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4. 已知二次函数 $ y = ax^{2} + bx + c $ 的图像是由二次函数 $ y = ax^{2} $ 的图像先向左平移 $3$ 个单位长度，再向下平移 $2$ 个单位长度得到的，并且经过点 $(-1,2)$。求这个二次函数的表达式。
答案
解：该函数为$y=a(x+3)^2-2$
在将点(-1，2)代入得$2=a(-1+3)^2-2$，解得a=1
∴二次函数表达式为$y=(x+3)^2-2=x^2+6x+7$
在将点(-1，2)代入得$2=a(-1+3)^2-2$，解得a=1
∴二次函数表达式为$y=(x+3)^2-2=x^2+6x+7$
解析
【解析】
1. 根据二次函数图像平移规律“左加右减，上加下减”，将$y=ax^2$先向左平移3个单位长度，再向下平移2个单位长度，得到平移后的函数表达式为$y=a(x+3)^2-2$。
2. 将点$(-1,2)$代入上述表达式：$2=a(-1+3)^2-2$。
3. 解方程得：$2=4a-2$，解得$a=1$。
4. 将$a=1$代入$y=a(x+3)^2-2$，展开可得$y=(x+3)^2-2=x^2+6x+7$。
【答案】
$y=x^2+6x+7$（或$y=(x+3)^2-2$）
【知识点】
二次函数平移规律、待定系数法求二次函数解析式
【点评】
本题考查二次函数图像平移与待定系数法求解析式，核心是掌握“左加右减，上加下减”的平移规律，通过代入已知点求解参数，进而得到函数表达式。
1. 根据二次函数图像平移规律“左加右减，上加下减”，将$y=ax^2$先向左平移3个单位长度，再向下平移2个单位长度，得到平移后的函数表达式为$y=a(x+3)^2-2$。
2. 将点$(-1,2)$代入上述表达式：$2=a(-1+3)^2-2$。
3. 解方程得：$2=4a-2$，解得$a=1$。
4. 将$a=1$代入$y=a(x+3)^2-2$，展开可得$y=(x+3)^2-2=x^2+6x+7$。
【答案】
$y=x^2+6x+7$（或$y=(x+3)^2-2$）
【知识点】
二次函数平移规律、待定系数法求二次函数解析式
【点评】
本题考查二次函数图像平移与待定系数法求解析式，核心是掌握“左加右减，上加下减”的平移规律，通过代入已知点求解参数，进而得到函数表达式。
5. 已知二次函数 $ y = (m - 1)x^{2} + 2mx + 3m - 2 $ 的最大值为 $0$。求 $ m $ 的值。
答案
解：因为二次函数有最大值0，所以函数图像开口向下，且与x轴仅有一个交点。
由题意可得$(2m)^2-4(m-1)(3m-2)=0$
解得$m=\frac 12$或m=2
∵函数有最大值
∴m-1＜0
∴$m=\frac 12$
由题意可得$(2m)^2-4(m-1)(3m-2)=0$
解得$m=\frac 12$或m=2
∵函数有最大值
∴m-1＜0
∴$m=\frac 12$
解析
【解析】
因为二次函数有最大值0，所以函数图像开口向下，且与x轴仅有一个交点。
1. 根据二次函数判别式$\Delta=b^2-4ac=0$（其中$a=m-1$，$b=2m$，$c=3m-2$），列方程：
$4(m-1)(3m-2)-(2m)^2=0$
2. 解方程得$m=\frac{1}{2}$或$m=2$。
3. 由于函数有最大值，二次项系数需满足$m-1＜0$，即$m＜1$，故舍去$m=2$，得$m=\frac{1}{2}$。
【答案】
$m=\frac{1}{2}$
【知识点】
二次函数的最值、判别式的应用、二次项系数与开口方向
【点评】
本题考查二次函数的性质，需结合判别式判断函数与x轴的交点情况，同时根据开口方向确定二次项系数的符号，从而筛选出符合条件的m值，解题时注意不要忽略对二次项系数符号的判断，避免出现错误解。
因为二次函数有最大值0，所以函数图像开口向下，且与x轴仅有一个交点。
