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4. 画出函数 $y = 2x - 1$ 的图象,利用图象求:
(1) 方程 $2x - 1 = 0$ 的解;
(2) 不等式 $2x - 1 ＜ 0$ 的解集;
(3) 当 $-1 ＜ y ＜ 1$ 时,$x$ 的取值范围.
(1) 方程 $2x - 1 = 0$ 的解;
(2) 不等式 $2x - 1 ＜ 0$ 的解集;
(3) 当 $-1 ＜ y ＜ 1$ 时,$x$ 的取值范围.
答案
4.解:函数$y=2x-1$的图象如图所示.
(1)$x=\dfrac{1}{2}$. (2)$x＜\dfrac{1}{2}$. (3)$0＜x＜1$.
解析
【解析】
1. 绘制函数$y=2x-1$的图象：
选取两点：当$x=0$时，$y=-1$；当$x=1$时，$y=1$，即点$(0,-1)$和$(1,1)$，过这两点作直线，得到函数$y=2x-1$的图象。
2. 利用图象求解：
(1) 方程$2x-1=0$的解为函数图象与$x$轴交点的横坐标，图象与$x$轴交于$(\dfrac{1}{2},0)$，故解为$x=\dfrac{1}{2}$；
(2) 不等式$2x-1＜0$的解集是函数图象在$x$轴下方部分对应的$x$的取值范围，由图象可知为$x＜\dfrac{1}{2}$；
(3) 当$y=-1$时，代入$y=2x-1$得$x=0$；当$y=1$时，代入得$x=1$，结合图象可知，当$-1＜y＜1$时，$x$的取值范围是$0＜x＜1$。
【答案】
(1) $x=\dfrac{1}{2}$；
(2) $x＜\dfrac{1}{2}$；
(3) $0＜x＜1$
【知识点】
一次函数的图象、一次函数与一元一次方程、一次函数与一元一次不等式
【点评】
本题考查一次函数图象的绘制及一次函数与方程、不等式的关联，借助数形结合思想，通过图象直观求解问题，是一次函数的基础应用题型。
【难度系数】
0.7
1. 绘制函数$y=2x-1$的图象：
选取两点：当$x=0$时，$y=-1$；当$x=1$时，$y=1$，即点$(0,-1)$和$(1,1)$，过这两点作直线，得到函数$y=2x-1$的图象。
2. 利用图象求解：
(1) 方程$2x-1=0$的解为函数图象与$x$轴交点的横坐标，图象与$x$轴交于$(\dfrac{1}{2},0)$，故解为$x=\dfrac{1}{2}$；
(2) 不等式$2x-1＜0$的解集是函数图象在$x$轴下方部分对应的$x$的取值范围，由图象可知为$x＜\dfrac{1}{2}$；
(3) 当$y=-1$时，代入$y=2x-1$得$x=0$；当$y=1$时，代入得$x=1$，结合图象可知，当$-1＜y＜1$时，$x$的取值范围是$0＜x＜1$。
【答案】
(1) $x=\dfrac{1}{2}$；
(2) $x＜\dfrac{1}{2}$；
(3) $0＜x＜1$
【知识点】
一次函数的图象、一次函数与一元一次方程、一次函数与一元一次不等式
【点评】
本题考查一次函数图象的绘制及一次函数与方程、不等式的关联，借助数形结合思想，通过图象直观求解问题，是一次函数的基础应用题型。
【难度系数】
0.7
【例 3】如图,若直线 $l_1$ 与 $l_2$ 相交于点 $P$,则根据图象可得,二元一次方程组 $\begin{cases}2x - y = 3, \\ x + y = 3\end{cases}$ 的解是 ______ .
【规律方法】
图象法求二元一次方程组的解的一般步骤
(1) 变函数:先把方程组中的两个二元一次方程化成一次函数的形式,即 $y = k_1x + b_1$和 $y = k_2x + b_2$;
(2) 画图象:建立平面直角坐标系,画出这两个一次函数的图象;
(3) 找交点:写出这两条直线交点的横、纵坐标,这两个数值就是二元一次方程组的解中的两个数值,横坐标为 $x$ 的值,纵坐标为 $y$ 的值.
