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3. 求下列函数图像的顶点坐标和对称轴以及函数的最大值或最小值.
（1） $ y = x ^ { 2 } - 2 x + 4 $；
（2） $ y = x ( 8 - x ) $；
（3） $ y = 100 - 5 t ^ { 2 } $；
（4） $ y = ( t - 2 ) ( 2 t + 1 ) $.
（1） $ y = x ^ { 2 } - 2 x + 4 $；
（2） $ y = x ( 8 - x ) $；
（3） $ y = 100 - 5 t ^ { 2 } $；
（4） $ y = ( t - 2 ) ( 2 t + 1 ) $.
答案
解：$(1)y=(x-1)^2+3$，
顶点坐标(1，3)，
对称轴为直线x=1，最小值为3
解：$(2)y=-(x-4)^2+16$，
顶点坐标(4，16)，
对称轴为直线x=4，最大值为16
解：(3)顶点坐标(0，100)，
对称轴为y轴，最大值为100
解：$(4)y=2(t-\frac 34)^2-\frac {25}{8}$，
顶点坐标$(\frac 34$，$-\frac {25}{8})$，
对称轴为直线$t=\frac 34$，
最小值为$-\frac {25}{8}$
顶点坐标(1，3)，
对称轴为直线x=1，最小值为3
解：$(2)y=-(x-4)^2+16$，
顶点坐标(4，16)，
对称轴为直线x=4，最大值为16
解：(3)顶点坐标(0，100)，
对称轴为y轴，最大值为100
解：$(4)y=2(t-\frac 34)^2-\frac {25}{8}$，
顶点坐标$(\frac 34$，$-\frac {25}{8})$，
对称轴为直线$t=\frac 34$，
最小值为$-\frac {25}{8}$
解析
【解析】
（1）对$y = x ^ { 2 } - 2 x + 4$进行配方，得$y=(x-1)^2+3$，根据顶点式确定相关参数；
（2）先展开$y = x ( 8 - x )$得$y=-x^2+8x$，再配方为$y=-(x-4)^2+16$，进而求解；
（3）$y = 100 - 5 t ^ { 2 }$为$y=ax^2+k$型二次函数，直接根据该形式的特征确定顶点、对称轴和最值；
（4）先展开$y = ( t - 2 ) ( 2 t + 1 )$得$y=2t^2-3t-2$，再配方为$y=2(t-\frac{3}{4})^2-\frac{25}{8}$，然后求解。
【答案】
（1）顶点坐标$(1,3)$，对称轴为直线$x=1$，最小值为$3$；
（2）顶点坐标$(4,16)$，对称轴为直线$x=4$，最大值为$16$；
（3）顶点坐标$(0,100)$，对称轴为$y$轴，最大值为$100$；
（4）顶点坐标$(\frac{3}{4},-\frac{25}{8})$，对称轴为直线$t=\frac{3}{4}$，最小值为$-\frac{25}{8}$。
【知识点】
二次函数顶点式、二次函数的性质、二次函数最值
【点评】
本题主要考查二次函数的相关性质，配方法是将一般式转化为顶点式的常用方法，通过顶点式可快速确定二次函数的顶点坐标、对称轴及最值，同时需根据二次项系数的正负判断函数有最大值还是最小值。
（1）对$y = x ^ { 2 } - 2 x + 4$进行配方，得$y=(x-1)^2+3$，根据顶点式确定相关参数；
（2）先展开$y = x ( 8 - x )$得$y=-x^2+8x$，再配方为$y=-(x-4)^2+16$，进而求解；
（3）$y = 100 - 5 t ^ { 2 }$为$y=ax^2+k$型二次函数，直接根据该形式的特征确定顶点、对称轴和最值；
（4）先展开$y = ( t - 2 ) ( 2 t + 1 )$得$y=2t^2-3t-2$，再配方为$y=2(t-\frac{3}{4})^2-\frac{25}{8}$，然后求解。
【答案】
（1）顶点坐标$(1,3)$，对称轴为直线$x=1$，最小值为$3$；
（2）顶点坐标$(4,16)$，对称轴为直线$x=4$，最大值为$16$；
（3）顶点坐标$(0,100)$，对称轴为$y$轴，最大值为$100$；
（4）顶点坐标$(\frac{3}{4},-\frac{25}{8})$，对称轴为直线$t=\frac{3}{4}$，最小值为$-\frac{25}{8}$。
【知识点】
二次函数顶点式、二次函数的性质、二次函数最值
【点评】
本题主要考查二次函数的相关性质，配方法是将一般式转化为顶点式的常用方法，通过顶点式可快速确定二次函数的顶点坐标、对称轴及最值，同时需根据二次项系数的正负判断函数有最大值还是最小值。
1. 已知二次函数 $ y = x^{2} + bx + c $ 的图像经过点 $(2,6)$ 和 $(-2,-2)$。求 $ b $、$ c $ 的值。
答案
解：将点(2，6)、(-2，-2)代入函数解析式
得$\begin{cases}{2^2+2b+c=6}\\{(-2)^2-2b+c=-2}\end{cases}$，解得$\begin{cases}{b=2}\\{c=-2}\end{cases}$
得$\begin{cases}{2^2+2b+c=6}\\{(-2)^2-2b+c=-2}\end{cases}$，解得$\begin{cases}{b=2}\\{c=-2}\end{cases}$
解析
【解析】
将点$(2,6)$、$(-2,-2)$代入二次函数$y = x^{2} + bx + c$的解析式，得到关于$b$、$c$的二元一次方程组：
$\begin{cases}2^2 + 2b + c = 6\\(-2)^2 - 2b + c = -2\end{cases}$
解该方程组，可得$\begin{cases}b=2\\c=-2\end{cases}$
