.$\frac{2}{3}$
C.$\frac{3}{5}$
D.$\frac{4}{5}$

C

设$AB = x$，则$AD = 2AB = 2x$。设$AM = y$，则$MD = AD - AM = 2x - y$。
因为四边形$MBND$是菱形，所以$MB = DM = 2x - y$。
在矩形$ABCD$中，$∠ A = 90°$，在$Rt△ ABM$中，由勾股定理得：$MB^2 = AB^2 + AM^2$，即$(2x - y)^2 = x^2 + y^2$。
展开得：$4x^2 - 4xy + y^2 = x^2 + y^2$，化简得$3x^2 = 4xy$，解得$y = \frac{3}{4}x$。
则$MD = 2x - \frac{3}{4}x = \frac{5}{4}x$，所以$\frac{AM}{MD} = \frac{\frac{3}{4}x}{\frac{5}{4}x} = \frac{3}{5}$。

8. 如图，在正方形$ABCD$和正方形$CEFG$中，点$D$在$CG$上，$BC = 1$，$CE = 3$，$H$是$AF$的中点，那么$CH$的长是()


A.2.5
B.$\sqrt{5}$
C.$\frac{3\sqrt{2}}{2}$
D.2

B

以点C为原点，建立平面直角坐标系。
∵正方形ABCD中，BC=1，点D在CG上，∴C(0,0)，B(-1,0)，D(0,1)，A(-1,1)。
∵正方形CEFG中，CE=3，∴E(3,0)，G(0,3)，F(3,3)。
H是AF中点，A(-1,1)，F(3,3)，则H坐标为$(\frac{-1+3}{2},\frac{1+3}{2})=(1,2)$。
CH长为$\sqrt{(1-0)^2+(2-0)^2}=\sqrt{5}$。