19. （本小题 6 分）已知 $2+\sqrt{6}$ 的整数部分和小数部分分别是 $x,y$，求 $x,y$ 的值及 $x-1$ 的算术平方根.

$\sqrt{3}$（题目要求求$x-1$的算术平方根，因此答案仅为算术平方根的结果）。

首先确定$\sqrt{6}$的范围，因为$2^2 = 4 ＜ 6 ＜ 3^2 = 9$，所以$2 ＜ \sqrt{6} ＜ 3$，
进一步得到$4 ＜ 2 + \sqrt{6} ＜ 5$，
由此可以确定$2 + \sqrt{6}$的整数部分$x = 4$，
接着求小数部分$y$，由小数部分的定义有$y = 2 + \sqrt{6} - x = 2 + \sqrt{6} - 4 = \sqrt{6} - 2$，
最后求$x - 1$的算术平方根，即$\sqrt{x - 1} = \sqrt{4 - 1} = \sqrt{3}$，
综上所述，本题答案是：$x = 4$，$y = \sqrt{6} - 2$，$\sqrt{3}$。

20. （本小题 6 分）已知正实数 $a$ 的两个平方根分别是 $x$ 和 $x+y$.
（1）若 $x=2$，求 $y$ 的值；
（2）若 $x-y=3$，求 $a$ 的值.

（1）$-4$
（2）$1$

（1）正实数 $a$ 的两个平方根分别是 $x$ 和 $x+y$，根据平方根性质，$x+x+y=0$，即 $2x + y = 0$（因为两平方根互为相反数）。
当 $x = 2$ 时，代入方程得 $2 × 2 + y = 0$，解得 $y = -4$。
（2）由平方根性质仍得 $2x + y = 0$，联立方程组 $\begin{cases} 2x + y = 0, \\ x - y = 3. \end{cases}$
将两式相加得 $3x = 3$，解得 $x = 1$。
代入 $x - y = 3$ 得 $y = -2$。
则 $a = x^{2} = 1^{2} = 1$（或 $a = (x + y)^{2} = (-1)^{2} = 1$）。