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5. 把一根长1.2m的圆柱形钢材截成三段小圆柱，表面积增加了$6.28\mathrm{dm}^{2}$。原来这根圆柱形钢材的体积是多少？
答案
1.2m = 12dm
6.28÷[(3-1)×2] = 1.57(dm²)
1.57×12 = 18.84(dm³)
答：原来这根圆柱形钢材的体积是18.84dm³。
6.28÷[(3-1)×2] = 1.57(dm²)
1.57×12 = 18.84(dm³)
答：原来这根圆柱形钢材的体积是18.84dm³。
解析
【分析】
要计算圆柱形钢材的体积，需用到圆柱体积公式：体积=底面积×高。题目中已知钢材的长度（即圆柱的高），但未直接给出底面积，所以关键是先求出底面积。
把圆柱截成三段小圆柱，需要截2次，每截1次会增加2个底面的面积，因此截2次总共增加(3-1)×2=4个底面的面积。已知表面积增加了6.28dm²，这部分增加的面积就是4个底面积的总和，用增加的表面积除以4就能得到一个底面积。最后注意单位统一，将1.2m换算为12dm，再用底面积乘高即可求出体积。
【解析】
1. 单位换算：
$1.2\mathrm{m} = 12\mathrm{dm}$
2. 计算圆柱的底面积：
截成三段需要截$(3-1)=2$次，每次增加2个底面，共增加底面数量：$2×2=4$（个）
底面积：$6.28÷4 = 1.57(\mathrm{dm}^{2})$
3. 计算圆柱体积：
体积=底面积×高=$1.57×12 = 18.84(\mathrm{dm}^{3})$
答：原来这根圆柱形钢材的体积是$18.84\mathrm{dm}^{3}$。
【答案】
$18.84\mathrm{dm}^{3}$
【知识点】
圆柱体积计算、圆柱切割表面积变化
【点评】
本题主要考察圆柱体积公式的应用以及圆柱切割后表面积变化规律的理解，解题时需注意单位统一，同时要准确把握切割次数与增加底面数量的关系，避免因计算底面数量错误导致结果出错。
【难度系数】
0.6
要计算圆柱形钢材的体积，需用到圆柱体积公式：体积=底面积×高。题目中已知钢材的长度（即圆柱的高），但未直接给出底面积，所以关键是先求出底面积。
把圆柱截成三段小圆柱，需要截2次，每截1次会增加2个底面的面积，因此截2次总共增加(3-1)×2=4个底面的面积。已知表面积增加了6.28dm²，这部分增加的面积就是4个底面积的总和，用增加的表面积除以4就能得到一个底面积。最后注意单位统一，将1.2m换算为12dm，再用底面积乘高即可求出体积。
【解析】
1. 单位换算：
$1.2\mathrm{m} = 12\mathrm{dm}$
2. 计算圆柱的底面积：
截成三段需要截$(3-1)=2$次，每次增加2个底面，共增加底面数量：$2×2=4$（个）
底面积：$6.28÷4 = 1.57(\mathrm{dm}^{2})$
3. 计算圆柱体积：
体积=底面积×高=$1.57×12 = 18.84(\mathrm{dm}^{3})$
答：原来这根圆柱形钢材的体积是$18.84\mathrm{dm}^{3}$。
【答案】
$18.84\mathrm{dm}^{3}$
【知识点】
圆柱体积计算、圆柱切割表面积变化
【点评】
本题主要考察圆柱体积公式的应用以及圆柱切割后表面积变化规律的理解，解题时需注意单位统一，同时要准确把握切割次数与增加底面数量的关系，避免因计算底面数量错误导致结果出错。
【难度系数】
0.6
6. 如下图，把一根圆柱形木料通过底面直径沿高切成两部分，它的切面是面积为$36\mathrm{dm}^{2}$的正方形。原来圆柱的表面积是多少平方分米？
答案
因为$6×6=36$，所以圆柱的底面直径和高都是$6\mathrm{dm}$。
底面半径：$6÷2=3(\mathrm{dm})$
两个底面积：$2×3.14×3^2=56.52(\mathrm{dm}^2)$
侧面积：$3.14×6×6=113.04(\mathrm{dm}^2)$
表面积：$56.52+113.04=169.56(\mathrm{dm}^2)$
答：原来圆柱的表面积是169.56平方分米。
底面半径：$6÷2=3(\mathrm{dm})$
两个底面积：$2×3.14×3^2=56.52(\mathrm{dm}^2)$
侧面积：$3.14×6×6=113.04(\mathrm{dm}^2)$
表面积：$56.52+113.04=169.56(\mathrm{dm}^2)$
答：原来圆柱的表面积是169.56平方分米。
解析
【分析】
