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7. 如图，$∠ A+∠ B+∠ C+∠ D+∠ E+∠ F$的值是(
A.$240^{\circ}$
B.$360^{\circ}$
C.$540^{\circ}$
D.$720^{\circ}$
B
)A.$240^{\circ}$
B.$360^{\circ}$
C.$540^{\circ}$
D.$720^{\circ}$
答案
7. B
解析
证明：连接AD，设AF与DE交于点O。
在△OEF中，∠E + ∠F + ∠EOF = 180°；在△OAD中，∠OAD + ∠ODA + ∠AOD = 180°。
因为∠EOF = ∠AOD，所以∠E + ∠F = ∠OAD + ∠ODA。
∠A + ∠B + ∠C + ∠D + ∠E + ∠F = (∠BAF + ∠OAD) + ∠B + ∠C + (∠CDE + ∠ODA) = ∠BAD + ∠B + ∠C + ∠CDA。
四边形ABCD的内角和为(4 - 2)×180° = 360°，即∠BAD + ∠B + ∠C + ∠CDA = 360°。
所以∠A + ∠B + ∠C + ∠D + ∠E + ∠F = 360°。
答案：B
在△OEF中，∠E + ∠F + ∠EOF = 180°；在△OAD中，∠OAD + ∠ODA + ∠AOD = 180°。
因为∠EOF = ∠AOD，所以∠E + ∠F = ∠OAD + ∠ODA。
∠A + ∠B + ∠C + ∠D + ∠E + ∠F = (∠BAF + ∠OAD) + ∠B + ∠C + (∠CDE + ∠ODA) = ∠BAD + ∠B + ∠C + ∠CDA。
四边形ABCD的内角和为(4 - 2)×180° = 360°，即∠BAD + ∠B + ∠C + ∠CDA = 360°。
所以∠A + ∠B + ∠C + ∠D + ∠E + ∠F = 360°。
答案：B
8. 如果一个多边形的内角和为$1800^{\circ}$，那么从这个多边形的一个顶点引出的对角线的条数是(
A.$12$
B.$10$
C.$9$
D.$8$
C
)A.$12$
B.$10$
C.$9$
D.$8$
答案
8. C
解析
设多边形的边数为$n$，根据多边形内角和公式$(n - 2)×180^{\circ} = 1800^{\circ}$，解得$n = 12$。从$n$边形一个顶点引出的对角线条数为$n - 3$，所以$12 - 3 = 9$。
C
C
9. 如图，在五边形$ABCDE$中，若去掉一个$30^{\circ}$的角后得到一个六边形$BCDEMN$，则$∠1+∠2$的度数为(
A.$210^{\circ}$
B.$110^{\circ}$
C.$150^{\circ}$
D.$100^{\circ}$
A
)A.$210^{\circ}$
B.$110^{\circ}$
C.$150^{\circ}$
D.$100^{\circ}$
答案
9. A
解析
解：五边形内角和为$(5-2)×180^{\circ}=540^{\circ}$，六边形内角和为$(6-2)×180^{\circ}=720^{\circ}$。
在$△ AMN$中，$∠ A=30^{\circ}$，则$∠ AMN+∠ ANM=180^{\circ}-30^{\circ}=150^{\circ}$。
$∠1+∠2=720^{\circ}-(540^{\circ}-30^{\circ})=720^{\circ}-510^{\circ}=210^{\circ}$。
答案：A
在$△ AMN$中，$∠ A=30^{\circ}$，则$∠ AMN+∠ ANM=180^{\circ}-30^{\circ}=150^{\circ}$。
$∠1+∠2=720^{\circ}-(540^{\circ}-30^{\circ})=720^{\circ}-510^{\circ}=210^{\circ}$。
答案：A
10. 如果四边形有一个角是直角，另外三个角的度数之比是$2:3:4$，那么这三个角的度数分别是多少？
答案
10. $360^{\circ}-90^{\circ}=270^{\circ}$，$2 + 3 + 4 = 9$，$270^{\circ}÷9 = 30^{\circ}$，$30^{\circ}×2 = 60^{\circ}$，$30^{\circ}×3 = 90^{\circ}$，$30^{\circ}×4 = 120^{\circ}$，所以三个角分别为$60^{\circ}$，$90^{\circ}$，$120^{\circ}$。
