8. 如图,将两张全等的矩形纸片$ABCD$和矩形纸片$AECF$交叉叠放,$AB = AF$,$AE = BC$,$AE$与$BC$交于点$G$,$AD$与$CF$交于点$H$.若$∠ AGB = 30^{\circ}$,$AB = 2$,则四边形$AGCH$的面积为 ()


A.$4$
B.$4\sqrt{3}$
C.$8$
D.$16$

C

∵四边形ABCD和AECF是全等矩形，∴AB=CD=AF=2，BC=AD=AE，∠B=∠D=∠E=∠F=90°．
∵∠AGB=30°，∠B=90°，AB=2，∴在Rt△ABG中，AG=2AB=4（30°角所对直角边是斜边一半），BG=√(AG²-AB²)=√(16-4)=2√3．
∵AE//CF，AD//BC，∴四边形AGCH是平行四边形．
∵∠AGB=30°，∠EGC=∠AGB=30°（对顶角），在Rt△GEC中，EC=AF=2，∠EGC=30°，∴GC=2EC=4（30°角所对直角边是斜边一半）．
∵AGCH是平行四边形，AG=4，GC=4，∠AGC=180°-∠AGB=150°，∴面积=AG×GC×sin150°=4×4×1/2=8．

9. 如图,在$□ ABCD$中,以点$B$为圆心,适当长为半径作弧,交$BA$,$BC$于点$F$,$G$,分别以点$F$,$G$为圆心,大于$\dfrac{1}{2}FG$的长为半径作弧,两弧交于点$H$,作射线$BH$交$AD$于点$E$,连接$CE$.若$CE ⊥ AD$,$AD = 3$,$BE = 2\sqrt{3}$,则$AB$的长为 ()


A.$1.5$
B.$\sqrt{3}$
C.$2$
D.$\sqrt{5}$

C

$\because$ 四边形 $ABCD$ 是平行四边形，
$\therefore AD// BC$，
$\therefore∠ AEB＝∠ CBE$。
由题可知，$BE$是$∠ ABC$的角平分线，
$\therefore∠ ABE＝∠ CBE$，
$\therefore∠ ABE＝∠ AEB$，
$\therefore AB＝AE$。
$\because CE⊥ AD$，
$\therefore$ 在 $Rt△ CDE$中，$DE^2+CE^2=CD^2$。
设 $AE＝x$，则 $AB＝CD＝x$，$DE＝3－x$。
$\because AB^2 - DE^2＝ CE^2,BE^2 - DE^2 ＝BC^2$，
又$\because BC=AD=3$，
$\therefore CE^2=BE^2 - BC^2=(2\sqrt{3})^2 - 3^2=3$。
$\therefore AB^2 - DE^2＝3$，即$x^2-(3-x)^2=3$，
化简得$x^2 - (9 - 6x + x^2) = 3$，
$6x - 9 = 3$，
$6x = 12$，
$x = 2$。
即 $AB＝2$。