【答案】
$b=2$，$c=-2$
【知识点】
待定系数法求二次函数参数，二元一次方程组的解法
【点评】
本题为基础题型，考查待定系数法的应用，关键是通过代入已知点坐标构建二元一次方程组，进而求解二次函数的参数。
将点$(2,6)$、$(-2,-2)$代入二次函数$y = x^{2} + bx + c$的解析式，得到关于$b$、$c$的二元一次方程组：
$\begin{cases}2^2 + 2b + c = 6\\(-2)^2 - 2b + c = -2\end{cases}$
解该方程组，可得$\begin{cases}b=2\\c=-2\end{cases}$
【答案】
$b=2$，$c=-2$
【知识点】
待定系数法求二次函数参数，二元一次方程组的解法
【点评】
本题为基础题型，考查待定系数法的应用，关键是通过代入已知点坐标构建二元一次方程组，进而求解二次函数的参数。
2. 已知二次函数 $ y = ax^{2} + bx + c $，当 $ x $ 取 $-1$、$1$、$0$ 时，对应的 $ y $ 的值分别是 $0$、$2$、$-4$。求这个二次函数的表达式。
答案
解：由题意可得$\begin{cases}{a-b+c=0}\\{a+b+c=2}\\{c=-4}\end{cases}$，解得$\begin{cases}{a=5}\\{b=1}\\{c=-4}\end{cases}$
∴二次函数的表达式为$y=5x^2+x-4$
∴二次函数的表达式为$y=5x^2+x-4$
解析
【解析】
将$x=-1$，$y=0$；$x=1$，$y=2$；$x=0$，$y=-4$分别代入二次函数$y = ax^{2} + bx + c$，可得方程组：
$\begin{cases}a-b+c=0\\a+b+c=2\\c=-4\end{cases}$
将$c=-4$代入前两个方程，解此方程组得$\begin{cases}a=5\\b=1\\c=-4\end{cases}$，
因此该二次函数的表达式为$y=5x^2+x-4$。
【答案】
$y=5x^2+x-4$
【知识点】
待定系数法求二次函数解析式
【点评】
本题考查待定系数法求二次函数解析式，通过代入已知点的坐标构建三元一次方程组，求解出系数$a$、$b$、$c$即可得到二次函数表达式，待定系数法是求函数解析式的常用基础方法，需熟练掌握。
将$x=-1$，$y=0$；$x=1$，$y=2$；$x=0$，$y=-4$分别代入二次函数$y = ax^{2} + bx + c$，可得方程组：
$\begin{cases}a-b+c=0\\a+b+c=2\\c=-4\end{cases}$
将$c=-4$代入前两个方程，解此方程组得$\begin{cases}a=5\\b=1\\c=-4\end{cases}$，
因此该二次函数的表达式为$y=5x^2+x-4$。
【答案】
$y=5x^2+x-4$
【知识点】
待定系数法求二次函数解析式
【点评】
本题考查待定系数法求二次函数解析式，通过代入已知点的坐标构建三元一次方程组，求解出系数$a$、$b$、$c$即可得到二次函数表达式，待定系数法是求函数解析式的常用基础方法，需熟练掌握。
3. 已知二次函数 $ y = ax^{2} + bx + c $ 的图像是由二次函数 $ y = x^{2} $ 的图像平移得到的，且 $ a : b : c = 2 : 5 : 1 $。求这个二次函数的表达式。
答案
解：由题意得a=1
∵a：b：c=2：5：1
∴$b=\frac 52$，$c=\frac 12$
∴二次函数的表达式为$y=x^2+\frac 52x+\frac 12$
∵a：b：c=2：5：1
∴$b=\frac 52$，$c=\frac 12$
∴二次函数的表达式为$y=x^2+\frac 52x+\frac 12$
解析
【解析】
因为二次函数$y = ax^{2} + bx + c$的图像是由$y = x^{2}$的图像平移得到的，平移不改变二次项系数，所以$a=1$。
已知$a:b:c = 2:5:1$，即$\frac{a}{2}=\frac{b}{5}=\frac{c}{1}$，将$a=1$代入可得：
$\frac{1}{2}=\frac{b}{5}$，解得$b=\frac{5}{2}$；
$\frac{1}{2}=\frac{c}{1}$，解得$c=\frac{1}{2}$。
因此，这个二次函数的表达式为$y=x^2+\frac{5}{2}x+\frac{1}{2}$。
【答案】
$y=x^2+\frac{5}{2}x+\frac{1}{2}$
【知识点】
二次函数平移性质、比例的应用、二次函数表达式求解
【点评】
本题核心是利用二次函数平移不改变二次项系数的性质确定$a$的值，再通过比例关系求出$b$、$c$，进而得到函数表达式，计算时需注意比例的正确运算。
因为二次函数$y = ax^{2} + bx + c$的图像是由$y = x^{2}$的图像平移得到的，平移不改变二次项系数，所以$a=1$。
已知$a:b:c = 2:5:1$，即$\frac{a}{2}=\frac{b}{5}=\frac{c}{1}$，将$a=1$代入可得：
$\frac{1}{2}=\frac{b}{5}$，解得$b=\frac{5}{2}$；
$\frac{1}{2}=\frac{c}{1}$，解得$c=\frac{1}{2}$。
因此，这个二次函数的表达式为$y=x^2+\frac{5}{2}x+\frac{1}{2}$。
【答案】
$y=x^2+\frac{5}{2}x+\frac{1}{2}$
【知识点】
二次函数平移性质、比例的应用、二次函数表达式求解
【点评】
本题核心是利用二次函数平移不改变二次项系数的性质确定$a$的值，再通过比例关系求出$b$、$c$，进而得到函数表达式，计算时需注意比例的正确运算。