【规律方法】
图象法求二元一次方程组的解的一般步骤
(1) 变函数:先把方程组中的两个二元一次方程化成一次函数的形式,即 $y = k_1x + b_1$和 $y = k_2x + b_2$;
(2) 画图象:建立平面直角坐标系,画出这两个一次函数的图象;
(3) 找交点:写出这两条直线交点的横、纵坐标,这两个数值就是二元一次方程组的解中的两个数值,横坐标为 $x$ 的值,纵坐标为 $y$ 的值.
答案
【例3】$\begin{cases} x=2 \\ y=1 \end{cases}$
解析
【解析】
因为直线$l_1:y=2x-3$对应方程$2x - y = 3$，直线$l_2:y=-x+3$对应方程$x + y = 3$，两条直线的交点坐标即为对应的二元一次方程组的解。
由图可知直线$l_1$与$l_2$的交点$P$的坐标为$(2,1)$，所以二元一次方程组$\begin{cases}2x - y = 3, \\ x + y = 3\end{cases}$的解是$\begin{cases} x=2 \\ y=1 \end{cases}$。
【答案】
$\begin{cases} x=2 \\ y=1 \end{cases}$
【知识点】
一次函数与二元一次方程组的关系
【点评】
本题考查了一次函数与二元一次方程组的关系，明确两条直线的交点坐标就是对应的二元一次方程组的解是解题关键。
【难度系数】
0.8
因为直线$l_1:y=2x-3$对应方程$2x - y = 3$，直线$l_2:y=-x+3$对应方程$x + y = 3$，两条直线的交点坐标即为对应的二元一次方程组的解。
由图可知直线$l_1$与$l_2$的交点$P$的坐标为$(2,1)$，所以二元一次方程组$\begin{cases}2x - y = 3, \\ x + y = 3\end{cases}$的解是$\begin{cases} x=2 \\ y=1 \end{cases}$。
【答案】
$\begin{cases} x=2 \\ y=1 \end{cases}$
【知识点】
一次函数与二元一次方程组的关系
【点评】
本题考查了一次函数与二元一次方程组的关系，明确两条直线的交点坐标就是对应的二元一次方程组的解是解题关键。
【难度系数】
0.8
5. 已知关于 $x,y$ 的二元一次方程组 $\begin{cases}y = kx + b, \\ y = x + 4\end{cases}$ 的解为 $\begin{cases}x = m, \\ y = 8\end{cases}$.如图,若直线 $y = kx + b(k,b$ 为常数,且 $k ≠ 0)$ 与直线 $y = x + 4$ 相交于点 $P$,则点 $P$ 的坐标为( )
A.$(4,8)$
B.$(3,8)$
C.$(2,8)$
D.$(8,4)$
A.$(4,8)$
B.$(3,8)$
C.$(2,8)$
D.$(8,4)$
答案
5.A
解析
【解析】
因为二元一次方程组$\begin{cases}y = kx + b, \\ y = x + 4\end{cases}$的解就是直线$y = kx + b$与直线$y = x + 4$的交点$P$的坐标，已知方程组的解为$\begin{cases}x = m, \\ y = 8\end{cases}$，将$y=8$代入$y=x+4$，得$8=x+4$，解得$x=4$，所以点$P$的坐标为$(4,8)$。
【答案】
A
【知识点】
一次函数与方程组的关系；求函数交点坐标
【点评】
本题考查一次函数与二元一次方程组的对应关系，明确方程组的解即为两直线交点的坐标，通过代入计算即可求解，题目基础，易于掌握。
【难度系数】
0.9
因为二元一次方程组$\begin{cases}y = kx + b, \\ y = x + 4\end{cases}$的解就是直线$y = kx + b$与直线$y = x + 4$的交点$P$的坐标，已知方程组的解为$\begin{cases}x = m, \\ y = 8\end{cases}$，将$y=8$代入$y=x+4$，得$8=x+4$，解得$x=4$，所以点$P$的坐标为$(4,8)$。
【答案】
A
【知识点】
一次函数与方程组的关系；求函数交点坐标
【点评】
本题考查一次函数与二元一次方程组的对应关系，明确方程组的解即为两直线交点的坐标，通过代入计算即可求解，题目基础，易于掌握。
【难度系数】
0.9
【例 4】如图,已知直线 $y = -x + 1$ 与 $x$ 轴交于点 $A$,直线 $y = -\frac{3}{2}x + \frac{5}{2}$ 与 $x$ 轴的交点为 $B$,两直线交于点 $C$,求 $△ ABC$ 的面积.
