例1 对于一组数据，其下四分位数、中位数、上四分位数将所有数据分成了四个部分. 每个部分包含的数据个数约占总数据个数的%.

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变式训练 某小组8名同学的数学测试成绩如下(单位：分)：
85,92,78,95,88,85,90,98.
(1)求这组数据的平均数、中位数和众数；
(2)求这组数据的下四分位数、上四分位数.

【解析】：(1)将数据从小到大排序：78,85,85,88,90,92,95,98.
平均数：(78+85+85+88+90+92+95+98)÷8=711÷8=88.875；
中位数：第4、5个数的平均数，即(88+90)÷2=89；
众数：85（出现2次，次数最多）.
(2)n=8，下四分位数位置=(8+1)×25%=2.25，第2个数为85，第3个数为85，下四分位数=85+0.25×(85-85)=85；
上四分位数位置=(8+1)×75%=6.75，第6个数为92，第7个数为95，上四分位数=92+0.75×(95-92)=94.25.
【答案】：(1)平均数88.875，中位数89，众数85；(2)下四分位数85，上四分位数94.25.

(1)将数据从小到大排序：78,85,85,88,90,92,95,98.
平均数：(78+85+85+88+90+92+95+98)÷8=711÷8=88.875；
中位数：第4、5个数的平均数，即(88+90)÷2=89；
众数：85（出现2次，次数最多）.
(2)n=8，下四分位数位置=(8+1)×25%=2.25，第2个数为85，第3个数为85，下四分位数=85+0.25×(85-85)=85；
上四分位数位置=(8+1)×75%=6.75，第6个数为92，第7个数为95，上四分位数=92+0.75×(95-92)=94.25.

例2 老师记录了全班40名学生1 min跳绳的次数：
132 136 144 162 144 115 132
136 123 144 136 132 132 159
136 144 129 136 139 153 123
133 144 137 152 138 136 129
129 134 138 149 125 128 128
133 138 134 146 148
(1)求全班学生1 min跳绳次数的最小值、下四分位数、中位数、上四分位数和最大值；
(2)绘制出以上数据的箱线图.

（1）
将数据从小到大排序：
115, 123, 123, 125, 128, 128, 129, 129, 129, 132, 132, 132, 132, 133, 133, 134, 134, 136, 136, 136, 136, 136, 136, 137, 138, 138, 138, 139, 144, 144, 144, 144, 144, 146, 148, 149, 152, 153, 159, 162。
最小值：115。
$Q1$（下四分位数位置） ：$(40 + 1) × 0.25 = 10.25$，第11个数据（ 132）与第10个数据（132）的平均值，即$Q1 = 132$。
$M$（中位数位置）： $(40 + 1) × 0.5 = 20.5$，第21个数据（136）与第20个数据（136）的平均值，即$M = 136$。
$Q3$（上四分位数位置）： $(40 + 1) × 0.75 = 30.75$，第31个数据（144）与第30个数据（144）的平均值，即$Q3 = 144$。
最大值：162。
（2） 箱线图绘制：
最小值-下四分位数-中位数-上四分位数-最大值，对应数值：115，132，136，144，162，
在数轴上标出以上五个值，绘制箱线图（图略）。

1. 现有一组数据：106,113,96,98,100,102,104,111，则下四分位数是()

A.113
B.99
C.102
D.98

B

将数据从小到大排序：96,98,100,102,104,106,111,113。n=8，下四分位数位置=8×25%=2，取第2项与第3项的平均数，即(98+100)/2=99。

2. 关于箱线图的描述，下列说法错误的是()

A.箱线图中，顶端和底端的两条线分别表示全部数据中的最大值与最小值
B.箱线图最顶端和最底端线段中间的距离表示平均数
C.上、下四分位数之间的高度反映了中间50%数据的集中程度
D.中位数越靠近上四分位数，说明中位数到下四分位间的数据越分散

B

箱线图是一种用于显示数据分布特征的统计图。对于选项A，箱线图中顶端和底端的两条线确实分别表示全部数据中的最大值与最小值，该说法正确。选项B，箱线图最顶端和最底端线段中间的距离表示的是数据的极差，而不是平均数，所以该说法错误。选项C，上、下四分位数之间包含了中间50%的数据，它们之间的高度反映了这中间50%数据的集中程度，说法正确。选项D，中位数越靠近上四分位数，说明中位数到下四分位间的数据跨度相对较大，即数据越分散，说法正确。

3. 已知甲、乙两班人数相同，在一次测试中两班成绩箱线图如图所示.
(1)由此图估计甲、乙两班平均分较高的班级是哪个？为什么？
(2)若在两班中随机抽取一人，发现他的分数小于128分，则该同学来自哪个班级的可能性大？

(1)
解：乙班平均分较高。
原因：从箱线图可知，乙班成绩的中位数、上四分位数以及最大值都高于甲班，且分布相对更集中于较高分数段，所以乙班平均分较高。
(2)
解：甲班可能性大。
理由：甲班成绩小于$128$分的人数多于乙班成绩小于$128$分的人数，两班人数相同，所以在两班中随机抽取一人，分数小于$128$分时，该同学来自甲班的可能性大。