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10. (★★) 已知 $A,B$ 两点在数轴上分别表示实数 $-\sqrt{3},\sqrt{2}$，则线段 $AB$ 的长为 .
答案
根据数轴上两点间距离公式，若两点分别表示实数$a$和$b$，则这两点间的距离为$|a - b|$（或$|b - a|$）。
已知$A$，$B$两点在数轴上分别表示实数$-\sqrt{3}$，$\sqrt{2}$，则线段$AB$的长为：
$\vert\sqrt{2}-(-\sqrt{3})\vert=\vert\sqrt{2}+\sqrt{3}\vert=\sqrt{3}+\sqrt{2}$
故答案为$\sqrt{3}+\sqrt{2}$。
已知$A$，$B$两点在数轴上分别表示实数$-\sqrt{3}$，$\sqrt{2}$，则线段$AB$的长为：
$\vert\sqrt{2}-(-\sqrt{3})\vert=\vert\sqrt{2}+\sqrt{3}\vert=\sqrt{3}+\sqrt{2}$
故答案为$\sqrt{3}+\sqrt{2}$。
11. (★) (2024·宁夏) 下列各数中，无理数是 【 】
A.$-1$
B.$\dfrac{1}{3}$
C.$\sqrt{4}$
D.$π$
A.$-1$
B.$\dfrac{1}{3}$
C.$\sqrt{4}$
D.$π$
答案
D
解析
无理数是无限不循环小数。$-1$是整数，$\dfrac{1}{3}$是分数，$\sqrt{4}=2$是整数，均为有理数；$π$是无限不循环小数，是无理数。
12. (★★) (2024·重庆) 已知 $m=\sqrt{27}-\sqrt{3}$，则实数 $m$ 的范围是 【 】
A.$2＜m＜3$
B.$3＜m＜4$
C.$4＜m＜5$
D.$5＜m＜6$
A.$2＜m＜3$
B.$3＜m＜4$
C.$4＜m＜5$
D.$5＜m＜6$
答案
B
解析
$m=\sqrt{27}-\sqrt{3}=3\sqrt{3}-\sqrt{3}=2\sqrt{3}$，因为$\sqrt{3}\approx1.732$，所以$2\sqrt{3}\approx3.464$，故$3＜m＜4$。
13. (★★) 按下图所示的程序计算，若开始输入的 $x$ 的值是 64，则输出的 $y$ 的值是 【 】
A.$\sqrt{2}$
B.$\sqrt{3}$
C.2
D.3
A.$\sqrt{2}$
B.$\sqrt{3}$
C.2
D.3
答案
A
解析
输入x=64，取算术平方根得√64=8（有理数）；取8的立方根得³√8=2（有理数）；回到取算术平方根，取2的算术平方根得√2（无理数），输出y=√2。
14. (★★) 将下列各数填在相应的集合里：
$\sqrt[3]{512}$，$π$，3.141 592 6，$-0.456$，3.030 030 003…(相邻两个 3 之间依次多一个 0)，0，$\dfrac{5}{11}$，$-\sqrt[3]{9}$，$\sqrt{(-7)^2}$，$\sqrt{0.1}$.
有理数集合：{$···$}；
无理数集合：{$···$}；
正实数集合：{$···$}；
整数集合：{$···$}；
负分数集合：{$···$}.
$\sqrt[3]{512}$，$π$，3.141 592 6，$-0.456$，3.030 030 003…(相邻两个 3 之间依次多一个 0)，0，$\dfrac{5}{11}$，$-\sqrt[3]{9}$，$\sqrt{(-7)^2}$，$\sqrt{0.1}$.
有理数集合：{$···$}；
无理数集合：{$···$}；
正实数集合：{$···$}；
整数集合：{$···$}；
负分数集合：{$···$}.
答案
有理数集合：{$\sqrt[3]{512}$，3.1415926，$-0.456$，0，$\dfrac{5}{11}$，$\sqrt{(-7)^2}$}；
无理数集合：{$π$，3.030030003…，$-\sqrt[3]{9}$，$\sqrt{0.1}$}；
正实数集合：{$\sqrt[3]{512}$，$π$，3.1415926，3.030030003…，$\dfrac{5}{11}$，$\sqrt{(-7)^2}$，$\sqrt{0.1}$}；
整数集合：{$\sqrt[3]{512}$，0，$\sqrt{(-7)^2}$}；
负分数集合：{$-0.456$}。
无理数集合：{$π$，3.030030003…，$-\sqrt[3]{9}$，$\sqrt{0.1}$}；
正实数集合：{$\sqrt[3]{512}$，$π$，3.1415926，3.030030003…，$\dfrac{5}{11}$，$\sqrt{(-7)^2}$，$\sqrt{0.1}$}；
整数集合：{$\sqrt[3]{512}$，0，$\sqrt{(-7)^2}$}；
负分数集合：{$-0.456$}。
15. (★) 数轴上表示数 $\sqrt{17}-5$ 的点应在 【 】
A.$-1$ 与 0 之间
B.0 与 1 之间
C.1 与 2 之间
D.2 与 3 之间
A.$-1$ 与 0 之间
B.0 与 1 之间
C.1 与 2 之间
D.2 与 3 之间
答案
A
解析
