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1. 2022年北京冬奥会的火炬写有全世界名字的正六边形雪花引导牌共同构成的。如图是其中一片雪花引导牌，已知$G$是正六边形$ABCDEF$的边$AF$，$DE$的延长线的交点，则$∠ G=$
60°
。答案
1. $60^{\circ}$
解析
解：因为ABCDEF是正六边形，所以每个内角为$\frac{(6-2)×180^{\circ}}{6}=120^{\circ}$，则$∠ AFE = 120^{\circ}$，$∠ FED = 120^{\circ}$。
所以$∠ GFE = 180^{\circ}-∠ AFE = 180^{\circ}-120^{\circ}=60^{\circ}$，$∠ GEF = 180^{\circ}-∠ FED = 180^{\circ}-120^{\circ}=60^{\circ}$。
在$△ GEF$中，$∠ G = 180^{\circ}-∠ GFE-∠ GEF = 180^{\circ}-60^{\circ}-60^{\circ}=60^{\circ}$。
$60^{\circ}$
所以$∠ GFE = 180^{\circ}-∠ AFE = 180^{\circ}-120^{\circ}=60^{\circ}$，$∠ GEF = 180^{\circ}-∠ FED = 180^{\circ}-120^{\circ}=60^{\circ}$。
在$△ GEF$中，$∠ G = 180^{\circ}-∠ GFE-∠ GEF = 180^{\circ}-60^{\circ}-60^{\circ}=60^{\circ}$。
$60^{\circ}$
2. 如图，五边形$ABCDE$是正五边形，若$l_1// l_2$，则$∠1-∠2=$
72°
。答案
2. $72^{\circ}$
解析
解：因为五边形$ABCDE$是正五边形，所以每个内角为$\frac{(5 - 2)×180^{\circ}}{5}=108^{\circ}$，即$∠ ABC = 108^{\circ}$。
过点$B$作$BF// l_1$，因为$l_1// l_2$，所以$BF// l_2$。
则$∠ ABF = ∠ 2$（两直线平行，内错角相等），$∠ FBC = 180^{\circ}-∠ 1$（两直线平行，同旁内角互补）。
又因为$∠ ABC=∠ ABF + ∠ FBC$，所以$108^{\circ}=∠ 2 + (180^{\circ}-∠ 1)$，整理得$∠ 1 - ∠ 2=72^{\circ}$。
$72^{\circ}$
过点$B$作$BF// l_1$，因为$l_1// l_2$，所以$BF// l_2$。
则$∠ ABF = ∠ 2$（两直线平行，内错角相等），$∠ FBC = 180^{\circ}-∠ 1$（两直线平行，同旁内角互补）。
又因为$∠ ABC=∠ ABF + ∠ FBC$，所以$108^{\circ}=∠ 2 + (180^{\circ}-∠ 1)$，整理得$∠ 1 - ∠ 2=72^{\circ}$。
$72^{\circ}$
3. 如图，已知正五边形$ABCDE$，$BG$平分$∠ ABC$，$DG$平分正五边形的外角$∠ EDF$，则$∠ G$的度数是
54°
。答案
3. $54^{\circ}$
解析
解：在正五边形$ABCDE$中，
$∠ ABC=\frac{(5-2)×180^{\circ}}{5}=108^{\circ}$，
$∠ CDE=108^{\circ}$，则$∠ EDF=180^{\circ}-108^{\circ}=72^{\circ}$。
$\because BG$平分$∠ ABC$，$\therefore ∠ CBG=\frac{1}{2}∠ ABC=54^{\circ}$。
$\because DG$平分$∠ EDF$，$\therefore ∠ GDF=\frac{1}{2}∠ EDF=36^{\circ}$。
在四边形$BCDG$中，$∠ C=108^{\circ}$，$∠ CDG=180^{\circ}-∠ GDF=144^{\circ}$，
$∠ G=360^{\circ}-∠ C-∠ CBG-∠ CDG=360^{\circ}-108^{\circ}-54^{\circ}-144^{\circ}=54^{\circ}$。
$54^{\circ}$
