12. 如图①,四边形$ABCD$是正方形,点$E$是$BC$边上的点,连接$AE$,过点$E$作$EF⊥ AE$,过点$F$作$FG⊥ BC$交$BC$的延长线于点$G$.
(1)求证:$∠ BAE=∠ FEG$;
(2)如图②,点$E$是$BC$边的中点,$∠ AEF=90°$,且$EF$交正方形外角$∠ DCG$的平分线于点$F$,求证:$AE=EF$;
(3)如图③,点$E$是$BC$边上(除$B$,$C$外)的任意一点,其他条件不变,那么$AE=EF$是否成立? 如果成立,写出证明过程.如果不成立,请说明理由.

12. (1)证明:$\because∠ AEF=90°$,$\therefore∠ AEB+∠ FEG=90°$.
又$\because\mathrm{Rt}△ ABE$中,$∠ BAE+∠ AEB=90°$,$\therefore∠ BAE=∠ FEG$.
(2)证明:取$AB$的中点$M$,连接$ME$.如图①.
$\because$正方形$ABCD$中,$AB=BC$,
又$\because AM=MB=\dfrac{1}{2}AB$,$BE=CE=\dfrac{1}{2}BC$,
$\therefore MB=BE$.
$\therefore△ MBE$是等腰直角三角形
$\therefore∠ BME=45°$,
$\therefore∠ AME=135°$.
又$\because∠ ECF=180°-∠ FCG=180°-45°=135°$,
$∠ AME=∠ ECF$.
在$△ AME$和$△ ECF$中,
$\begin{cases} ∠ BAE=∠ FEC,\\ AM=EC,\\ ∠ AME=∠ ECF,\\ \end{cases}$ $\therefore△ AME≌△ ECF(\mathrm{ASA})$.
$\therefore AE=EF$.

(3)解:仍然成立.理由如下:
在$AB$上取一点$M$,使$AM=EC$,连接$ME$.如图②.
$\therefore BM=BE$.
$\therefore∠ BME=45°$,$\therefore∠ AME=135°$.
$\because CF$是外角平分线,$\therefore∠ DCF=45°$.
$\therefore∠ ECF=135°$.$\therefore∠ AME=∠ ECF$.
$\because∠ AEB+∠ BAE=90°$,$∠ AEB+∠ CEF=90°$,
$\therefore∠ BAE=∠ CEF$.
在$△ AME$和$△ ECF$中,
$\begin{cases} ∠ BAE=∠ FEC,\\ AM=EC,\\ ∠ AME=∠ ECF,\\ \end{cases}$
$\therefore△ AME≌△ ECF(\mathrm{ASA})$.
$\therefore AE=EF$.