24. (★★)已知方程组 $ \begin{cases} x + y = 3a, \\ y + z = 5a, \\ z + x = 4a \end{cases} $ 的解使代数式 $ x - 2y + 3z $ 的值为 $ -12 $，求 $ a $ 的值。
数学思想 方程思想

$a = -2$

解：
由方程组
$\begin{cases} x + y = 3a, \quad① \\ y + z = 5a, \quad② \\ z + x = 4a \quad③ \end{cases}$
①+②+③，得$2(x + y + z) = 12a$，即$x + y + z = 6a$ ④.
④-①，得$z = 3a$；
④-②，得$x = a$；
④-③，得$y = 2a$.
将$x = a$，$y = 2a$，$z = 3a$代入$x - 2y + 3z$，得
$a - 2(2a) + 3(3a) = a - 4a + 9a = 6a$.
由题意，$6a = -12$，解得$a = -2$.

25. (★★)因强降雨天气有 $ 500 $ 名群众被困，某救援队前往救援，已知 $ 3 $ 艘小型船和 $ 2 $ 艘大型船一次可救援 $ 125 $ 名群众，$ 1 $ 艘小型船和 $ 3 $ 艘大型船一次可救援 $ 135 $ 名群众。
(1) 每艘小型船和每艘大型船各能坐多少名群众？
(2) 若安排 $ m $ 艘小型船和 $ n $ 艘大型船一次救援完，且恰好每艘船都坐满，请设计出所有的安排方案。
数学思想 转化思想和整体思想

(1)设每艘小型船能坐$x$名群众，每艘大型船能坐$y$名群众。
$\begin{cases}3x + 2y = 125,\\x + 3y = 135.\end{cases}$
解得$\begin{cases}x = 15,\\y = 40.\end{cases}$
答：每艘小型船能坐$15$名群众，每艘大型船能坐$40$名群众。
(2)由（1）知，$15m + 40n = 500$，
$\therefore n=\frac{500-15m]{40}=\frac{100-3m}{8}$，
$\because m$，$n$均为自然数，
$\therefore 100 - 3m$为$8$的倍数，
$\therefore\begin{cases}m_1 = 4,\\n_1 = 11.\end{cases}$
$\begin{cases}m_2 = 12,\\n_2= 8 .\end{cases}$
$\begin{cases}m_3 = 20 ,\\n_3= 5 .\end{cases}$
$\begin{cases}m_4 = 28 ,\\n_4= 2 .\end{cases}$
$\therefore$安排方案有四种：
$① 4$艘小型船，$11$艘大型船；
$② 12$艘小型船，$8$艘大型船；
$③ 20$艘小型船，$5$艘大型船；
$④ 28$艘小型船，$2$艘大型船。

26. (★★)阅读理解：已知实数 $ x,y $ 满足 $ 3x - y = 5 $①，$ 2x + 3y = 7 $②，求 $ x - 4y $ 和 $ 7x + 5y $ 的值。仔细观察两个方程未知数的系数之间的关系，本题可以通过适当变形整体求得代数式的值，如由① - ②可得 $ x - 4y = -2 $，由① + ②×$ 2 $ 可得 $ 7x + 5y = 19 $。这样的解题思想就是通常所说的“整体思想”。利用“整体思想”解决下列问题：
(1) 已知二元一次方程组 $ \begin{cases}3x + 2y = 7, \\ 2x + 3y = 8,\end{cases}$ 则 $ x - y = $ ______ ，$ x + y = $ ______ 。
(2) 对于实数 $ x,y $，定义新运算：$ x * y = ax + by + c $，其中 $ a,b,c $ 是常数，等式右边是实数运算。已知 $ 3 * 5 = 15 $，$ 4 * 7 = 28 $，求 $ 6 * 11 $ 的值。

(1)
由方程组$\begin{cases}3x + 2y = 7&(1)\\2x + 3y = 8&(2)\end{cases}$
$(1)-(2)$得：$(3x + 2y)-(2x + 3y)=7 - 8$，即$x - y=-1$；
$(1)+(2)$得：$(3x + 2y)+(2x + 3y)=7 + 8$，$5x + 5y = 15$，则$x + y = 3$。
(2)
因为$x*y = ax + by + c$，且$3*5 = 15$，$4*7 = 28$，
所以$\begin{cases}3a + 5b + c = 15&(3)\\4a + 7b + c = 28&(4)\end{cases}$
$(4)-(3)$得：$(4a + 7b + c)-(3a + 5b + c)=28 - 15$，$a + 2b = 13$，$a=13 - 2b$；
把$a = 13 - 2b$代入$(3)$得：$3(13 - 2b)+5b + c = 15$，$39-6b+5b + c = 15$，$c=b - 24$；
则$6*11=6a + 11b + c$，把$a = 13 - 2b$，$c=b - 24$代入得：
$6(13 - 2b)+11b+(b - 24)$
$=78-12b+11b + b - 24$
$=54$
故答案为：(1)$-1$；$3$；(2)$54$。