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6. 已知一组勾股数中的两个分别是 12 和 5，则第三个数是
13
.答案
6. 13
7. 在$△ ABC$中，若$AB^{2}+BC^{2}=AC^{2}$，则
∠ABC
$= 90°$.答案
7. ∠ABC
8. 若$△ ABC$的三边$a$，$b$，$c$满足$|a - 9|+(b - 12)^{2}+\sqrt{c - 15}=0$，则$△ ABC$的面积为
54
.答案
8. 54
9. 如图，在$△ ABC$中，以$AB$，$BC$，$AC$为边分别向外作正方形，记正方形的面积分别为$S_{1}$，$S_{2}$，$S_{3}$，其中$S_{1}=S_{2}=5$，$S_{3}=10$，则$∠ BAC+∠ BCA$的度数为
90°
.答案
9. 90°
10. 如图，每个小正方形的边长为 1，$A$，$B$，$C$是小正方形的顶点，连接$AB$，$BC$，则$∠ ABC$的度数为
45°
.答案
10. 45°
11. （2025，红桥区期末，18）如图，在四边形$ABCD$中，$∠ B = 90°$，$∠ ACB = 30°$，$AB = 2$，$AD = 5$，$CD = 3$.
（1）求$∠ BCD$的大小；
（2）求四边形$ABCD$的面积.
（1）求$∠ BCD$的大小；
（2）求四边形$ABCD$的面积.
答案
11. 解：(1)
∵∠B=90°，∠ACB=30°，AB=2，
∴在Rt△ABC中，AC=2AB=2×2=4.
∵AD=5，CD=3，
∴AC²+CD²=AD².
根据勾股定理的逆定理，得
△ACD为直角三角形，且∠ACD=90°.
∴∠BCD=∠ACB+∠ACD=90°+30°=120°.
(2)
∵AB=2，AC=4，
在Rt△ABC中，根据勾股定理，得
BC=$\sqrt{AC² - AB²}$=$\sqrt{4² - 2²}$=2$\sqrt{3}$，
∴S_{△ABC}=$\frac{1}{2}$AB·BC=$\frac{1}{2}$×2×2$\sqrt{3}$=2$\sqrt{3}$，
S_{△ACD}=$\frac{1}{2}$AC·CD=$\frac{1}{2}$×4×3=6.
∴四边形ABCD的面积为6+2$\sqrt{3}$.
∵∠B=90°，∠ACB=30°，AB=2，
∴在Rt△ABC中，AC=2AB=2×2=4.
∵AD=5，CD=3，
∴AC²+CD²=AD².
根据勾股定理的逆定理，得
△ACD为直角三角形，且∠ACD=90°.
∴∠BCD=∠ACB+∠ACD=90°+30°=120°.
(2)
∵AB=2，AC=4，
在Rt△ABC中，根据勾股定理，得
BC=$\sqrt{AC² - AB²}$=$\sqrt{4² - 2²}$=2$\sqrt{3}$，
∴S_{△ABC}=$\frac{1}{2}$AB·BC=$\frac{1}{2}$×2×2$\sqrt{3}$=2$\sqrt{3}$，
S_{△ACD}=$\frac{1}{2}$AC·CD=$\frac{1}{2}$×4×3=6.
∴四边形ABCD的面积为6+2$\sqrt{3}$.
