6. （2024·广西）课堂上，老师组织同学们围绕关于 $ x $ 的二次函数 $ y = x^2 + 2ax + a - 3 $ 的最值问题展开探究。
【经典回顾】
二次函数求最值的方法。
（1）已知 $ a = -4 $，求二次函数 $ y = x^2 + 2ax + a - 3 $ 的最小值。
① 请写出对应的函数解析式。
② 当 $ x $ 取何值时，函数 $ y $ 取得最小值？并写出此时的 $ y $ 值。
【举一反三】
老师给出更多 $ a $ 的值，同学们立即求出对应的取值，结果如下表。（*为②的计算结果）

【探究发现】
老师让同学们结合学过的函数知识，观察表格，谈谈自己的发现。
甲同学：“老师给了 $ a $ 的值后，我们只要取 $ x = -a $，就能得到 $ y $ 的最小值。”乙同学：“$ y $ 的最小值随 $ a $ 值的变化而变化，当 $ a $ 由小变大时，$ y $ 的最小值先增大后减小，所以 $ y $ 的最小值中存在最大值。”
（2）请结合函数解析式 $ y = x^2 + 2ax + a - 3 $，判断甲同学的说法是否合理，并说明理由。
（3）乙同学的猜想是否正确？若正确，请求出此最大值；若不正确，说明理由。

（1）①当$a = - 4$时，$y=x^{2}-8x - 7$。
②$\mathrm{因为}y = x^{2}-8x - 7=(x - 4)^{2}-23$，所以当$x = 4$时，$y$有最小值，$y_{min}=-23$。
（2）甲同学说法合理，
理由：$\mathrm{因为}y=x^{2}+2ax + a - 3=(x + a)^{2}-a^{2}+a - 3$，
$\mathrm{因为}x^{2}≥0,$
所以当$x=-a$时，$y$有最小值，
所以甲同学说法合理。
（3）乙同学猜想正确，
由（2）知，当$x = - a$时，$y$的最小值为$-a^{2}+a - 3$，
$\mathrm{因为}-a^{2}+a - 3=-(a-\frac{1}{2})^{2}-\frac{11}{4}$，
$\mathrm{因为}-1＜0,$
所以当$a=\frac{1}{2}$时，$-a^{2}+a - 3$有最大值，$y_{max}=-\frac{11}{4}（或-2.75）$，
所以乙同学猜想正确，$y$的最小值中存在最大值，最大值为$-\frac{11}{4}$。