因为 $16 ＜ 17 ＜ 25$，所以 $\sqrt{16} ＜ \sqrt{17} ＜ \sqrt{25}$，即 $4 ＜ \sqrt{17} ＜ 5$。不等式两边同时减5，得 $4 - 5 ＜ \sqrt{17} - 5 ＜ 5 - 5$，即 $-1 ＜ \sqrt{17} - 5 ＜ 0$，所以数轴上表示数 $\sqrt{17} - 5$ 的点在$-1$与$0$之间。
16. (★★) 如图，在数轴上，$A,B$ 两点表示的数分别为 1 和 $\sqrt{3}$，$A$ 为线段 $BC$ 的中点，则点 $C$ 表示的数是 【 】
A.$\sqrt{3}-1$
B.$1-\sqrt{3}$
C.$2-\sqrt{3}$
D.$\sqrt{3}-2$
A.$\sqrt{3}-1$
B.$1-\sqrt{3}$
C.$2-\sqrt{3}$
D.$\sqrt{3}-2$
答案
C
解析
已知$A$，$B$两点表示的数分别为$1$，$\sqrt{3}$，$A$是线段$BC$的中点。
设$C$点表示的数为$x$，根据中点的性质，中点坐标等于两个端点坐标之和的一半，可得$\frac{x + \sqrt{3}}{2}=1$。
等式两边同时乘以$2$得：$x+\sqrt{3}=2$。
移项可得：$x = 2-\sqrt{3}$。
所以点$C$表示的数是$2 - \sqrt{3}$。
设$C$点表示的数为$x$，根据中点的性质，中点坐标等于两个端点坐标之和的一半，可得$\frac{x + \sqrt{3}}{2}=1$。
等式两边同时乘以$2$得：$x+\sqrt{3}=2$。
移项可得：$x = 2-\sqrt{3}$。
所以点$C$表示的数是$2 - \sqrt{3}$。
17. (★★) 比较下列各组数中两个实数的大小：
(1) $\sqrt[3]{-4}$ 和 $\sqrt[3]{-\dfrac{10}{3}}$；
(2) $\dfrac{\sqrt{7}-1}{2}$ 和 0.5；
(3) $-3.14$ 和 $-π$；
(4) $\sqrt{6}$ 和 $2\sqrt{2}$.
(1) $\sqrt[3]{-4}$ 和 $\sqrt[3]{-\dfrac{10}{3}}$；
(2) $\dfrac{\sqrt{7}-1}{2}$ 和 0.5；
(3) $-3.14$ 和 $-π$；
(4) $\sqrt{6}$ 和 $2\sqrt{2}$.
答案
17.(1)
$\left|\sqrt[3]{-4}\right|=\sqrt[3]{4}$，$\left|\sqrt[3]{-\dfrac{10}{3}}\right|=\sqrt[3]{\dfrac{10}{3}}$，
$\because 4 ＜ \dfrac{10}{3}$（假），（$4= \dfrac{12}{3} ＞ \dfrac{10}{3}$），
$\therefore \sqrt[3]{4} ＞ \sqrt[3]{\dfrac{10}{3}}$ 的绝对值比较需反转符号，
$\therefore \sqrt[3]{-4} ＜ \sqrt[3]{-\dfrac{10}{3}}$（负数绝对值大的反而小）。
(2)
$\dfrac{\sqrt{7}-1}{2}-0.5 = \dfrac{\sqrt{7}-1-1}{2} = \dfrac{\sqrt{7}-2}{2}$，
$\because \sqrt{7} ＞ \sqrt{4} = 2$，
$\therefore \dfrac{\sqrt{7}-2}{2} ＞ 0$，
$\therefore \dfrac{\sqrt{7}-1}{2} ＞ 0.5$。
(3)
$\because |-3.14| = 3.14$，$|-π| = π$，
$3.14 ＜ π$，
$\therefore -3.14 ＞ -π$（两负数比较，绝对值大的数反而小）。
(4)
$\because 2\sqrt{2} = \sqrt{8}$，
$\sqrt{6} ＜ \sqrt{8}$，
$\therefore \sqrt{6} ＜ 2\sqrt{2}$。
$\left|\sqrt[3]{-4}\right|=\sqrt[3]{4}$，$\left|\sqrt[3]{-\dfrac{10}{3}}\right|=\sqrt[3]{\dfrac{10}{3}}$，
$\because 4 ＜ \dfrac{10}{3}$（假），（$4= \dfrac{12}{3} ＞ \dfrac{10}{3}$），
$\therefore \sqrt[3]{4} ＞ \sqrt[3]{\dfrac{10}{3}}$ 的绝对值比较需反转符号，
$\therefore \sqrt[3]{-4} ＜ \sqrt[3]{-\dfrac{10}{3}}$（负数绝对值大的反而小）。
(2)
$\dfrac{\sqrt{7}-1}{2}-0.5 = \dfrac{\sqrt{7}-1-1}{2} = \dfrac{\sqrt{7}-2}{2}$，
$\because \sqrt{7} ＞ \sqrt{4} = 2$，
$\therefore \dfrac{\sqrt{7}-2}{2} ＞ 0$，
$\therefore \dfrac{\sqrt{7}-1}{2} ＞ 0.5$。
(3)
$\because |-3.14| = 3.14$，$|-π| = π$，
$3.14 ＜ π$，
$\therefore -3.14 ＞ -π$（两负数比较，绝对值大的数反而小）。
(4)
$\because 2\sqrt{2} = \sqrt{8}$，
$\sqrt{6} ＜ \sqrt{8}$，
$\therefore \sqrt{6} ＜ 2\sqrt{2}$。
