12. （2025，河西区期末，18）如图，在笔直的公路$AB$旁有一座山，为方便运输货物现要从公路$AB$上的$D$处开凿隧道修通一条公路到$C$处，已知点$C$与公路上的停靠站$A$的距离为$15\ \mathrm{km}$，与公路上另一停靠站$B$的距离为$20\ \mathrm{km}$，停靠站$A$，$B$之间的距离为$25\ \mathrm{km}$，且$CD⊥ AB$.
（1）求修建的公路$CD$的长.
（2）公路$CD$修通后，一辆货车从$C$处经过$D$处到$B$处的路程是多少？

12. 解：(1)
∵AC=15km，BC=20km，AB=25km，
15²+20²=25²，
∴AC²+BC²=AB².
∴根据勾股定理的逆定理，得△ACB是直角三角形，且∠ACB=90°.
∵S_{△ABC}=$\frac{1}{2}$AC·BC=$\frac{1}{2}$AB·CD，
∴CD=AC·BC÷AB=12km.
故修建的公路CD的长是12km.
(2)在Rt△BDC中，根据勾股定理，
得BD=$\sqrt{BC² - CD²}$=$\sqrt{20² - 12²}$=16(km)，
故从C处经过D处到B处的路程=CD+BD=12+16=28(km).

1. 若$△ ABC$的三条边$a$，$b$，$c$满足$(a - b)(a^{2}-b^{2}-c^{2})=0$，则$△ ABC$的形状是().

A.直角三角形
B.等腰直角三角形
C.等边三角形
D.等腰三角形或直角三角形

1. D 【提示】由(a - b)(a² - b² - c²)=0，得当a - b=0时，a=b，此时△ABC的形状是等腰三角形；当a² - b² - c²=0时，a²=b² + c²，此时△ABC的形状是直角三角形.

2. (2025，西青区二模，10)如图，在$△ ABC$中，$AB = 3$，$AC = 4$，$BC = 5$，以点$B$为圆心，适当长为半径画弧，交$BA$，$BC$于$M$，$N$两点，分别以点$M$，$N$为圆心，大于$\frac{1}{2}MN$的长为半径画弧，两弧交于点$P$，画射线$BP$交$AC$于点$D$，则线段$AD$的长为().


A.1
B.$\frac{3}{2}$
C.2
D.$\frac{5}{2}$

2. B 【提示】如图，过点D作DH⊥BC于点H.

∵AB=3，AC=4，BC=5，
∴AB²+AC²=BC².
根据勾股定理的逆定理，得∠A=90°.
∴DA⊥AB.
∵BP平分∠ABC，DH⊥BC，
∴AD=DH.
∵S_{△ABC}=S_{△ABD}+S_{△CDB}，
∴$\frac{1}{2}$×3×4=$\frac{1}{2}$×3×DA+$\frac{1}{2}$×5×DH.
∴DA=DH=$\frac{3}{2}$.