$∠ ABC=\frac{(5-2)×180^{\circ}}{5}=108^{\circ}$，
$∠ CDE=108^{\circ}$，则$∠ EDF=180^{\circ}-108^{\circ}=72^{\circ}$。
$\because BG$平分$∠ ABC$，$\therefore ∠ CBG=\frac{1}{2}∠ ABC=54^{\circ}$。
$\because DG$平分$∠ EDF$，$\therefore ∠ GDF=\frac{1}{2}∠ EDF=36^{\circ}$。
在四边形$BCDG$中，$∠ C=108^{\circ}$，$∠ CDG=180^{\circ}-∠ GDF=144^{\circ}$，
$∠ G=360^{\circ}-∠ C-∠ CBG-∠ CDG=360^{\circ}-108^{\circ}-54^{\circ}-144^{\circ}=54^{\circ}$。
$54^{\circ}$
4. 一个凸多边形的内角和与外角和之比为$3:2$，则这个多边形的边数为(
A.$5$
B.$6$
C.$7$
D.$8$
A
)A.$5$
B.$6$
C.$7$
D.$8$
答案
4. A
解析
设这个多边形的边数为$n$。
凸多边形的内角和公式为$(n - 2)×180°$，任意凸多边形的外角和为$360°$。
已知内角和与外角和之比为$3:2$，则$\frac{(n - 2)×180°}{360°} = \frac{3}{2}$
化简得：$\frac{n - 2}{2} = \frac{3}{2}$
解得：$n - 2 = 3$，$n = 5$
A
凸多边形的内角和公式为$(n - 2)×180°$，任意凸多边形的外角和为$360°$。
已知内角和与外角和之比为$3:2$，则$\frac{(n - 2)×180°}{360°} = \frac{3}{2}$
化简得：$\frac{n - 2}{2} = \frac{3}{2}$
解得：$n - 2 = 3$，$n = 5$
A
5. 已知一个多边形的每个内角都等于$120^{\circ}$，则这个多边形的边数为(
A.$4$
B.$5$
C.$6$
D.$7$
C
)A.$4$
B.$5$
C.$6$
D.$7$
答案
5. C
解析
设这个多边形的边数为$n$。
因为多边形的内角和公式为$(n - 2)×180^{\circ}$，且每个内角都等于$120^{\circ}$，所以可得方程：
$(n - 2)×180^{\circ} = 120^{\circ}×n$
$180^{\circ}n - 360^{\circ} = 120^{\circ}n$
$180^{\circ}n - 120^{\circ}n = 360^{\circ}$
$60^{\circ}n = 360^{\circ}$
$n = 6$
C
因为多边形的内角和公式为$(n - 2)×180^{\circ}$，且每个内角都等于$120^{\circ}$，所以可得方程：
$(n - 2)×180^{\circ} = 120^{\circ}×n$
$180^{\circ}n - 360^{\circ} = 120^{\circ}n$
$180^{\circ}n - 120^{\circ}n = 360^{\circ}$
$60^{\circ}n = 360^{\circ}$
$n = 6$
C
6. 已知一个多边形除一个内角外其余内角的和为$1510^{\circ}$，则这个多边形对角线的条数是(
A.$27$
B.$35$
C.$44$
D.$54$
C
)A.$27$
B.$35$
C.$44$
D.$54$
答案
6. C
解析
设多边形的边数为$n$，除去的内角为$x$，$0° ＜ x ＜ 180°$。
多边形内角和公式为$(n - 2) × 180°$，由题意得：
$(n - 2) × 180° = 1510° + x$
$n - 2 = \frac{1510° + x}{180°} = 8 + \frac{70° + x}{180°}$
因为$n$为整数，所以$\frac{70° + x}{180°}$为整数，又$0° ＜ x ＜ 180°$，则$70° + x = 180°$，解得$x = 110°$。
$n - 2 = 8 + 1 = 9$，$n = 11$。
对角线的条数为$\frac{n(n - 3)}{2} = \frac{11 × (11 - 3)}{2} = 44$。
