21. （本小题 6 分）如图，数轴上表示 $1,\sqrt{2}$ 的对应点分别为 $A,B$，点 $B$ 到点 $A$ 的距离与点 $C$ 到点 $O$ 的距离相等，设点 $C$ 所表示的数为 $x(x＞0)$.求：
（1）实数 $x$ 的值；
（2）$(x-\sqrt{2})^2$ 的值.

（1）$\sqrt{2}-1$；（2）1

（1）∵点A表示1，点B表示$\sqrt{2}$，
∴点B到点A的距离为$\sqrt{2}-1$。
∵点B到点A的距离与点C到点O的距离相等，点C表示的数为x（x＞0），
∴x=$\sqrt{2}-1$。
（2）由（1）知x=$\sqrt{2}-1$，
∴$(x-\sqrt{2})^2=(\sqrt{2}-1-\sqrt{2})^2=(-1)^2=1$。

22. (本小题 8 分)(1)计算：
① $\sqrt{1+\frac{1}{1^2}+\frac{1}{2^2}}=$，
② $\sqrt{1+\frac{1}{2^2}+\frac{1}{3^2}}=$，
③ $\sqrt{1+\frac{1}{3^2}+\frac{1}{4^2}}=$；
(2)根据上述计算，请直接写出 $\sqrt{1+\frac{1}{20^2}+\frac{1}{21^2}}$ 的值；
(3)请你描述上述计算的一般规律(用含 $n$ 的式子表示，$n≥ 1$，且 $n$ 为整数).

(1)① $\frac{3}{2}$；② $\frac{7}{6}$；③ $\frac{13}{12}$；(2) $\frac{421}{420}$；(3) $\frac{n^2 + n + 1}{n(n+1)}$

(1)① $\sqrt{1+\frac{1}{1^2}+\frac{1}{2^2}}=\sqrt{1+1+\frac{1}{4}}=\sqrt{\frac{9}{4}}=\frac{3}{2}$
② $\sqrt{1+\frac{1}{2^2}+\frac{1}{3^2}}=\sqrt{1+\frac{1}{4}+\frac{1}{9}}=\sqrt{\frac{49}{36}}=\frac{7}{6}$
③ $\sqrt{1+\frac{1}{3^2}+\frac{1}{4^2}}=\sqrt{1+\frac{1}{9}+\frac{1}{16}}=\sqrt{\frac{169}{144}}=\frac{13}{12}$
(2)由(1)规律可得：$\sqrt{1+\frac{1}{20^2}+\frac{1}{21^2}}=\frac{20×21 + 1}{20×21}=\frac{421}{420}$
(3)一般规律：$\sqrt{1+\frac{1}{n^2}+\frac{1}{(n+1)^2}}=\frac{n(n+1)+1}{n(n+1)}=\frac{n^2 + n + 1}{n(n+1)}$（$n≥1$且$n$为整数）