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6. 如图所示,直线 $y = -2x + 6$ 与 $x$ 轴、$y$ 轴分别相交于点 $C,B$,与直线 $y = x$ 相交于点 $A$.
(1) 求出点 $B$、点 $C$ 和点 $A$ 的坐标;
(2) 求两条直线与 $x$ 轴围成的三角形的面积.
(1) 求出点 $B$、点 $C$ 和点 $A$ 的坐标;
(2) 求两条直线与 $x$ 轴围成的三角形的面积.
答案
6.解:(1)点$B$的坐标为$(0,6)$，点$C$的坐标为$(3,0)$，点$A$的坐标为$(2,2)$.
(2)两条直线与$x$轴围成的三角形的面积为3.
(2)两条直线与$x$轴围成的三角形的面积为3.
解析
【解析】
(1) 求点$B$坐标：在直线$y=-2x+6$中，令$x=0$，得$y=6$，故点$B(0,6)$；
求点$C$坐标：在直线$y=-2x+6$中，令$y=0$，则$0=-2x+6$，解得$x=3$，故点$C(3,0)$；
求点$A$坐标：联立$\begin{cases}y=-2x+6\\y=x\end{cases}$，将$y=x$代入$y=-2x+6$，得$x=-2x+6$，解得$x=2$，则$y=2$，故点$A(2,2)$。
(2) 两条直线与$x$轴围成的三角形是以$OC$为底，点$A$的纵坐标为高的三角形。$OC=3$，高为$2$，根据三角形面积公式$S=\frac{1}{2}×底×高$，可得面积为$\frac{1}{2}×3×2=3$。
【答案】
(1) 点$B(0,6)$，点$C(3,0)$，点$A(2,2)$；
(2) 3
【知识点】
一次函数交点坐标、三角形面积计算、一次函数与坐标轴交点
【点评】
本题考查一次函数的基础应用，涵盖一次函数与坐标轴交点求解、两直线交点坐标的联立方程解法，以及利用坐标计算三角形面积，注重对一次函数基本性质和几何图形面积公式的综合考查，属于基础题型。
【难度系数】
0.8
(1) 求点$B$坐标：在直线$y=-2x+6$中，令$x=0$，得$y=6$，故点$B(0,6)$；
求点$C$坐标：在直线$y=-2x+6$中，令$y=0$，则$0=-2x+6$，解得$x=3$，故点$C(3,0)$；
求点$A$坐标：联立$\begin{cases}y=-2x+6\\y=x\end{cases}$，将$y=x$代入$y=-2x+6$，得$x=-2x+6$，解得$x=2$，则$y=2$，故点$A(2,2)$。
(2) 两条直线与$x$轴围成的三角形是以$OC$为底，点$A$的纵坐标为高的三角形。$OC=3$，高为$2$，根据三角形面积公式$S=\frac{1}{2}×底×高$，可得面积为$\frac{1}{2}×3×2=3$。
【答案】
(1) 点$B(0,6)$，点$C(3,0)$，点$A(2,2)$；
(2) 3
【知识点】
一次函数交点坐标、三角形面积计算、一次函数与坐标轴交点
【点评】
本题考查一次函数的基础应用，涵盖一次函数与坐标轴交点求解、两直线交点坐标的联立方程解法，以及利用坐标计算三角形面积，注重对一次函数基本性质和几何图形面积公式的综合考查，属于基础题型。
【难度系数】
0.8
含绝对值的一次函数的研究
某校八年级学生在数学的综合与实践活动中,研究了一元一次不等式、一元一次方程与一次函数的关系这一课题.在研究过程中,他们将函数 $y = -|x + 1| + 2$ 确定为研究对象,通过作图、观察图象、归纳性质等探究过程,进一步理解了一元一次不等式与函数的关系.请你根据以下探究过程,回答问题.
【知识准备】
(1) 描点法画函数图象的步骤为
(2) $|a|$ 与 $0$ 的大小关系:$ |a| $
【图象绘制】
作出函数 $y = -|x + 1| + 2$ 的图象.
(1) 列表:
其中,表格中 $m$ 的值为
(2) 描点:根据表格的数据,请在平面直角坐标系中描出对应值为坐标的点;
(3) 连线:画出该函数的图象.
【性质探究】
观察函数 $y = -|x + 1| + 2$ 的图象,探索函数性质:
(1) 当 $x = -1$ 时,函数 $y = -|x + 1| + 2$ 有最大值,最大值为
(2) 写出该函数的其他性质(写一条即可):
【问题解决】
若点 $M(2m - 1,y_1)$ 与 $N(m - 3,y_2)$ 都在函数 $y = -|x + 1| + 2$ 的图象上,总有 $y_1 ＜ y_2$,则 $m$ 的取值范围为
某校八年级学生在数学的综合与实践活动中,研究了一元一次不等式、一元一次方程与一次函数的关系这一课题.在研究过程中,他们将函数 $y = -|x + 1| + 2$ 确定为研究对象,通过作图、观察图象、归纳性质等探究过程,进一步理解了一元一次不等式与函数的关系.请你根据以下探究过程,回答问题.
【知识准备】
(1) 描点法画函数图象的步骤为
列表
、描点
、连线
.(2) $|a|$ 与 $0$ 的大小关系:$ |a| $
$≥$
$ 0 $.【图象绘制】
作出函数 $y = -|x + 1| + 2$ 的图象.
