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2. 若$\sqrt{x - 3}$在实数范围内有意义，则$x$的取值范围是().
A.$x＞0$
B.$x≥3$
C.$x＞-3$
D.$x≤3$
A.$x＞0$
B.$x≥3$
C.$x＞-3$
D.$x≤3$
答案
B
解析
根据二次根式有意义的条件，被开方数需为非负数，可得$x-3≥0$，解得$x≥3$。
3. 下列式子中，$x$的取值范围为$x≤2$的是().
A.$\sqrt{x - 2}$
B.$\sqrt{x + 2}$
C.$\sqrt{\frac{1}{2 - x}}$
D.$\sqrt{2 - x}$
A.$\sqrt{x - 2}$
B.$\sqrt{x + 2}$
C.$\sqrt{\frac{1}{2 - x}}$
D.$\sqrt{2 - x}$
答案
D
解析
根据二次根式有意义的条件（被开方数为非负数），结合分母不为0的要求，逐一分析选项：
选项A：$x-2≥0$，解得$x≥2$，不符合；
选项B：$x+2≥0$，解得$x≥-2$，不符合；
选项C：$\frac{1}{2-x}≥0$且$2-x≠0$，即$2-x＞0$，解得$x＜2$，不符合；
选项D：$2-x≥0$，解得$x≤2$，符合要求。
选项A：$x-2≥0$，解得$x≥2$，不符合；
选项B：$x+2≥0$，解得$x≥-2$，不符合；
选项C：$\frac{1}{2-x}≥0$且$2-x≠0$，即$2-x＞0$，解得$x＜2$，不符合；
选项D：$2-x≥0$，解得$x≤2$，符合要求。
4. 若$\sqrt{2x - 5}$在实数范围内有意义，则$x$的值不可能是().
A.2
B.$\frac{5}{2}$
C.3
D.5
A.2
B.$\frac{5}{2}$
C.3
D.5
答案
A
解析
要使$\sqrt{2x - 5}$在实数范围内有意义，需满足被开方数非负，即$2x - 5 ≥ 0$。解不等式：
$2x ≥ 5$，得$x ≥ \frac{5}{2}$。
分析选项：A选项$2 ＜ \frac{5}{2}$，不满足条件；B、C、D选项的值均满足$x ≥ \frac{5}{2}$。因此$x$的值不可能是2。
$2x ≥ 5$，得$x ≥ \frac{5}{2}$。
分析选项：A选项$2 ＜ \frac{5}{2}$，不满足条件；B、C、D选项的值均满足$x ≥ \frac{5}{2}$。因此$x$的值不可能是2。
5. 若代数式$\frac{\sqrt{x}}{x - 2}$有意义，则实数$x$的取值范围是().
A.$x≠2$
B.$x≥0$
C.$x≥2$
D.$x≥0$且$x≠2$
A.$x≠2$
B.$x≥0$
C.$x≥2$
D.$x≥0$且$x≠2$
答案
D
解析
要使代数式$\frac{\sqrt{x}}{x - 2}$有意义，需满足：①二次根式的被开方数非负，即$x≥0$；②分式的分母不为0，即$x-2≠0$，解得$x≠2$。因此实数$x$的取值范围是$x≥0$且$x≠2$。
6. 若$\sqrt{1 - a}$是二次根式，则$\sqrt{a - 2}$二次根式(填写“是”或“不是”).
答案
不是
解析
根据二次根式的定义，形如$\sqrt{a}$（$a≥0$）的式子是二次根式。
因为$\sqrt{1 - a}$是二次根式，所以$1 - a≥0$，解得$a≤1$。
此时$a - 2≤1 - 2=-1＜0$，不满足二次根式被开方数非负的条件，故$\sqrt{a - 2}$不是二次根式。
因为$\sqrt{1 - a}$是二次根式，所以$1 - a≥0$，解得$a≤1$。
此时$a - 2≤1 - 2=-1＜0$，不满足二次根式被开方数非负的条件，故$\sqrt{a - 2}$不是二次根式。
7. 若$\sqrt{x - 3}+\frac{2}{\sqrt{5 - x}}$有意义，则$x$的取值范围是.
答案
$3≤ x＜5$
解析
要使$\sqrt{x - 3}+\frac{2}{\sqrt{5 - x}}$有意义，需满足：
1. 二次根式的被开方数非负：$x-3≥0$，解得$x≥3$；
2. 分母不为0且分母中二次根式的被开方数为正：$5-x＞0$，解得$x＜5$。
综合两个条件，得$3≤ x＜5$。
1. 二次根式的被开方数非负：$x-3≥0$，解得$x≥3$；
2. 分母不为0且分母中二次根式的被开方数为正：$5-x＞0$，解得$x＜5$。
综合两个条件，得$3≤ x＜5$。
8. 当$x$为何值时，下列各式在实数范围内有意义？
(1) $\sqrt{x + 1}$.
(2) $\sqrt{2x - 1}$.
