8. 如图,在正方形$ABCD$中,对角线$AC$与$BD$相交于点$O$,点$E$在$OC$上(不与点$O$,$C$重合),$AF⊥ BE$于点$F$,$AF$交$BD$于点$G$,给出下述结论:①$△ ABG≌△ BCE$;②$AG=BE$;③$∠ DAG=∠ BGF$;④$AE=DG$.其中一定成立的有.

8. ①②④

9. 如图,在边长为4的正方形$ABCD$中,$E$是$AB$边上的一点,且$AE=3$,点$Q$为对角线$AC$上的动点,则$△ BEQ$的周长的最小值为.

9. $6$

10. 如图,在正方形$ABCD$中,$E$是$BC$的中点,连接$DE$,过点$A$作$AG⊥ ED$交$DE$于点$F$,交$CD$于点$G$.
(1)求证:$△ ADG≌△ DCE$;
(2)连接$BF$,求证:$AB=FB$.

10. 证明:(1)$\because$四边形$ABCD$是正方形,
$\therefore∠ ADG=∠ C=90°$,$AD=DC$.
又$\because AG⊥ DE$,
$\therefore∠ DAG+∠ ADF=90°=∠ CDE+∠ ADF$.
$\therefore∠ DAG=∠ CDE$.
$\therefore△ ADG≌△ DCE(\mathrm{ASA})$.
(2)延长$DE$交$AB$的延长线于点$H$.
$\because E$是$BC$的中点,$\therefore BE=CE$.
又$\because∠ C=∠ HBE=90°$,$∠ DEC=∠ HEB$,
$\therefore△ DCE≌△ HBE(\mathrm{ASA})$.
$\therefore BH=DC=AB$.
$\therefore B$是$AH$的中点.
又$\because∠ AFH=90°$,
$\therefore$在$\mathrm{Rt}△ AFH$中,$BF=\dfrac{1}{2}AH=AB$.

11. 如图①,在正方形$ABCD$中,$AB=8$,将三角板放在正方形$ABCD$上,使三角板的直角顶点与$D$点重合.三角板的一边交$AB$于点$P$,另一边交$BC$的延长线于点$Q$.
(1)线段$AP$与线段$CQ$的关系是;
(2)如图②,小明在图①的基础上作$∠ PDQ$的平分线$DE$交$BC$于点$E$,连接$PE$,他发现$PE$和$QE$的数量关系是,请予以证明;
(3)在(2)的条件下,若$AP=2$,则$PE$的长为.

11. 解:(1)$\therefore AP=CQ$,$AP⊥ CQ$.
(2)$PE=QE$.
理由如下:$\because$四边形$ABCD$为正方形,
$\therefore∠ ADC=90°$,$∠ B=90°$,$AD=CD$,
$\because∠ ADC=∠ PDQ=90°$,
$\therefore∠ ADC-∠ PDC=∠ PDQ-∠ PDC$,即$∠ ADP=∠ CDQ$,
在$△ ADP$和$△ CDQ$中,
$\begin{cases} ∠ ADP=∠ CDQ,\\ AD=CD,\\ ∠ A=∠ DCQ,\\ \end{cases}$
$\therefore△ ADP≌△ CDQ(\mathrm{ASA})$
$\therefore DP=DQ$.
$\because DE$是$∠ PDQ$的平分线,
$\therefore∠ PDE=∠ QDE$.
在$△ PDE$和$△ QDE$中,
$\begin{cases} DP=DQ,\\ ∠ PDE=∠ QDE,\\ DE=DE.\\ \end{cases}$
$\therefore△ PDE≌△ QDE(\mathrm{SAS})$,
$\therefore PE=EQ$.
(3)$PE=6.8$