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13. (★★)定义:对角线互相垂直的四边形叫作垂美四边形.现有如图所示的垂美四边形ABCD,若AD=3,BC=5,则AB²+CD²=.
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]答案
34
解析
设对角线AC与BD交于点E，∵四边形ABCD是垂美四边形，∴AC⊥BD，即∠AEB=∠BEC=∠CED=∠DEA=90°。
在Rt△AEB中，AB²=AE²+BE²；在Rt△CED中，CD²=CE²+DE²，∴AB²+CD²=AE²+BE²+CE²+DE²。
在Rt△AED中，AD²=AE²+DE²；在Rt△BEC中，BC²=BE²+CE²，∴AD²+BC²=AE²+DE²+BE²+CE²。
∴AB²+CD²=AD²+BC²。
∵AD=3，BC=5，∴AD²=9，BC²=25，∴AB²+CD²=9+25=34。
在Rt△AEB中，AB²=AE²+BE²；在Rt△CED中，CD²=CE²+DE²，∴AB²+CD²=AE²+BE²+CE²+DE²。
在Rt△AED中，AD²=AE²+DE²；在Rt△BEC中，BC²=BE²+CE²，∴AD²+BC²=AE²+DE²+BE²+CE²。
∴AB²+CD²=AD²+BC²。
∵AD=3，BC=5，∴AD²=9，BC²=25，∴AB²+CD²=9+25=34。
14. (★★)如图,圆柱体的底面周长为16cm,高AB为6cm,BC是上底面的直径.一只蚂蚁从圆柱的表面点A出发,沿着圆柱的侧面爬行到点C,则爬行的最短路程为cm.
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]答案
10
解析
将圆柱侧面展开为矩形，矩形长为底面周长16cm，宽为圆柱高6cm。点A为矩形左下角，点B为矩形左上角（AB=6cm），BC为上底面直径，展开后点C在B右侧半周长处，即BC=16÷2=8cm。在展开图中，AC为直角三角形斜边，两直角边分别为8cm和6cm，由勾股定理得AC=√(8²+6²)=10cm。
15. (★★)如图,正方形网格中的每个小正方形边长都是1,每个小格的顶点叫作格点,以格点为顶点分别按下列要求画三角形.(不需要写画法)
(1)在图①中,画一个正方形,使它的面积是10;
(2)在图②中,画一个三角形ABC,使它的三边长分别为AB=√2,BC=2√2,AC=√10.
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(1)在图①中,画一个正方形,使它的面积是10;
(2)在图②中,画一个三角形ABC,使它的三边长分别为AB=√2,BC=2√2,AC=√10.
]答案
(1) 图①中，以格点(0,0)、(1,3)、(4,2)、(3,-1)为顶点画正方形（答案不唯一，合理即可）。
(2) 图②中，取格点A(0,0)、B(1,1)、C(3,-1)，连接AB、BC、AC（答案不唯一，合理即可）。
(2) 图②中，取格点A(0,0)、B(1,1)、C(3,-1)，连接AB、BC、AC（答案不唯一，合理即可）。
16. (★★)如图,在△ABC中,∠B=60°,AC=70,AB=30.求BC的长.
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]答案
过$A$作$AD\bot BC$于$D$，
$\because ∠ B=60°,∠ ADB=90°$，
$\therefore ∠ BAD=30°$，
$\therefore BD=\frac{1}{2}AB=15$，
$\therefore AD=\sqrt{AB^2-BD^2}=15\sqrt{3}$，
$\because AC=70$，
在$Rt△ ADC$中，
$CD=\sqrt{AC^2-AD^2}=65$，
$\therefore BC=BD+CD=15+65=80$。
所以，BC的长为80。
$\because ∠ B=60°,∠ ADB=90°$，
$\therefore ∠ BAD=30°$，
$\therefore BD=\frac{1}{2}AB=15$，
$\therefore AD=\sqrt{AB^2-BD^2}=15\sqrt{3}$，
$\because AC=70$，
在$Rt△ ADC$中，
$CD=\sqrt{AC^2-AD^2}=65$，
$\therefore BC=BD+CD=15+65=80$。
所以，BC的长为80。
