6. 小强到文具店购买钢笔和橡皮共用 42 元(两种物品都要买),已知钢笔每支 12 元,橡皮每块 3 元,则小强的购买方案共有()

A.2 种
B.3 种
C.4 种
D.5 种

B

设购买的钢笔数为 $x$ 支，购买的橡皮数为 $y$ 块，根据题意可以得到方程：
$12x + 3y = 42$，
化简在得到：
$4x + y = 14$，
移项得：
$y = 14 - 4x$。
由于 $x$ 和 $y$ 都必须是正整数（因为两种物品都要买），因此可以通过试探法来找出所有可能的 $x$ 和 $y$ 的组合。
当 $x = 1$ 时，$y = 14 - 4 × 1 = 10$；
当 $x = 2$ 时，$y = 14 - 4 × 2 = 6$；
当 $x = 3$ 时，$y = 14 - 4 × 3 = 2$；
当 $x ≥ 4$ 时，$y$ 将不再是正整数，因此不满足题目条件。
所以，小强的购买方案共有 3 种。

7. 若关于 $ x $ 的不等式 $ x - m ＞ 1 $ 的最小整数解是 2,则实数 $ m $ 的值可能是()


A.−1
B.$ -\dfrac{1}{2} $
C.0
D.1

C

解不等式$x - m ＞ 1$，得$x ＞ m + 1$。因为不等式的最小整数解是2，所以$1 ≤ m + 1 ＜ 2$，解得$0 ≤ m ＜ 1$。选项中符合条件的是C。

8. 《九章算术》中有一道题“今有五雀六燕,集称之衡,雀俱重,燕俱轻;一雀一燕交而处,衡适平;并雀、燕重一斤.问雀、燕一枚,各重几何?”释义:“五只雀、六只燕,共重 1 斤(旧制 1 斤 $ = 16 $ 两).雀重燕轻,互换其中一只,恰好同样重.每只雀、燕重量各为多少?”设雀重 $ x $ 两,燕重 $ y $ 两,可列出方程组()

A.$ \begin{cases} 5x + 6y = 16, \\ 4x + y = 5y + x \end{cases} $

B.$ \begin{cases} 5x + 6y = 10, \\ 4x + y = 5y + x \end{cases} $
C.$ \begin{cases} 5x + 6y = 10, \\ 5x + y = 6y + x \end{cases} $
D.$ \begin{cases} 5x + 6y = 16, \\ 5x + y = 6y + x \end{cases} $

A

根据题意，旧制1斤等于16两，所以五只雀和六只燕共重16两，设雀重$x$两，燕重$y$两，得到方程：
$5x + 6y = 16$。
互换其中一只雀和燕后，两边重量相等，即：
$4x + y = 5y + x$。
因此，方程组为：
$\begin{cases}5x + 6y = 16, \\4x + y = 5y + x\end{cases}$

9. 若关于 $ x $ 的不等式 $ ax + b ＜ c $ 的解集为 $ x ＞ 2 $,则关于 $ x $ 的不等式 $ a(x + 3) + b ＜ c $ 的解集为()

A.$ x ＞ -1 $
B.$ x ＜ -1 $
C.$ x ＞ 5 $
D.$ x ＜ 5 $

A

由不等式$ax + b ＜ c$的解集为$x ＞ 2$，可知$a ＜ 0$（不等号变向），且$\frac{c - b}{a} = 2$。解不等式$a(x + 3) + b ＜ c$，将$x + 3$看作整体，类比原不等式，得$x + 3 ＞ 2$（因$a ＜ 0$），解得$x ＞ -1$。

10. 关于 $ x $,$ y $ 的二元一次方程 $ ax + by = 1 $($ a $,$ b $ 是常数,且 $ ab ≠ 0 $),有下列命题:

① $ \begin{cases} x = 2, \\ y = 4 \end{cases} $ 是方程 $ ax + by = 1 $ 的解;② $ b ＞ 0 $;③ $ a = \dfrac{3}{2}b $;④ $ \begin{cases} x = -2, \\ y = -5 \end{cases} $ 是方程 $ ax + by = 1 $ 的解.

若上述四个命题中只有一个假命题,则该假命题是()

A.①
B.②
C.③
D.④

D

假设①假，则②③④真。由④得$-2a -5b=1$，结合③$a=\frac{3}{2}b$，代入得$-3b -5b=1$，$b=-\frac{1}{8}$，与②$b＞0$矛盾，故①假不成立；
假设②假，则①③④真。由①得$2a +4b=1$，由④得$-2a -5b=1$，联立解得$b=-2$，$a=\frac{9}{2}$，与③$a=\frac{3}{2}b$矛盾，故②假不成立；
假设③假，则①②④真。由①④联立得$b=-2$，与②$b＞0$矛盾，故③假不成立；
假设④假，则①②③真。由③$a=\frac{3}{2}b$代入①$2a +4b=1$，得$3b +4b=1$，$b=\frac{1}{7}＞0$（符合②），$a=\frac{3}{14}$，此时④中$-2a -5b=-\frac{8}{7}≠1$，④假成立。