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15. ($★★$)已知$\sqrt[3]{x - 1}$和$\sqrt[3]{3 - 2x}$互为相反数，且$y + 4$的平方根是它本身，求$xy$的立方根。
答案
答题卡填写作答如下：
因为$\sqrt[3]{x - 1}$和$\sqrt[3]{3 - 2x}$互为相反数，
所以$\sqrt[3]{x - 1} = -\sqrt[3]{3 - 2x}$，
两边立方得：$x - 1 = -(3 - 2x)$，
化简：$x - 1 = -3 + 2x$，
解得：$x = 2$。
因为$y + 4$的平方根是它本身，设平方根为$a$，则$a^2 = y + 4$，且$a$的平方根是它本身，所以$a = 0$，
因此$y + 4 = 0$，解得：$y = -4$。
所以$xy = 2 × (-4) = -8$，
$\sqrt[3]{xy} = \sqrt[3]{-8} = -2$。
综上，$xy$的立方根为$-2$。
因为$\sqrt[3]{x - 1}$和$\sqrt[3]{3 - 2x}$互为相反数，
所以$\sqrt[3]{x - 1} = -\sqrt[3]{3 - 2x}$，
两边立方得：$x - 1 = -(3 - 2x)$，
化简：$x - 1 = -3 + 2x$，
解得：$x = 2$。
因为$y + 4$的平方根是它本身，设平方根为$a$，则$a^2 = y + 4$，且$a$的平方根是它本身，所以$a = 0$，
因此$y + 4 = 0$，解得：$y = -4$。
所以$xy = 2 × (-4) = -8$，
$\sqrt[3]{xy} = \sqrt[3]{-8} = -2$。
综上，$xy$的立方根为$-2$。
16. ($★★$)比较大小(填“$＜$”“$＞$”或“$=$”)：$\sqrt{13}\_\_\_\_\_\_\sqrt[3]{64}$。
答案
先计算$\sqrt[3]{64}$的值：
因为$4^3 = 64$，所以$\sqrt[3]{64} = 4$。
再比较$\sqrt{13}$与$4$的大小：
因为$(\sqrt{13})^2 = 13$，$4^2 = 16$，且$13 ＜ 16$，所以$\sqrt{13} ＜ 4$，即$\sqrt{13} ＜ \sqrt[3]{64}$。
故答案为$＜$。
因为$4^3 = 64$，所以$\sqrt[3]{64} = 4$。
再比较$\sqrt{13}$与$4$的大小：
因为$(\sqrt{13})^2 = 13$，$4^2 = 16$，且$13 ＜ 16$，所以$\sqrt{13} ＜ 4$，即$\sqrt{13} ＜ \sqrt[3]{64}$。
故答案为$＜$。
17. ($★★$)把一个长$10\mathrm{cm}$、宽$6\mathrm{cm}$、高$9\mathrm{cm}$的长方体铁块锻造成一个正方体铁块(不计损耗)，求锻造后正方体铁块的棱长。(结果保留小数点后两位)
答案
解：长方体体积：$10×6×9 = 540\,\mathrm{cm}^3$
正方体体积等于长方体体积，设正方体棱长为$a\,\mathrm{cm}$，则$a^3 = 540$
$a = \sqrt[3]{540} \approx 8.14$
答：锻造后正方体铁块的棱长约为$8.14\,\mathrm{cm}$。
正方体体积等于长方体体积，设正方体棱长为$a\,\mathrm{cm}$，则$a^3 = 540$
$a = \sqrt[3]{540} \approx 8.14$
答：锻造后正方体铁块的棱长约为$8.14\,\mathrm{cm}$。
18. ($★★$)阅读下面材料：
已知$59319$是某个整数的立方，且$10^{3}＜59319＜100^{3}$，$9^{3}=729$，$3^{3}＜59＜4^{3}$，则$\sqrt[3]{59319}=39$。
请根据上面的材料解决以下问题：$\sqrt[3]{157464}=$，$\sqrt[3]{804357}=$。(已知$157464$和$804357$均是某个整数的立方)
已知$59319$是某个整数的立方，且$10^{3}＜59319＜100^{3}$，$9^{3}=729$，$3^{3}＜59＜4^{3}$，则$\sqrt[3]{59319}=39$。
请根据上面的材料解决以下问题：$\sqrt[3]{157464}=$，$\sqrt[3]{804357}=$。(已知$157464$和$804357$均是某个整数的立方)