解:
【规律方法】
要求面积先求长,交点坐标可帮忙
求直线围成的几何图形的面积,关键是先求出直线与直线、直线与坐标轴的交点坐标,再利用数形结合的方法求解.计算时要注意线段的长与坐标的关系.
解:
【规律方法】
要求面积先求长,交点坐标可帮忙
求直线围成的几何图形的面积,关键是先求出直线与直线、直线与坐标轴的交点坐标,再利用数形结合的方法求解.计算时要注意线段的长与坐标的关系.
答案
【例4】解:$S_{△ ABC}=\dfrac{2}{3}$.
解析
【解析】
1. 求点$ A $的坐标：
令$ y = -x + 1 $中$ y=0 $，则$ 0 = -x + 1 $，解得$ x=1 $，故$ A(1,0) $。
2. 求点$ B $的坐标：
令$ y = -\frac{3}{2}x + \frac{5}{2} $中$ y=0 $，则$ 0 = -\frac{3}{2}x + \frac{5}{2} $，解得$ x=\frac{5}{3} $，故$ B(\frac{5}{3},0) $。
3. 求交点$ C $的坐标：
联立两直线方程$\begin{cases} y = -x + 1 \\ y = -\frac{3}{2}x + \frac{5}{2} \end{cases}$，
将$ y = -x + 1 $代入$ y = -\frac{3}{2}x + \frac{5}{2} $得：$-x + 1 = -\frac{3}{2}x + \frac{5}{2}$，
解得$ x=3 $，代入$ y = -x + 1 $得$ y=-2 $，故$ C(3,-2) $。
4. 计算$ △ ABC $的面积：
$ AB = \frac{5}{3} - 1 = \frac{2}{3} $，点$ C $到$ x $轴的距离为$ |-2|=2 $，
则$ S_{△ ABC} = \frac{1}{2} × AB × 2 = \frac{1}{2} × \frac{2}{3} × 2 = \frac{2}{3} $。
【答案】
$\boldsymbol{\dfrac{2}{3}}$
【知识点】
一次函数与坐标轴交点、两直线交点求解、三角形面积公式
【点评】
本题考查一次函数与几何图形的结合，解题关键是通过求直线与坐标轴、直线与直线的交点坐标，利用三角形面积公式求解，需注意线段长度与坐标的关系，结合数形结合思想解题。
【难度系数】
0.6
1. 求点$ A $的坐标：
令$ y = -x + 1 $中$ y=0 $，则$ 0 = -x + 1 $，解得$ x=1 $，故$ A(1,0) $。
2. 求点$ B $的坐标：
令$ y = -\frac{3}{2}x + \frac{5}{2} $中$ y=0 $，则$ 0 = -\frac{3}{2}x + \frac{5}{2} $，解得$ x=\frac{5}{3} $，故$ B(\frac{5}{3},0) $。
3. 求交点$ C $的坐标：
联立两直线方程$\begin{cases} y = -x + 1 \\ y = -\frac{3}{2}x + \frac{5}{2} \end{cases}$，
将$ y = -x + 1 $代入$ y = -\frac{3}{2}x + \frac{5}{2} $得：$-x + 1 = -\frac{3}{2}x + \frac{5}{2}$，
解得$ x=3 $，代入$ y = -x + 1 $得$ y=-2 $，故$ C(3,-2) $。
4. 计算$ △ ABC $的面积：
$ AB = \frac{5}{3} - 1 = \frac{2}{3} $，点$ C $到$ x $轴的距离为$ |-2|=2 $，
则$ S_{△ ABC} = \frac{1}{2} × AB × 2 = \frac{1}{2} × \frac{2}{3} × 2 = \frac{2}{3} $。
【答案】
$\boldsymbol{\dfrac{2}{3}}$
【知识点】
一次函数与坐标轴交点、两直线交点求解、三角形面积公式
【点评】
本题考查一次函数与几何图形的结合，解题关键是通过求直线与坐标轴、直线与直线的交点坐标，利用三角形面积公式求解，需注意线段长度与坐标的关系，结合数形结合思想解题。
【难度系数】
0.6