解析
四边形内角和为$360^{\circ}$，已知一个角是直角，即$90^{\circ}$，则另外三个角的和为$360^{\circ}-90^{\circ}=270^{\circ}$。
设这三个角的度数分别为$2x$，$3x$，$4x$，则$2x + 3x + 4x=270^{\circ}$，$9x=270^{\circ}$，解得$x=30^{\circ}$。
所以$2x=2×30^{\circ}=60^{\circ}$，$3x=3×30^{\circ}=90^{\circ}$，$4x=4×30^{\circ}=120^{\circ}$。
这三个角的度数分别是$60^{\circ}$，$90^{\circ}$，$120^{\circ}$。
设这三个角的度数分别为$2x$，$3x$，$4x$，则$2x + 3x + 4x=270^{\circ}$，$9x=270^{\circ}$，解得$x=30^{\circ}$。
所以$2x=2×30^{\circ}=60^{\circ}$，$3x=3×30^{\circ}=90^{\circ}$，$4x=4×30^{\circ}=120^{\circ}$。
这三个角的度数分别是$60^{\circ}$，$90^{\circ}$，$120^{\circ}$。
11. （1）一个多边形的内角和是$1260^{\circ}$，求这个多边形的边数；
（2）一个正多边形的一个内角比它的一个外角的$3$倍还多$20^{\circ}$，这个正多边形的对角线共有多少条？
（2）一个正多边形的一个内角比它的一个外角的$3$倍还多$20^{\circ}$，这个正多边形的对角线共有多少条？
答案
11. （1）设这个多边形的边数为$n$，则$(n - 2)×180^{\circ}=1260^{\circ}$，解得$n = 9$。（2）设这个正多边形的一个外角为$x^{\circ}$，则与其相邻的内角为$3x^{\circ}+20^{\circ}$，由题意，得$(3x + 20)+x = 180$，解得$x = 40$。即这个正多边形的每个外角为$40^{\circ}$。$\therefore$这个正多边形的边数为$\frac{360}{40}=9$，$\therefore$当$n = 9$时，$\frac{1}{2}n(n - 3)=\frac{1}{2}×9×6 = 27$，故这个正多边形共有$27$条对角线。
12. 已知在$Rt△ ABC$中，$∠ C = 90^{\circ}$，$D$，$E$分别是边$AC$，$BC$上的点，$P$是斜边$AB$上一动点。令$∠ PDA=∠1$，$∠ PEB=∠2$，$∠ DPE=∠α$。
(1)如图①，当点$P$运动至$∠α = 50^{\circ}$时，则$∠1+∠2=$
(2)如图②，当点$P$运动在$AB$上任意位置时，试探求$∠α$，$∠1$，$∠2$之间的关系。
(1)如图①，当点$P$运动至$∠α = 50^{\circ}$时，则$∠1+∠2=$
140°
；(2)如图②，当点$P$运动在$AB$上任意位置时，试探求$∠α$，$∠1$，$∠2$之间的关系。
答案
12. （1）$140^{\circ}$ （2）$∠1+∠2 = 90^{\circ}+∠α$
解析
(1) $140^{\circ}$
(2) 证明：在四边形$ECDP$中，$∠ C = 90^{\circ}$，$∠ CEP = 180^{\circ}-∠ 2$，$∠ CDP = 180^{\circ}-∠ 1$，四边形内角和为$360^{\circ}$，则$∠ C + ∠ CEP + ∠ CDP + ∠ α = 360^{\circ}$，即$90^{\circ}+(180^{\circ}-∠ 2)+(180^{\circ}-∠ 1)+∠ α = 360^{\circ}$，化简得$∠ 1 + ∠ 2 = 90^{\circ}+∠ α$。
(2) 证明：在四边形$ECDP$中，$∠ C = 90^{\circ}$，$∠ CEP = 180^{\circ}-∠ 2$，$∠ CDP = 180^{\circ}-∠ 1$，四边形内角和为$360^{\circ}$，则$∠ C + ∠ CEP + ∠ CDP + ∠ α = 360^{\circ}$，即$90^{\circ}+(180^{\circ}-∠ 2)+(180^{\circ}-∠ 1)+∠ α = 360^{\circ}$，化简得$∠ 1 + ∠ 2 = 90^{\circ}+∠ α$。