答案
求$\sqrt[3]{157464}$：
1. 确定位数：$10^3=1000$，$100^3=1000000$，$1000＜157464＜1000000$，故为两位数的立方。
2. 确定个位数：立方数个位为4，因$4^3=64$（个位4），故个位数为4。
3. 确定十位数：取前三位157，$5^3=125$，$6^3=216$，$125＜157＜216$，故十位数为5。
4. 结果：$\sqrt[3]{157464}=54$。
求$\sqrt[3]{804357}$：
1. 确定位数：$10^3=1000$，$100^3=1000000$，$1000＜804357＜1000000$，故为两位数的立方。
2. 确定个位数：立方数个位为7，因$3^3=27$（个位7），故个位数为3。
3. 确定十位数：取前三位804，$9^3=729$，$10^3=1000$，$729＜804＜1000$，故十位数为9。
4. 结果：$\sqrt[3]{804357}=93$。
54，93
1. 确定位数：$10^3=1000$，$100^3=1000000$，$1000＜157464＜1000000$，故为两位数的立方。
2. 确定个位数：立方数个位为4，因$4^3=64$（个位4），故个位数为4。
3. 确定十位数：取前三位157，$5^3=125$，$6^3=216$，$125＜157＜216$，故十位数为5。
4. 结果：$\sqrt[3]{157464}=54$。
求$\sqrt[3]{804357}$：
1. 确定位数：$10^3=1000$，$100^3=1000000$，$1000＜804357＜1000000$，故为两位数的立方。
2. 确定个位数：立方数个位为7，因$3^3=27$（个位7），故个位数为3。
3. 确定十位数：取前三位804，$9^3=729$，$10^3=1000$，$729＜804＜1000$，故十位数为9。
4. 结果：$\sqrt[3]{804357}=93$。
54，93
19. ($★★★$)观察以下式子并探索规律，然后回答问题：
$\sqrt[3]{-0.001}=-0.1$，$\sqrt[3]{-1}=-1$，$\sqrt[3]{-1000}=-10$，$\sqrt[3]{0.001}=0.1$，$\sqrt[3]{1}=1$，$\sqrt[3]{1000}=10$，$···$
(1)$\sqrt[3]{0.000001}=$，$\sqrt[3]{10^{6}}=$，按上述规律，数$a$小数点的移动与它的立方根$\sqrt[3]{a}$的小数点移动之间有何规律？
(2)已知$\sqrt[3]{x}=1.587$，若$\sqrt[3]{y}=-0.1587$，用含$x$的代数式表示$y$，则$y=$。
(3)根据规律写出$\sqrt[3]{a}$与$a$的大小情况。
$\sqrt[3]{-0.001}=-0.1$，$\sqrt[3]{-1}=-1$，$\sqrt[3]{-1000}=-10$，$\sqrt[3]{0.001}=0.1$，$\sqrt[3]{1}=1$，$\sqrt[3]{1000}=10$，$···$
(1)$\sqrt[3]{0.000001}=$，$\sqrt[3]{10^{6}}=$，按上述规律，数$a$小数点的移动与它的立方根$\sqrt[3]{a}$的小数点移动之间有何规律？
(2)已知$\sqrt[3]{x}=1.587$，若$\sqrt[3]{y}=-0.1587$，用含$x$的代数式表示$y$，则$y=$。
(3)根据规律写出$\sqrt[3]{a}$与$a$的大小情况。
答案
(1)0.01；100；规律：数$a$的小数点每向右（或向左）移动3位，它的立方根$\sqrt[3]{a}$的小数点相应地向右（或向左）移动1位。
(2)$-0.001x$
(3)当$a＞1$时，$\sqrt[3]{a}＜a$；当$a=1$或$a=0$或$a=-1$时，$\sqrt[3]{a}=a$；当$0＜a＜1$时，$\sqrt[3]{a}＞a$；当$-1＜a＜0$时，$\sqrt[3]{a}＜a$；当$a＜-1$时，$\sqrt[3]{a}＞a$。
(2)$-0.001x$
(3)当$a＞1$时，$\sqrt[3]{a}＜a$；当$a=1$或$a=0$或$a=-1$时，$\sqrt[3]{a}=a$；当$0＜a＜1$时，$\sqrt[3]{a}＞a$；当$-1＜a＜0$时，$\sqrt[3]{a}＜a$；当$a＜-1$时，$\sqrt[3]{a}＞a$。
