1. 如图甲，一辆汽车在直线型公路 $ AB $ 上由 $ A $ 向 $ B $ 行驶，$ M $，$ N $ 分别是位于公路 $ AB $ 两侧的村庄。

(1) 当汽车行驶到哪个位置时，汽车到村庄 $ M $，$ N $ 的距离相等？
(2) 当汽车行驶到什么位置时，汽车到 $ M $，$ N $ 两村的距离和最小？
(3) 若 $ M $，$ N $ 两村在公路 $ AB $ 的同侧，如图乙，则当汽车行驶到什么位置时，汽车到 $ M $，$ N $ 两村的距离和最小？

1. (1) 解：如图点$P$为所求作的点.

(2) 解：如图点$E$为所求作的点.

(3) 解：如图点$F$为所求作的点.

2. 如图，在 $ △ ABC $ 中，$ ∠ B = 30^{\circ} $，$ ∠ C = 45^{\circ} $，$ AB $ 的垂直平分线交 $ BC $ 于点 $ D $，$ BD = 6\sqrt{2} $，$ AE ⊥ BC $ 于点 $ E $，求线段 $ CE $ 的长。

2. 解：连接$AD$

在$△ ABE$中$AE⊥ BC$，$∠ B=30^{\circ}$（已知）
$\therefore ∠ BAE=90^{\circ}-∠ B$
$=60^{\circ}$
$\because DF$是$AB$的垂直平分线
$BD=6\sqrt{2}$（已知）
$\therefore AD=BD=6\sqrt{2}$
$\therefore ∠ BAD=∠ B=30^{\circ}$
$\therefore ∠ DAE=∠ BAE - ∠ BAD$
$=60^{\circ}-30^{\circ}$
$=30^{\circ}$
在$\mathrm{Rt}△ AED$中$DE=\frac{1}{2}AD$
$=3\sqrt{2}$
由勾股定理得$AE^{2}=AD^{2}-DE^{2}$
$=(6\sqrt{2})^{2}-(3\sqrt{2})^{2}$
$=54$
$\therefore AE=3\sqrt{6}$
在$\mathrm{Rt}△ AEC$中，$∠ C=45^{\circ}$
$\therefore ∠ EAC=90^{\circ}-∠ C$
$=45^{\circ}$
$\therefore AE=CE$
$=3\sqrt{6}$