例 1 下列各式，一定是二次根式的是().
A. $\sqrt{-5}$
B. $\sqrt{a^{2}}$
C. $\sqrt[3]{2}$
D. $\sqrt{-a^{2}-1}$
分析：根据二次根式的概念，二次根式含有二次根号，且被开方数必须是非负数，满足上述条件的式子就是二次根式.
解：因为$-5＜0$，即 A 选项被开方数是负数，故 A 错误；B 选项中，无论$a$为何值，被开方数$a^{2}≥0$，故 B 正确；C 选项是三次根式，故 C 错误；D 选项中，无论$a$为何值，被开方数$-a^{2}-1=-(a^{2}+1)＜0$，故 D 错误. 故选 B.

B

根据二次根式的定义，形如$\sqrt{a}$（$a≥0$）的式子是二次根式。
A选项：被开方数$-5＜0$，不符合二次根式定义，错误；
B选项：无论$a$取何值，$a^2≥0$，且含二次根号，符合二次根式定义，正确；
C选项：是三次根式，不是二次根式，错误；
D选项：$-a^2-1=-(a^2+1)＜0$，被开方数为负，不符合二次根式定义，错误。

例 2 代数式$\frac{\sqrt{1 - 2x}}{1 + x}$在实数范围内有意义，则$x$的取值范围是.
分析：本题既要考虑二次根式有意义，又要考虑分式有意义. 只有二者同时有意义，才能保证整个代数式有意义.
解：自变量$x$的取值范围，须使$1 - 2x≥0$(即被开方数大于或等于零)且$1 + x≠0$(即分母不等于 0)，即$x≤\frac{1}{2}$且$x≠ - 1$. 故填：$x≤\frac{1}{2}$且$x≠ - 1$.

$x≤\frac{1}{2}$且$x≠ - 1$

要使代数式$\frac{\sqrt{1 - 2x}}{1 + x}$在实数范围内有意义，需同时满足两个条件：
1. 二次根式有意义：被开方数$1-2x≥0$，解得$x≤\frac{1}{2}$；
2. 分式有意义：分母$1+x≠0$，解得$x≠-1$。
综上，$x$的取值范围是$x≤\frac{1}{2}$且$x≠-1$。

1. 下列式子一定是二次根式的是().

A.$\sqrt{-2}$
B.$\sqrt{a}$
C.$\sqrt{5}$
D.$\sqrt[3]{4}$

C

根据二次根式的定义：形如$\sqrt{a}$（$a≥0$）的式子是二次根式。
选项A：被开方数$-2＜0$，不符合定义，不是二次根式；
选项B：被开方数$a$的取值不确定，若$a＜0$则不符合定义，不一定是二次根式；
选项C：被开方数$5＞0$，且根指数为2，符合二次根式定义，一定是二次根式；
选项D：根指数为3，是三次根式，不是二次根式。
综上，选择C。