答案：C
多边形内角和公式为$(n - 2) × 180°$，由题意得：
$(n - 2) × 180° = 1510° + x$
$n - 2 = \frac{1510° + x}{180°} = 8 + \frac{70° + x}{180°}$
因为$n$为整数，所以$\frac{70° + x}{180°}$为整数，又$0° ＜ x ＜ 180°$，则$70° + x = 180°$，解得$x = 110°$。
$n - 2 = 8 + 1 = 9$，$n = 11$。
对角线的条数为$\frac{n(n - 3)}{2} = \frac{11 × (11 - 3)}{2} = 44$。
答案：C
7. 在四边形$ABCD$中，$∠ A=∠ B=∠ C$，点$E$在边$AB$上，$∠ AED = 60^{\circ}$，则一定有(
A.$∠ ADE = 20^{\circ}$
B.$∠ ADE = 30^{\circ}$
C.$∠ ADE=\frac{1}{2}∠ ADC$
D.$∠ ADE=\frac{1}{3}∠ ADC$
D
)A.$∠ ADE = 20^{\circ}$
B.$∠ ADE = 30^{\circ}$
C.$∠ ADE=\frac{1}{2}∠ ADC$
D.$∠ ADE=\frac{1}{3}∠ ADC$
答案
7. D
解析
设$∠ A = ∠ B = ∠ C = x$，$∠ ADE = y$，则$∠ AED = 60°$，在$△ AED$中，$∠ A + ∠ ADE + ∠ AED = 180°$，即$x + y + 60° = 180°$，得$x = 120° - y$。
四边形内角和为$360°$，$∠ ADC = 360° - 3x = 360° - 3(120° - y) = 3y$，故$y = \frac{1}{3}∠ ADC$，即$∠ ADE = \frac{1}{3}∠ ADC$。
D
四边形内角和为$360°$，$∠ ADC = 360° - 3x = 360° - 3(120° - y) = 3y$，故$y = \frac{1}{3}∠ ADC$，即$∠ ADE = \frac{1}{3}∠ ADC$。
D
8. （1）如图①、图②，试研究其中$∠1$，$∠2$与$∠3$，$∠4$之间的数量关系；
（2）如果我们把$∠1$，$∠2$称为四边形的外角，那么请你用文字描述上述的关系式；
（3）用你发现的结论解决下列问题：如图③，$AE$，$DE$分别是四边形$ABCD$的外角$∠ NAD$，$∠ MDA$的平分线，$∠ B+∠ C = 240^{\circ}$，求$∠ E$的度数。
（2）如果我们把$∠1$，$∠2$称为四边形的外角，那么请你用文字描述上述的关系式；
（3）用你发现的结论解决下列问题：如图③，$AE$，$DE$分别是四边形$ABCD$的外角$∠ NAD$，$∠ MDA$的平分线，$∠ B+∠ C = 240^{\circ}$，求$∠ E$的度数。
答案
8. 解：（1）$\because∠3$，$∠4$，$∠5$，$∠6$是四边形的四个内角，$\therefore∠3+∠4+∠5+∠6 = 360^{\circ}$，$\therefore∠3+∠4 = 360^{\circ}-(∠5+∠6)$。$\because∠1+∠5 = 180^{\circ}$，$∠2+∠6 = 180^{\circ}$，$\therefore∠1+∠2 = 360^{\circ}-(∠5+∠6)$，$\therefore∠1+∠2=∠3+∠4$。（2）四边形的任意两个外角的和等于与它们不相邻的两个内角的和。（3）$\because∠ B+∠ C = 240^{\circ}$，$\therefore∠ MDA+∠ NAD = 240^{\circ}$。$\because AE$，$DE$分别是$∠ NAD$，$∠ MDA$的平分线，$\therefore∠ ADE=\frac{1}{2}∠ MDA$，$∠ DAE=\frac{1}{2}∠ NAD$，$\therefore∠ ADE+∠ DAE=\frac{1}{2}(∠ MDA+∠ NAD)=\frac{1}{2}×240^{\circ}=120^{\circ}$，$\therefore∠ E = 180^{\circ}-(∠ ADE+∠ DAE)=180^{\circ}-120^{\circ}=60^{\circ}$。
