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4. 甲、乙两组的测试成绩如下：
甲：91,96,70,89,60,70,100,80,92,98；
乙：92,93,70,88,82,75,96,80,92,95.
(1)求甲组数据的四分位数；
(2)根据四分位数可绘制如下的箱线图，观察图中乙组的箱线图，绘制甲组的箱线图.
(3)根据箱线图和对四分位数的理解，谈谈对两组成绩的看法.
甲：91,96,70,89,60,70,100,80,92,98；
乙：92,93,70,88,82,75,96,80,92,95.
(1)求甲组数据的四分位数；
(2)根据四分位数可绘制如下的箱线图，观察图中乙组的箱线图，绘制甲组的箱线图.
(3)根据箱线图和对四分位数的理解，谈谈对两组成绩的看法.
答案
最终答案：
(1) 甲组四分位数：\boldsymbol{Q_1=70}，\boldsymbol{Q_2=90}，\boldsymbol{Q_3=94}；
(2) 箱线图按上述关键点绘制；
(3) 甲组成绩分散、两极分化，乙组成绩集中、稳定性强。
1. 离差平方和的计算公式为，其中$\bar{x}$是这组数据的.
答案
$\sum_{i=1}^{n}(x_{i}-\bar{x})^{2}$；平均数
解析
离差平方和是各数据与平均数差的平方的和，其计算公式为$\sum_{i=1}^{n}(x_{i}-\bar{x})^{2}$，其中$\bar{x}$是这组数据的平均数。
2. 有$n$个按顺序排列的数据，将其分成两组的间隔数共有个.
答案
$n - 1$
解析
将$n$个按顺序排列的数据分成两组，间隔点是在两个相邻数据之间，共有$n-1$个相邻的间隔点，而每一个间隔点都可以作为分组的一个间隔位置，即间隔数与相邻数据的间隔点数相同。
3. 利用组内离差平方和对数据分组时，应遵循的原则.
答案
使组内离差平方和最小
解析
在利用组内离差平方和对数据分组时，为了使得数据在组内的分布更加集中，应尽量减小组内数据与组中值的离差，即需要遵循使组内离差平方和最小的原则，这样分组能让数据在组内的差异更小，分组更合理。
例 某班级$8$名学生的英语测验成绩（满分$100$分）按从小到大排列为：$55$，$60$，$63$，$68$，$72$，$77$，$81$，$86$.请按“前$3$个为一组、后$5$个为一组”计算组内离差平方和，并说明若要使组内差异最小，还需要做什么操作.
答案
第一组（前3个数据：55，60，63）
1. 平均数：$\bar{x}_1=\frac{55+60+63}{3}=\frac{178}{3}$
2. 离差平方和：
$\sum (x_i-\bar{x}_1)^2=(55-\frac{178}{3})^2+(60-\frac{178}{3})^2+(63-\frac{178}{3})^2$
$=(-\frac{13}{3})^2+(\frac{2}{3})^2+(\frac{11}{3})^2=\frac{169}{9}+\frac{4}{9}+\frac{121}{9}=\frac{294}{9}=\frac{98}{3}\approx32.67$
第二组（后5个数据：68，72，77，81，86）
1. 平均数：$\bar{x}_2=\frac{68+72+77+81+86}{5}=76.8$
2. 离差平方和：
$\sum (x_i-\bar{x}_2)^2=(68-76.8)^2+(72-76.8)^2+(77-76.8)^2+(81-76.8)^2+(86-76.8)^2$
$=(-8.8)^2+(-4.8)^2+(0.2)^2+(4.2)^2+(9.2)^2=77.44+23.04+0.04+17.64+84.64=202.8$
使组内差异最小的操作
重新合理分组（如调整分组数量或组距，使组内数据更集中）。
1. 平均数：$\bar{x}_1=\frac{55+60+63}{3}=\frac{178}{3}$
2. 离差平方和：
$\sum (x_i-\bar{x}_1)^2=(55-\frac{178}{3})^2+(60-\frac{178}{3})^2+(63-\frac{178}{3})^2$
$=(-\frac{13}{3})^2+(\frac{2}{3})^2+(\frac{11}{3})^2=\frac{169}{9}+\frac{4}{9}+\frac{121}{9}=\frac{294}{9}=\frac{98}{3}\approx32.67$
第二组（后5个数据：68，72，77，81，86）
1. 平均数：$\bar{x}_2=\frac{68+72+77+81+86}{5}=76.8$
2. 离差平方和：
$\sum (x_i-\bar{x}_2)^2=(68-76.8)^2+(72-76.8)^2+(77-76.8)^2+(81-76.8)^2+(86-76.8)^2$
$=(-8.8)^2+(-4.8)^2+(0.2)^2+(4.2)^2+(9.2)^2=77.44+23.04+0.04+17.64+84.64=202.8$
使组内差异最小的操作
重新合理分组（如调整分组数量或组距，使组内数据更集中）。
变式训练 某环保监测站连续$7$天记录的空气中$\mathrm{PM}\ 2.5$日均浓度（单位：$μ g/m^{3}$）按从小到大排列为：$24$，$27$，$30$，$36$，$40$，$44$，$48$.请按“前$3$个为一组、后$4$个为一组”计算组内离差平方和，并根据以上数据，谈谈你的看法.