(1) 列表:
其中,表格中 $m$ 的值为
1
;(2) 描点:根据表格的数据,请在平面直角坐标系中描出对应值为坐标的点;
(3) 连线:画出该函数的图象.
【性质探究】
观察函数 $y = -|x + 1| + 2$ 的图象,探索函数性质:
(1) 当 $x = -1$ 时,函数 $y = -|x + 1| + 2$ 有最大值,最大值为
2
;(2) 写出该函数的其他性质(写一条即可):
当$x＜-1$时，$y$随$x$的增大而增大；当$x＞-1$时，$y$随$x$的增大而减小(答案不唯一)
.【问题解决】
若点 $M(2m - 1,y_1)$ 与 $N(m - 3,y_2)$ 都在函数 $y = -|x + 1| + 2$ 的图象上,总有 $y_1 ＜ y_2$,则 $m$ 的取值范围为
$m＜-2$或$m＞\dfrac{2}{3}$
.答案
解:[知识准备](1)列表 描点 连线
(2)$≥$
[图象绘制](1)1
(2)如图所示.
(3)如图所示.
[性质探究](1)2
(2)当$x＜-1$时，$y$随$x$的增大而增大；当$x＞-1$时，$y$随$x$的增大而减小(答案不唯一)
[问题解决]$m＜-2$或$m＞\dfrac{2}{3}$
解析
【解析】
知识准备
(1) 描点法画函数图象的基本步骤为列表、描点、连线。
(2) 根据绝对值的非负性，任意实数的绝对值都大于等于0，即$|a|≥0$。
图象绘制
(1) 将$x=0$代入函数$y = -|x + 1| + 2$，得$y=-|0+1|+2=-1+2=1$，故$m=1$。
(2) 略（按表格数据在坐标系中描点即可）。
(3) 略（将描出的点按函数特征连线，形成折线图象）。
性质探究
(1) 当$x=-1$时，$y=-|-1+1|+2=0+2=2$，此时函数取得最大值2。
(2) 观察图象可得：当$x＜-1$时，$y$随$x$的增大而增大；当$x＞-1$时，$y$随$x$的增大而减小（答案不唯一）。
问题解决
函数$y=-|x+1|+2$的对称轴为$x=-1$，且离对称轴越远，函数值越小。由$y_1＜y_2$可知，点$M$到对称轴的距离大于点$N$到对称轴的距离，即$|2m-1-(-1)|＞|m-3-(-1)|$，化简得$|2m|＞|m-2|$，两边平方后整理得$3m^2+4m-4＞0$，因式分解为$(3m-2)(m+2)＞0$，解得$m＜-2$或$m＞\dfrac{2}{3}$。
【答案】
[知识准备](1) 列表、描点、连线；(2) $≥$
[图象绘制](1) $1$；(2) 如图所示；(3) 如图所示
[性质探究](1) $2$；(2) 当$x＜-1$时，$y$随$x$的增大而增大；当$x＞-1$时，$y$随$x$的增大而减小(答案不唯一)
[问题解决]$m＜-2$或$m＞\dfrac{2}{3}$
【知识点】
描点法画函数图象、绝对值的非负性、含绝对值的一次函数性质
【点评】
本题综合考查了描点法画函数图象的步骤、绝对值的性质、含绝对值一次函数的图象与性质，以及利用函数对称性和增减性解决不等式问题，着重培养数形结合的数学思想，对学生的图象分析和逻辑推理能力有一定要求。
【难度系数】
0.6
知识准备
(1) 描点法画函数图象的基本步骤为列表、描点、连线。
(2) 根据绝对值的非负性，任意实数的绝对值都大于等于0，即$|a|≥0$。
图象绘制
(1) 将$x=0$代入函数$y = -|x + 1| + 2$，得$y=-|0+1|+2=-1+2=1$，故$m=1$。
(2) 略（按表格数据在坐标系中描点即可）。
(3) 略（将描出的点按函数特征连线，形成折线图象）。
性质探究
(1) 当$x=-1$时，$y=-|-1+1|+2=0+2=2$，此时函数取得最大值2。
(2) 观察图象可得：当$x＜-1$时，$y$随$x$的增大而增大；当$x＞-1$时，$y$随$x$的增大而减小（答案不唯一）。
问题解决
函数$y=-|x+1|+2$的对称轴为$x=-1$，且离对称轴越远，函数值越小。由$y_1＜y_2$可知，点$M$到对称轴的距离大于点$N$到对称轴的距离，即$|2m-1-(-1)|＞|m-3-(-1)|$，化简得$|2m|＞|m-2|$，两边平方后整理得$3m^2+4m-4＞0$，因式分解为$(3m-2)(m+2)＞0$，解得$m＜-2$或$m＞\dfrac{2}{3}$。
【答案】
[知识准备](1) 列表、描点、连线；(2) $≥$
[图象绘制](1) $1$；(2) 如图所示；(3) 如图所示
[性质探究](1) $2$；(2) 当$x＜-1$时，$y$随$x$的增大而增大；当$x＞-1$时，$y$随$x$的增大而减小(答案不唯一)
[问题解决]$m＜-2$或$m＞\dfrac{2}{3}$
【知识点】
描点法画函数图象、绝对值的非负性、含绝对值的一次函数性质
【点评】
本题综合考查了描点法画函数图象的步骤、绝对值的性质、含绝对值一次函数的图象与性质，以及利用函数对称性和增减性解决不等式问题，着重培养数形结合的数学思想，对学生的图象分析和逻辑推理能力有一定要求。
【难度系数】
0.6
