2. 如图，把一张矩形卡片ABCD放在每格宽度为12 mm的横格纸中，它的4个顶点恰好都在横格线上，已知α = 36°，求矩形卡片ABCD的周长(精确到1 mm；参考数据：sin 36°≈0.60，cos 36°≈0.80，tan 36°≈0.75).

解：过点​B​作​BE​垂直于横格，过点​D​作​DF ​垂直于横格
由题意可知，$​BE=24\ \mathrm {mm}，$$​​DF=48\ \mathrm {mm}​$
∵​∠BAD=90°，​
∴​∠EAB+∠FAD=90°​
∴​∠EAB=∠ADF=36°​
∴$​AB=\frac {BE}{sin 36°}≈40\ \mathrm {mm}，$$​​AD=\frac {DF}{cos 36°}≈60\ \mathrm {mm}​$
$​C_{矩形ABCD}=2(AB+ AD)= 200\ \mathrm {mm}​$
答：矩形卡片​△BCD​的周长为$​200\ \mathrm {mm}。$​

3. 如图，某学校的大门是由相同的菱形框架组成的伸缩推拉门.已知大门关闭时菱形的边长为0.5 m，锐角都是50°，求大门的宽(精确到0.01 m；参考数据：sin 25°≈0.422 6，cos 25°≈0.906 3).

解：截取大门部分如图所示

由题意可知，​AB=0.5m​
$​∠ABC=\frac {1}{2}×50°=25°​$
∴​AC=sin 25°×AB≈0.211m​
∴大门的宽​d=9×2AC+ AC≈4.01m​
答：大门的宽为​4.01m。​

1. 如图是某太阳能热水器的示意图，已知真空集热管AB与支架CD所在直线相交于水箱横断面⊙O的圆心，支架CD与水平面AE垂直，AB = 150 cm，∠BAC = 30°，另一根辅助支架DE = 80 cm，∠CED = 45°.求热水器CF的高度(保留根号).

解：∵​∠CED=45°​
∴$​DC = sin 45°×DE = 40\sqrt{2}\ \mathrm {cm}​$
设圆​O​的半径为​r​
∵​∠BAC=30°，
​∴​OC=sin 30°×OA​
∴$​2(r+40\sqrt{2})=r+150，$​
$​r= 150 - 80\sqrt{2}​$
$​CF= CD+ 2r= (300- 120\sqrt{2})\ \mathrm {cm}​$
答：热水器​CF ​的高度为$​(300 - 120\sqrt{2})\ \mathrm {cm}。$​

2. 如图是某种型号拉杆箱的实物图与示意图.根据商品介绍，可知如下信息：滑杆DE、箱体BC、拉杆AB的长都相等，即DE = BC = AB，点B、F在AC上，点C在DE上，支杆DF = 30 cm，CE : CD = 1 : 3，∠DCF = 45°，∠CDF = 30°.
(1)求AC的长(保留根号)；
(2)求拉杆端点A到水平滑杆DE的距离(精确到1 cm；参考数据：$\sqrt{2}\approx1.41$，$\sqrt{3}\approx1.73$，$\sqrt{6}\approx2.45$).

解：​ (1)​过点​F ​作​FH⊥CD​交于点​H​
∵​∠CDF=30°​
∴$​FH=DF×sin 30°=15\ \mathrm {cm}，$​
$​DH=cos 30°×DF=15\sqrt{3}\ \mathrm {cm}​$
∵​∠DCF=45°​
∴$​CH=FH= 15\ \mathrm {cm}​$
∴$​CD= CH+ DH= (15 + 15\sqrt{3})\ \mathrm {cm}​$
∵​CE ：​​ CD= 1：​​3​
∴$​CE= (5+5\sqrt{3})\ \mathrm {cm}​$
∴$​DE= CE+CD= (20+20\sqrt{3})\ \mathrm {cm}​$
∵​DE= BC= AB​
∴$​AC= 2DE= (40 + 40\sqrt{3})\ \mathrm {cm}​$
​(2)​过点​A​作​AG⊥DE​于点​G​
∵​∠ACD=45°​
∴$​AG= sin 45°×AC= 20\sqrt{2}+20\sqrt{6}≈77\ \mathrm {cm}​$
答：拉杆端点​A​到水平滑杆​DE​的距离是$​77\ \mathrm {cm}。$​