1. 根据二次函数判别式$\Delta=b^2-4ac=0$（其中$a=m-1$，$b=2m$，$c=3m-2$），列方程：
$4(m-1)(3m-2)-(2m)^2=0$
2. 解方程得$m=\frac{1}{2}$或$m=2$。
3. 由于函数有最大值，二次项系数需满足$m-1＜0$，即$m＜1$，故舍去$m=2$，得$m=\frac{1}{2}$。
【答案】
$m=\frac{1}{2}$
【知识点】
二次函数的最值、判别式的应用、二次项系数与开口方向
【点评】
本题考查二次函数的性质，需结合判别式判断函数与x轴的交点情况，同时根据开口方向确定二次项系数的符号，从而筛选出符合条件的m值，解题时注意不要忽略对二次项系数符号的判断，避免出现错误解。
6. 已知二次函数图像的顶点坐标是 $(-2,3)$，且与 $ x $ 轴的一个交点的坐标是 $(-5,0)$。求这个二次函数的表达式。
答案
解：设函数表达式为$y=a(x+2)^2+3$
将点(-5，0)代入可得$a(-5+2)^2+3=0$，解得$a=-\frac 13$
∴函数表达式为$y=-\frac 13(x+2)^2+3=-\frac 13x^2-\frac 43x+\frac 53$
将点(-5，0)代入可得$a(-5+2)^2+3=0$，解得$a=-\frac 13$
∴函数表达式为$y=-\frac 13(x+2)^2+3=-\frac 13x^2-\frac 43x+\frac 53$
解析
【解析】
已知二次函数的顶点坐标为$(-2,3)$，故设该二次函数的顶点式为$y=a(x+2)^2+3$（$a≠0$）。
将函数图像与$x$轴的交点$(-5,0)$代入顶点式，可得：
$a(-5+2)^2+3=0$
计算得$9a+3=0$，解得$a=-\frac{1}{3}$。
将$a=-\frac{1}{3}$代入顶点式，展开整理得：
$y=-\frac{1}{3}(x+2)^2+3=-\frac{1}{3}x^2-\frac{4}{3}x+\frac{5}{3}$。
【答案】
$y=-\frac{1}{3}(x+2)^2+3$（或$y=-\frac{1}{3}x^2-\frac{4}{3}x+\frac{5}{3}$）
【知识点】
二次函数顶点式、待定系数法求二次函数解析式
【点评】
当已知二次函数的顶点坐标时，选用顶点式设函数解析式可简化计算过程，解题过程中需注意代入点坐标的准确性，以及运算时的计算精度。
已知二次函数的顶点坐标为$(-2,3)$，故设该二次函数的顶点式为$y=a(x+2)^2+3$（$a≠0$）。
将函数图像与$x$轴的交点$(-5,0)$代入顶点式，可得：
$a(-5+2)^2+3=0$
计算得$9a+3=0$，解得$a=-\frac{1}{3}$。
将$a=-\frac{1}{3}$代入顶点式，展开整理得：
$y=-\frac{1}{3}(x+2)^2+3=-\frac{1}{3}x^2-\frac{4}{3}x+\frac{5}{3}$。
【答案】
$y=-\frac{1}{3}(x+2)^2+3$（或$y=-\frac{1}{3}x^2-\frac{4}{3}x+\frac{5}{3}$）
【知识点】
二次函数顶点式、待定系数法求二次函数解析式
【点评】
当已知二次函数的顶点坐标时，选用顶点式设函数解析式可简化计算过程，解题过程中需注意代入点坐标的准确性，以及运算时的计算精度。
1. 求下列二次函数的图像与 $ x $ 轴的公共点的坐标.
(1) $ y = x^{2} - 8x + 12 $； (2) $ y = x^{2} + x $；
(3) $ y = x^{2} - x + \frac{1}{4} $； (4) $ y = 2x^{2} + 8x - 6 $.
(1) $ y = x^{2} - 8x + 12 $； (2) $ y = x^{2} + x $；
(3) $ y = x^{2} - x + \frac{1}{4} $； (4) $ y = 2x^{2} + 8x - 6 $.