首先，我们要明确圆柱沿底面直径沿高切开后，切面是正方形意味着圆柱的底面直径和高长度相等，因为正方形的边长相等，切面的一组对边分别对应圆柱的高和底面直径。接下来，根据正方形的面积求出边长，也就是圆柱的底面直径和高；再计算出底面半径，分别求出圆柱的两个底面积和侧面积，最后将底面积与侧面积相加得到圆柱的表面积。
【解析】
1. 确定圆柱的底面直径和高：
已知切面是面积为$36\mathrm{dm}^{2}$的正方形，根据正方形面积公式$S=a^2$（$a$为正方形边长），因为$6×6=36$，所以圆柱的底面直径和高均为$6\mathrm{dm}$。
2. 计算底面半径：
$r = 6÷2 = 3(\mathrm{dm})$
3. 计算两个底面积：
根据圆的面积公式$S_{底}=π r^2$，可得两个底面积为$2×3.14×3^2 = 2×3.14×9 = 56.52(\mathrm{dm}^2)$
4. 计算侧面积：
根据圆柱侧面积公式$S_{侧}=π dh$，代入数据得$3.14×6×6 = 113.04(\mathrm{dm}^2)$
5. 计算圆柱的表面积：
圆柱表面积 = 两个底面积 + 侧面积，即$56.52 + 113.04 = 169.56(\mathrm{dm}^2)$
答：原来圆柱的表面积是169.56平方分米。
【答案】
$169.56$平方分米
【知识点】
圆柱表面积计算，正方形面积计算，圆柱切割特征
【点评】
本题的核心是理解圆柱切割后切面形状与圆柱各部分的关系，需要熟练掌握圆柱表面积、正方形面积的相关公式，通过逐步推导计算结果，锻炼空间想象能力和公式运用能力。
【难度系数】
0.6
首先，我们要明确圆柱沿底面直径沿高切开后，切面是正方形意味着圆柱的底面直径和高长度相等，因为正方形的边长相等，切面的一组对边分别对应圆柱的高和底面直径。接下来，根据正方形的面积求出边长，也就是圆柱的底面直径和高；再计算出底面半径，分别求出圆柱的两个底面积和侧面积，最后将底面积与侧面积相加得到圆柱的表面积。
【解析】
1. 确定圆柱的底面直径和高：
已知切面是面积为$36\mathrm{dm}^{2}$的正方形，根据正方形面积公式$S=a^2$（$a$为正方形边长），因为$6×6=36$，所以圆柱的底面直径和高均为$6\mathrm{dm}$。
2. 计算底面半径：
$r = 6÷2 = 3(\mathrm{dm})$
3. 计算两个底面积：
根据圆的面积公式$S_{底}=π r^2$，可得两个底面积为$2×3.14×3^2 = 2×3.14×9 = 56.52(\mathrm{dm}^2)$
4. 计算侧面积：
根据圆柱侧面积公式$S_{侧}=π dh$，代入数据得$3.14×6×6 = 113.04(\mathrm{dm}^2)$
5. 计算圆柱的表面积：
圆柱表面积 = 两个底面积 + 侧面积，即$56.52 + 113.04 = 169.56(\mathrm{dm}^2)$
答：原来圆柱的表面积是169.56平方分米。
【答案】
$169.56$平方分米
【知识点】
圆柱表面积计算，正方形面积计算，圆柱切割特征
【点评】
本题的核心是理解圆柱切割后切面形状与圆柱各部分的关系，需要熟练掌握圆柱表面积、正方形面积的相关公式，通过逐步推导计算结果，锻炼空间想象能力和公式运用能力。
【难度系数】
0.6
一个高30cm的啤酒瓶中盛有水，水深20cm(如下图①)，把它倒置后水深25cm(如下图②)。这个啤酒瓶的容积是多少？（啤酒瓶厚度不计。）
答案
$3.14×(4÷2)²×[20+(30-25)]$
$=3.14×4×25$
$=314$（立方厘米）
答：这个啤酒瓶的容积是314立方厘米。
$=3.14×4×25$
$=314$（立方厘米）
答：这个啤酒瓶的容积是314立方厘米。
解析
【分析】
本题的关键是将不规则的啤酒瓶容积转化为规则圆柱的体积来计算。由于啤酒瓶厚度不计，正放时水的体积不变，倒置后空的部分可看作高为$(30-25)\mathrm{cm}$的圆柱。因此啤酒瓶的容积等于正放时水的体积加上倒置后空部分的体积，也就是底面积相同、高为$[20+(30-25)]\mathrm{cm}$的圆柱体积，再利用圆柱体积公式计算即可。
【解析】
解：根据圆柱体积公式$V=π r^2h$，代入数据计算：
$3.14×(4÷2)²×[20+(30-25)]$
$=3.14×4×25$
$=314$（立方厘米）
答：这个啤酒瓶的容积是314立方厘米。
【答案】
314立方厘米
【知识点】
圆柱体积计算；等积变形思想
【点评】
本题考查不规则容器容积的计算，核心是利用等积变形思想，将不规则的空余部分转化为规则的圆柱，从而将整个瓶子的容积转化为一个完整圆柱的体积来计算，锻炼学生的转化思维能力。
【难度系数】
0.5
