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20. (本小题 12 分)
(1) 如图①,$△ ABD$ 与 $△ ACE$ 都是等腰直角三角形,$∠ BAD = ∠ CAE = 90^{\circ}$,直接写出图中与 $BE$ 相等的线段;
(2) 如图②,$△ ABD$ 与 $△ ACE$ 都是等腰直角三角形,$∠ BAD = ∠ CAE = 90^{\circ}$,连接 $BC$,$BE$,$AB = 4$,$BC = 3$,$∠ ABC = 45^{\circ}$,求 $BE$ 的长;
(3) 如图③,$AB = AC$,$∠ CAB = 90^{\circ}$,$∠ ADC = 45^{\circ}$,$AD = 4$,$CD = 3$,求 $BD$ 的长.
(1) 如图①,$△ ABD$ 与 $△ ACE$ 都是等腰直角三角形,$∠ BAD = ∠ CAE = 90^{\circ}$,直接写出图中与 $BE$ 相等的线段;
(2) 如图②,$△ ABD$ 与 $△ ACE$ 都是等腰直角三角形,$∠ BAD = ∠ CAE = 90^{\circ}$,连接 $BC$,$BE$,$AB = 4$,$BC = 3$,$∠ ABC = 45^{\circ}$,求 $BE$ 的长;
(3) 如图③,$AB = AC$,$∠ CAB = 90^{\circ}$,$∠ ADC = 45^{\circ}$,$AD = 4$,$CD = 3$,求 $BD$ 的长.
答案
(1) DC
(2) 过点C作CG⊥AB于G，∵∠ABC=45°，∴△BGC为等腰直角三角形，设BG=CG=x，∵BC=3，∴BG²+CG²=BC²，即2x²=9，x=3√2/2。AG=AB-BG=4-3√2/2。∵△ACE为等腰直角三角形，∴AE=AC。过E作EF⊥AB延长线于F，易证△AGC≌△EFA（AAS），∴EF=AG=4-3√2/2，AF=CG=3√2/2。BF=AB+AF=4+3√2/2。在Rt△BEF中，BE²=EF²+BF²=(4-3√2/2)²+(4+3√2/2)²=32+9=41，∴BE=√41。
(3) 将△ADC绕点A顺时针旋转90°得△AEB，∴AE=AD=4，EB=DC=3，∠EAD=90°，∠AEB=∠ADC=45°。△EAD为等腰直角三角形，ED=4√2，∠AED=45°。∠BED=∠AEB+∠AED=90°。在Rt△BED中，BD²=EB²+ED²=3²+(4√2)²=41，∴BD=√41。
(2) 过点C作CG⊥AB于G，∵∠ABC=45°，∴△BGC为等腰直角三角形，设BG=CG=x，∵BC=3，∴BG²+CG²=BC²，即2x²=9，x=3√2/2。AG=AB-BG=4-3√2/2。∵△ACE为等腰直角三角形，∴AE=AC。过E作EF⊥AB延长线于F，易证△AGC≌△EFA（AAS），∴EF=AG=4-3√2/2，AF=CG=3√2/2。BF=AB+AF=4+3√2/2。在Rt△BEF中，BE²=EF²+BF²=(4-3√2/2)²+(4+3√2/2)²=32+9=41，∴BE=√41。
(3) 将△ADC绕点A顺时针旋转90°得△AEB，∴AE=AD=4，EB=DC=3，∠EAD=90°，∠AEB=∠ADC=45°。△EAD为等腰直角三角形，ED=4√2，∠AED=45°。∠BED=∠AEB+∠AED=90°。在Rt△BED中，BD²=EB²+ED²=3²+(4√2)²=41，∴BD=√41。