(3) $\frac{\sqrt{3 - x}}{x}$.
(4) $\sqrt{x^{2} + 1}$.
(1) $\sqrt{x + 1}$.
(2) $\sqrt{2x - 1}$.
(3) $\frac{\sqrt{3 - x}}{x}$.
(4) $\sqrt{x^{2} + 1}$.
答案
解：
(1) 要使$\sqrt{x + 1}$有意义，需$x + 1 ≥ 0$，
解得$x ≥ -1$。
(2) 要使$\sqrt{2x - 1}$有意义，需$2x - 1 ≥ 0$，
解得$x ≥ \frac{1}{2}$。
(3) 要使$\frac{\sqrt{3 - x}}{x}$有意义，需$\begin{cases}3 - x ≥ 0 \\ x ≠ 0\end{cases}$，
解得$x ≤ 3$且$x ≠ 0$。
(4) 要使$\sqrt{x^{2} + 1}$有意义，需$x^{2} + 1 ≥ 0$，
因为$x^2 ≥ 0$，所以$x^2 + 1 ≥ 1 ＞ 0$，
故$x$为任意实数。
(1) 要使$\sqrt{x + 1}$有意义，需$x + 1 ≥ 0$，
解得$x ≥ -1$。
(2) 要使$\sqrt{2x - 1}$有意义，需$2x - 1 ≥ 0$，
解得$x ≥ \frac{1}{2}$。
(3) 要使$\frac{\sqrt{3 - x}}{x}$有意义，需$\begin{cases}3 - x ≥ 0 \\ x ≠ 0\end{cases}$，
解得$x ≤ 3$且$x ≠ 0$。
(4) 要使$\sqrt{x^{2} + 1}$有意义，需$x^{2} + 1 ≥ 0$，
因为$x^2 ≥ 0$，所以$x^2 + 1 ≥ 1 ＞ 0$，
故$x$为任意实数。
9. 若$x＜1$，下列式子一定有意义的是().
A.$\sqrt{x - 1}$
B.$\sqrt{2x - 3}$
C.$\sqrt{\frac{1}{2 - 2x}}$
D.$\sqrt{x + 1}$
A.$\sqrt{x - 1}$
B.$\sqrt{2x - 3}$
C.$\sqrt{\frac{1}{2 - 2x}}$
D.$\sqrt{x + 1}$
答案
C
解析
二次根式有意义的条件是被开方数为非负数，若含分母则分母不为0。
选项A：$x＜1$时，$x-1＜0$，被开方数为负，式子无意义；
选项B：$x＜1$时，$2x-3＜2×1-3=-1＜0$，被开方数为负，式子无意义；
选项C：$x＜1$时，$2-2x=2(1-x)＞0$，故$\frac{1}{2-2x}＞0$，被开方数为正，式子一定有意义；
选项D：当$x＜-1$时，$x+1＜0$，被开方数为负，式子无意义。
综上，式子一定有意义的是选项C。
选项A：$x＜1$时，$x-1＜0$，被开方数为负，式子无意义；
选项B：$x＜1$时，$2x-3＜2×1-3=-1＜0$，被开方数为负，式子无意义；
选项C：$x＜1$时，$2-2x=2(1-x)＞0$，故$\frac{1}{2-2x}＞0$，被开方数为正，式子一定有意义；
选项D：当$x＜-1$时，$x+1＜0$，被开方数为负，式子无意义。
综上，式子一定有意义的是选项C。
10. 已知代数式$\sqrt{-3x - 1}-2\sqrt{2}$有意义，则$x$的取值范围是.
答案
$x ≤ -\frac{1}{3}$
解析
根据二次根式有意义的条件，被开方数需为非负数，因此列不等式：$-3x - 1 ≥ 0$。解不等式：移项得$-3x ≥ 1$，两边同除以$-3$（不等号方向改变），得$x ≤ -\frac{1}{3}$。
11. 已知实数$a$满足$|2025 - a|+\sqrt{a - 2026}=a$，求$a - 2025^{2}$的值.
答案
解：
由二次根式有意义的条件，得$a - 2026 ≥ 0$，即$a ≥ 2026$。
则$2025 - a ＜ 0$，所以$|2025 - a| = a - 2025$。
将其代入原方程，得：
$a - 2025 + \sqrt{a - 2026} = a$
移项化简，得$\sqrt{a - 2026} = 2025$
两边平方，得$a - 2026 = 2025^2$
所以$a - 2025^2 = 2026$。
由二次根式有意义的条件，得$a - 2026 ≥ 0$，即$a ≥ 2026$。
则$2025 - a ＜ 0$，所以$|2025 - a| = a - 2025$。
将其代入原方程，得：
$a - 2025 + \sqrt{a - 2026} = a$
移项化简，得$\sqrt{a - 2026} = 2025$
两边平方，得$a - 2026 = 2025^2$
所以$a - 2025^2 = 2026$。