本题的关键是将不规则的啤酒瓶容积转化为规则圆柱的体积来计算。由于啤酒瓶厚度不计，正放时水的体积不变，倒置后空的部分可看作高为$(30-25)\mathrm{cm}$的圆柱。因此啤酒瓶的容积等于正放时水的体积加上倒置后空部分的体积，也就是底面积相同、高为$[20+(30-25)]\mathrm{cm}$的圆柱体积，再利用圆柱体积公式计算即可。
【解析】
解：根据圆柱体积公式$V=π r^2h$，代入数据计算：
$3.14×(4÷2)²×[20+(30-25)]$
$=3.14×4×25$
$=314$（立方厘米）
答：这个啤酒瓶的容积是314立方厘米。
【答案】
314立方厘米
【知识点】
圆柱体积计算；等积变形思想
【点评】
本题考查不规则容器容积的计算，核心是利用等积变形思想，将不规则的空余部分转化为规则的圆柱，从而将整个瓶子的容积转化为一个完整圆柱的体积来计算，锻炼学生的转化思维能力。
【难度系数】
0.5
牙膏厂将牙膏口的直径由原来的0.4cm改为0.5cm。如果每人每天使用牙膏的长度为4cm，一年(按365天计算)每人大约要比原来多用去多少立方厘米牙膏？（结果保留一位小数。）
答案
0.4÷2=0.2(cm)
0.5÷2=0.25(cm)
3.14×(0.25² - 0.2²)×4×365
=3.14×(0.0625 - 0.04)×4×365
=3.14×0.0225×4×365
=0.2826×365
≈103.1(立方厘米)
答：一年每人大约要比原来多用去103.1立方厘米牙膏。
0.5÷2=0.25(cm)
3.14×(0.25² - 0.2²)×4×365
=3.14×(0.0625 - 0.04)×4×365
=3.14×0.0225×4×365
=0.2826×365
≈103.1(立方厘米)
答：一年每人大约要比原来多用去103.1立方厘米牙膏。
解析
【分析】
要解决这个问题，我们需要明确牙膏的形状为圆柱体，多用的牙膏体积等于一年中现在使用的牙膏体积与原来使用的牙膏体积的差值。具体解题思路如下：
1. 先根据牙膏口的直径求出原来和现在的半径，因为圆柱底面积的计算依赖半径；
2. 计算现在与原来牙膏口的底面积之差（即圆环面积），再乘以每天使用牙膏的长度，得到每天多用的牙膏体积；
3. 最后将每天多用的体积乘以一年的天数365，得到一年总共多用的牙膏体积，注意结果需保留一位小数。
【解析】
1. 计算牙膏口半径：
原来牙膏口半径：$0.4÷2 = 0.2(\mathrm{cm})$
现在牙膏口半径：$0.5÷2 = 0.25(\mathrm{cm})$
2. 计算一年多用的牙膏体积：
$\begin{aligned}&3.14×(0.25^2 - 0.2^2)×4×365\\=&3.14×(0.0625 - 0.04)×4×365\\=&3.14×0.0225×4×365\\=&0.2826×365\\&\approx103.1(\mathrm{立方厘米})\end{aligned}$
答：一年每人大约要比原来多用去103.1立方厘米牙膏。
【答案】
103.1立方厘米
【知识点】
圆柱体积计算，圆环面积应用
【点评】
本题考查圆柱体积公式在实际生活中的应用，要求学生熟练掌握圆柱体积公式，学会利用差量法计算体积差，解题时需注意半径的推导以及结果保留位数的要求，提升解决实际问题的能力。
【难度系数】
0.7
要解决这个问题，我们需要明确牙膏的形状为圆柱体，多用的牙膏体积等于一年中现在使用的牙膏体积与原来使用的牙膏体积的差值。具体解题思路如下：
1. 先根据牙膏口的直径求出原来和现在的半径，因为圆柱底面积的计算依赖半径；
2. 计算现在与原来牙膏口的底面积之差（即圆环面积），再乘以每天使用牙膏的长度，得到每天多用的牙膏体积；
3. 最后将每天多用的体积乘以一年的天数365，得到一年总共多用的牙膏体积，注意结果需保留一位小数。
【解析】
1. 计算牙膏口半径：
原来牙膏口半径：$0.4÷2 = 0.2(\mathrm{cm})$
现在牙膏口半径：$0.5÷2 = 0.25(\mathrm{cm})$
2. 计算一年多用的牙膏体积：
$\begin{aligned}&3.14×(0.25^2 - 0.2^2)×4×365\\=&3.14×(0.0625 - 0.04)×4×365\\=&3.14×0.0225×4×365\\=&0.2826×365\\&\approx103.1(\mathrm{立方厘米})\end{aligned}$
答：一年每人大约要比原来多用去103.1立方厘米牙膏。
【答案】
103.1立方厘米
【知识点】
圆柱体积计算，圆环面积应用
【点评】
本题考查圆柱体积公式在实际生活中的应用，要求学生熟练掌握圆柱体积公式，学会利用差量法计算体积差，解题时需注意半径的推导以及结果保留位数的要求，提升解决实际问题的能力。
【难度系数】
0.7