答案
解：$(1)x^2-8x+12=0$
解得$x_{1}=2 $，$x_{2}=6$
∴公共点坐标为(2，0)、(6，0)
解：$(2)x^2+x=0$
解得$x_{1}=0 $，$x_{2}=-1$
∴公共点的坐标为(0，0)、(-1，0)
解：$(3)x^2-x+\frac 14=0$
解得$x_{1}= x_{2}=\frac 12$
∴公共点的坐标为$(\frac 12$，0)
解：$(4)2x^2+8x-6=0$
解得$x_{1}= \sqrt 7-2 $，$x_{2}=-\sqrt 7-2$
∴公共点的坐标为$(\sqrt 7-2$，0)、
$(-\sqrt 7-2$，0)
解得$x_{1}=2 $，$x_{2}=6$
∴公共点坐标为(2，0)、(6，0)
解：$(2)x^2+x=0$
解得$x_{1}=0 $，$x_{2}=-1$
∴公共点的坐标为(0，0)、(-1，0)
解：$(3)x^2-x+\frac 14=0$
解得$x_{1}= x_{2}=\frac 12$
∴公共点的坐标为$(\frac 12$，0)
解：$(4)2x^2+8x-6=0$
解得$x_{1}= \sqrt 7-2 $，$x_{2}=-\sqrt 7-2$
∴公共点的坐标为$(\sqrt 7-2$，0)、
$(-\sqrt 7-2$，0)
解析
【解析】
(1) 令$y=0$，则$x^2 - 8x + 12 = 0$，解得$x_1=2$，$x_2=6$，所以公共点坐标为$(2,0)$、$(6,0)$；
(2) 令$y=0$，则$x^2 + x = 0$，解得$x_1=0$，$x_2=-1$，所以公共点坐标为$(0,0)$、$(-1,0)$；
(3) 令$y=0$，则$x^2 - x + \frac{1}{4} = 0$，解得$x_1=x_2=\frac{1}{2}$，所以公共点坐标为$(\frac{1}{2},0)$；
(4) 令$y=0$，则$2x^2 + 8x - 6 = 0$，解得$x_1=\sqrt{7}-2$，$x_2=-\sqrt{7}-2$，所以公共点坐标为$(\sqrt{7}-2,0)$、$(-\sqrt{7}-2,0)$。
【答案】
(1) $(2,0)$、$(6,0)$；
(2) $(0,0)$、$(-1,0)$；
(3) $(\frac{1}{2},0)$；
(4) $(\sqrt{7}-2,0)$、$(-\sqrt{7}-2,0)$
【知识点】
二次函数与x轴的交点、一元二次方程的解法
【点评】
求二次函数图像与$x$轴的公共点，需令$y=0$将问题转化为解一元二次方程，根据方程解的情况确定交点个数，熟练掌握一元二次方程的多种解法是解题关键。
(1) 令$y=0$，则$x^2 - 8x + 12 = 0$，解得$x_1=2$，$x_2=6$，所以公共点坐标为$(2,0)$、$(6,0)$；
(2) 令$y=0$，则$x^2 + x = 0$，解得$x_1=0$，$x_2=-1$，所以公共点坐标为$(0,0)$、$(-1,0)$；
(3) 令$y=0$，则$x^2 - x + \frac{1}{4} = 0$，解得$x_1=x_2=\frac{1}{2}$，所以公共点坐标为$(\frac{1}{2},0)$；
(4) 令$y=0$，则$2x^2 + 8x - 6 = 0$，解得$x_1=\sqrt{7}-2$，$x_2=-\sqrt{7}-2$，所以公共点坐标为$(\sqrt{7}-2,0)$、$(-\sqrt{7}-2,0)$。
【答案】
(1) $(2,0)$、$(6,0)$；
(2) $(0,0)$、$(-1,0)$；
(3) $(\frac{1}{2},0)$；
(4) $(\sqrt{7}-2,0)$、$(-\sqrt{7}-2,0)$
【知识点】
二次函数与x轴的交点、一元二次方程的解法
【点评】
求二次函数图像与$x$轴的公共点，需令$y=0$将问题转化为解一元二次方程，根据方程解的情况确定交点个数，熟练掌握一元二次方程的多种解法是解题关键。
