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1. (★) 叫作无理数. 有理数和无理数统称 .
答案
无限不循环小数 实数
2. (★) 有下列说法：①无理数都是无限小数；②无限小数都是无理数；③无理数是不能写成两个整数之比(分数)的数；④带根号的数都是无理数. 其中正确的有 【 】
A.1 个
B.2 个
C.3 个
D.4 个
A.1 个
B.2 个
C.3 个
D.4 个
答案
B
解析
①无理数的定义是无限不循环小数，所以无理数都是无限小数，此说法正确。
②无限小数包括无限循环小数和无限不循环小数，其中无限循环小数是有理数，所以该说法错误。
③无理数不能写成两个整数之比（分数）的形式，此说法正确。
④带根号的数不一定都是无理数，如$\sqrt{4} = 2$是有理数，所以该说法错误。
综上，①③正确，共$2$个。
②无限小数包括无限循环小数和无限不循环小数，其中无限循环小数是有理数，所以该说法错误。
③无理数不能写成两个整数之比（分数）的形式，此说法正确。
④带根号的数不一定都是无理数，如$\sqrt{4} = 2$是有理数，所以该说法错误。
综上，①③正确，共$2$个。
3. (★) (2024·日照) 实数 $-\dfrac{1}{3},0,\sqrt{5}$，1.732 中无理数是 【 】
A.$-\dfrac{1}{3}$
B.0
C.$\sqrt{5}$
D.1.732
A.$-\dfrac{1}{3}$
B.0
C.$\sqrt{5}$
D.1.732
答案
C
解析
无理数是无限不循环小数。$-\dfrac{1}{3}$是分数，属于有理数；0是整数，属于有理数；$\sqrt{5}$开方开不尽，是无限不循环小数，属于无理数；1.732是有限小数，属于有理数。故无理数是$\sqrt{5}$。
4. (★) 和数轴上的点一一对应的是 【 】
A.整数
B.无理数
C.实数
D.有理数
A.整数
B.无理数
C.实数
D.有理数
答案
C
解析
数轴上的点既可以表示有理数，也可以表示无理数，实数包含了有理数和无理数，能与数轴上的点一一对应。而整数、无理数、有理数都不能完全与数轴上的点一一对应。所以和数轴上的点一一对应的是实数。
5. (★) 如图，实数 $-\sqrt{2}+1$ 在数轴上的对应点可能是 【 】
A.点 $A$
B.点 $B$
C.点 $C$
D.点 $D$
A.点 $A$
B.点 $B$
C.点 $C$
D.点 $D$
答案
B
解析
因为$1＜\sqrt{2}＜2$，所以$-2＜-\sqrt{2}＜-1$，则$-2 + 1＜-\sqrt{2}+1＜-1 + 1$，即$-1＜-\sqrt{2}+1＜0$。观察数轴，点$B$在$-1$和$0$之间，所以对应点可能是$B$。
6. (★) 有下列各数：$\dfrac{\sqrt{2}}{2},\sqrt{25},0,\sqrt[3]{-8},-\dfrac{3}{4}$，$-π,0.\dot{1}\dot{5},0.373 773 777 3···$(相邻两个 3 之间依次多一个 7). 其中无理数有 【 】
A.2 个
B.3 个
C.4 个
D.5 个
A.2 个
B.3 个
C.4 个
D.5 个
答案
B
解析
$\dfrac{\sqrt{2}}{2}$：$\sqrt{2}$是无理数，其非零倍数仍为无理数，故$\dfrac{\sqrt{2}}{2}$是无理数；
$\sqrt{25} = 5$，是有理数；
$0$：整数，是有理数；
$\sqrt[3]{-8} = -2$，是有理数；
$-\dfrac{3}{4}$：分数，是有理数；
$-π$：$π$为无理数，其负数仍为无理数；
$0.\dot{1}\dot{5}$：循环小数，是有理数；
$0.3737737773···$（相邻两个$3$之间依次多一个$7$）：无限不循环小数，是无理数。
无理数有$\dfrac{\sqrt{2}}{2}$，$-π$，$0.3737737773···$，共$3$个。
7. (★) 把下列各数填在相应的横线上：
$-1,\sqrt{3},π,-3.14,\sqrt{9},\sqrt{6}-\sqrt{2},-\dfrac{\sqrt{2}}{2},0.\dot{7}$.
(1) 有理数：；
(2) 无理数：；
(3) 正实数：；
(4) 负实数：.
$-1,\sqrt{3},π,-3.14,\sqrt{9},\sqrt{6}-\sqrt{2},-\dfrac{\sqrt{2}}{2},0.\dot{7}$.
(1) 有理数：；
(2) 无理数：；
(3) 正实数：；
(4) 负实数：.
答案
(1) $-1,-3.14,\sqrt{9},0.\dot{7}$；
(2) $\sqrt{3},π,\sqrt{6}-\sqrt{2},-\dfrac{\sqrt{2}}{2}$；
(3) $\sqrt{3},π,\sqrt{9},\sqrt{6}-\sqrt{2},0.\dot{7}$；
(4) $-1,-3.14,-\dfrac{\sqrt{2}}{2}$.
(2) $\sqrt{3},π,\sqrt{6}-\sqrt{2},-\dfrac{\sqrt{2}}{2}$；
(3) $\sqrt{3},π,\sqrt{9},\sqrt{6}-\sqrt{2},0.\dot{7}$；
(4) $-1,-3.14,-\dfrac{\sqrt{2}}{2}$.
8. (★) (2024·南充) 如图，数轴上表示 $\sqrt{2}$ 的点是 【 】
A.点 $A$
B.点 $B$
C.点 $C$
D.点 $D$
A.点 $A$
B.点 $B$
C.点 $C$
D.点 $D$
答案
C
解析
因为$1＜\sqrt{2}＜2$，所以$\sqrt{2}$在1和2之间，数轴上点C在1和2之间。
9. (★★) 如图，数轴上，下列各数是无理数且表示的点在线段 $AB$ 上的是 【 】
A.0
B.$\sqrt{2}-1$
C.$\sqrt[3]{-9}$
D.$π$
A.0
B.$\sqrt{2}-1$
C.$\sqrt[3]{-9}$
D.$π$
答案
B
解析
首先确定线段AB的范围，由图可知A点为-1，B点为1，所以线段AB上的点表示的数x满足-1 ＜ x ＜ 1。
选项A：0是有理数，不符合。
选项B：因为$\sqrt{2}\approx1.414$，所以$\sqrt{2}-1\approx0.414$，满足-1 ＜ 0.414 ＜ 1，且$\sqrt{2}-1$是无理数，符合条件。
选项C：$\sqrt[3]{-9}\approx-2.08$，小于-1，不在AB上，不符合。
选项D：$π\approx3.14$，大于1，不在AB上，不符合。
综上，符合条件的是B。
选项A：0是有理数，不符合。
选项B：因为$\sqrt{2}\approx1.414$，所以$\sqrt{2}-1\approx0.414$，满足-1 ＜ 0.414 ＜ 1，且$\sqrt{2}-1$是无理数，符合条件。
选项C：$\sqrt[3]{-9}\approx-2.08$，小于-1，不在AB上，不符合。
选项D：$π\approx3.14$，大于1，不在AB上，不符合。
综上，符合条件的是B。
