【例】
甲、乙、丙、丁四名学生竞赛成绩（单位：分）如下：$ 15, 18, 15, 24 $，按照“组内离差平方和最小”的方法，将竞赛成绩分成两组。
【点拨】
根据题意将4个数据从小到大排序，并分成两组，再分别计算每种情况的组内离差平方和，比较即可。

解：将4个数据从小到大排序：15，15，18，24. 把4个数据分成两组，共有3种情况：
第一种情况：第一组1个数据{15}，组内离差平方和为0；第二组3个数据{15，18，24}，平均数是$\frac{15 + 18 + 24}{3}$=19，组内离差平方和为$(15 - 19)^{2} + (18 - 19)^{2} + (24 - 19)^{2}$=42. 故第一种情况的组内离差平方和为0 + 42 = 42.
第二种情况：第一组2个数据{15，15}，平均数是$\frac{15 + 15}{2}$=15，组内离差平方和为0；第二组2个数据{18，24}，平均数是$\frac{18 + 24}{2}$=21，组内离差平方和为$(18 - 21)^{2} + (24 - 21)^{2}$=18，故第二种情况的组内离差平方和为0 + 18 = 18.
第三种情况：第一组3个数据{15，15，18}，平均数是$\frac{15 + 15 + 18}{3}$=16，组内离差平方和为$(15 - 16)^{2} + (15 - 16)^{2} + (18 - 16)^{2}$=6；第二组1个数据{24}，组内离差平方和为0，故第三种情况的组内离差平方和为0 + 6 = 6.
∵6 ＜ 18 ＜ 42，
∴第三种情况的组内离差平方和最小，
∴将竞赛成绩分成的两组是{15，15，18}，{24}.

1. 把数据$ 2, 8, 10, 4, 12 $按大小顺序分成两组，能使“组内离差平方和达到最小”的是()

A.$ \{2\}, \{4, 8, 10, 12\} $
B.$ \{2, 4\}, \{8, 10, 12\} $
C.$ \{2, 4, 8\}, \{10, 12\} $
D.$ \{2, 4, 8, 10\}, \{12\} $

1. B

2. 把5个数据$ -1, 3, 1, 5, 4 $分成$ \{-1, 1\} $和$ \{3, 4, 5\} $两组，则这种分组情况的组内离差平方和为。

2. 4

【解析】
- 计算$\{-1,1\}$组的组内离差平方和：
先求$\{-1,1\}$组的平均数$\overline{x}_{1}=\frac{-1 + 1}{2}=0$。
再根据离差平方和公式$S^{2}=\sum_{i = 1}^{n}(x_{i}-\overline{x})^{2}$，可得$\{-1,1\}$组的组内离差平方和$S_{1}^{2}=(-1 - 0)^{2}+(1 - 0)^{2}=1 + 1 = 2$。
计算$\{3,4,5\}$组的组内离差平方和：
先求$\{3,4,5\}$组的平均数$\overline{x}_{2}=\frac{3 + 4 + 5}{3}=4$。
再根据离差平方和公式，可得$\{3,4,5\}$组的组内离差平方和$S_{2}^{2}=(3 - 4)^{2}+(4 - 4)^{2}+(5 - 4)^{2}=1+0 + 1 = 2$。
计算总的组内离差平方和：
总的组内离差平方和$S^{2}=S_{1}^{2}+S_{2}^{2}=2 + 2 = 4$。
【答案】
4
【知识点】
平均数、离差平方和、数据分组
【点评】
本题考查组内离差平方和的计算，先分别求出两组数据的平均数，再根据离差平方和公式计算，最后求和。
【难度系数】
0.6