答案
【解析】：前3个数据：24，27，30。平均数为(24+27+30)÷3=27。离差平方和：(24-27)²+(27-27)²+(30-27)²=9+0+9=18。后4个数据：36，40，44，48。平均数为(36+40+44+48)÷4=42。离差平方和：(36-42)²+(40-42)²+(44-42)²+(48-42)²=36+4+4+36=80。前组离差平方和小于后组，说明前3天PM2.5日均浓度波动较小，后4天波动较大。
【答案】：前3个组内离差平方和为18，后4个组内离差平方和为80；前3天PM2.5日均浓度波动较小，后4天波动较大。
【答案】：前3个组内离差平方和为18，后4个组内离差平方和为80；前3天PM2.5日均浓度波动较小，后4天波动较大。
解析
前3个数据：24，27，30。平均数为(24+27+30)÷3=27。离差平方和：(24-27)²+(27-27)²+(30-27)²=9+0+9=18。后4个数据：36，40，44，48。平均数为(36+40+44+48)÷4=42。离差平方和：(36-42)²+(40-42)²+(44-42)²+(48-42)²=36+4+4+36=80。前组离差平方和小于后组，说明前3天PM2.5日均浓度波动较小，后4天波动较大。
1. 利用组内离差平方和分组的核心原则是()
A.组内离差平方和最大
B.组内离差平方和最小
C.组间离差平方和最小
D.总体离差平方和最大
A.组内离差平方和最大
B.组内离差平方和最小
C.组间离差平方和最小
D.总体离差平方和最大
答案
B
解析
在数据的分组中，利用组内离差平方和的核心原则是要使每组内的数据尽可能集中，即组内离差平方和最小，这样可以使不同组之间的差异更明显。
2. $10$个数据按顺序排列后，分成两组的间隔数为()
A.$8$个
B.$9$个
C.$10$个
D.$11$个
A.$8$个
B.$9$个
C.$10$个
D.$11$个
答案
B
解析
将$10$个数据按顺序排列后，分成两组时，间隔数等于数据个数减一，即$10 - 1 = 9$个。
3. 某小组$6$名学生的数学成绩为：$70$，$75$，$80$，$85$，$90$，$95$，按“前$3$个为一组、后$3$个为一组”分组，计算该分组的组内离差平方和.
答案
100
解析
第一组：70，75，80
1. 组内平均数：$\bar{x}_1 = \frac{70 + 75 + 80}{3} = 75$
2. 离差平方和：$(70 - 75)^2 + (75 - 75)^2 + (80 - 75)^2 = (-5)^2 + 0^2 + 5^2 = 25 + 0 + 25 = 50$
第二组：85，90，95
1. 组内平均数：$\bar{x}_2 = \frac{85 + 90 + 95}{3} = 90$
2. 离差平方和：$(85 - 90)^2 + (90 - 90)^2 + (95 - 90)^2 = (-5)^2 + 0^2 + 5^2 = 25 + 0 + 25 = 50$
总组内离差平方和：$50 + 50 = 100$
1. 组内平均数：$\bar{x}_1 = \frac{70 + 75 + 80}{3} = 75$
2. 离差平方和：$(70 - 75)^2 + (75 - 75)^2 + (80 - 75)^2 = (-5)^2 + 0^2 + 5^2 = 25 + 0 + 25 = 50$
第二组：85，90，95
1. 组内平均数：$\bar{x}_2 = \frac{85 + 90 + 95}{3} = 90$
2. 离差平方和：$(85 - 90)^2 + (90 - 90)^2 + (95 - 90)^2 = (-5)^2 + 0^2 + 5^2 = 25 + 0 + 25 = 50$
总组内离差平方和：$50 + 50 = 100$
