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20. (★★)已知关于 $ x,y $ 的方程组 $ \begin{cases}x + 2y = 6 - 3a, \\ x - y = 6a\end{cases}$，给出下列说法：①当 $ a = 1 $ 时，方程组的解也是 $ x + y = a + 3 $ 的解；②若 $ 2x + y = 3 $，则 $ a = -1 $；③无论 $ a $ 取何值，$ x,y $ 的值不可能互为相反数。以上说法中正确的为 ______ (填序号)。
答案
①②③
解析
解方程组
$\begin{cases}x + 2y = 6 - 3a \quad① \\x - y = 6a \quad②\end{cases}$
① - ②得：$3y = 6 - 9a ⇒ y = 2 - 3a$，
代入②得：$x - (2 - 3a) = 6a ⇒ x = 3a + 2$，
故方程组的解为 $\begin{cases} x = 3a + 2 \\ y = 2 - 3a \end{cases}$。
判断说法①
当 $a = 1$ 时，$x = 3×1 + 2 = 5$，$y = 2 - 3×1 = -1$，
则 $x + y = 5 + (-1) = 4$，$a + 3 = 1 + 3 = 4$，
左边 = 右边，故①正确。
判断说法②
$2x + y = 2(3a + 2) + (2 - 3a) = 3a + 6$，
令 $3a + 6 = 3 ⇒ 3a = -3 ⇒ a = -1$，故②正确。
判断说法③
$x + y = (3a + 2) + (2 - 3a) = 4$，
即 $x + y = 4 ≠ 0$，故 $x,y$ 不可能互为相反数，③正确。
$\begin{cases}x + 2y = 6 - 3a \quad① \\x - y = 6a \quad②\end{cases}$
① - ②得：$3y = 6 - 9a ⇒ y = 2 - 3a$，
代入②得：$x - (2 - 3a) = 6a ⇒ x = 3a + 2$，
故方程组的解为 $\begin{cases} x = 3a + 2 \\ y = 2 - 3a \end{cases}$。
判断说法①
当 $a = 1$ 时，$x = 3×1 + 2 = 5$，$y = 2 - 3×1 = -1$，
则 $x + y = 5 + (-1) = 4$，$a + 3 = 1 + 3 = 4$，
左边 = 右边，故①正确。
判断说法②
$2x + y = 2(3a + 2) + (2 - 3a) = 3a + 6$，
令 $3a + 6 = 3 ⇒ 3a = -3 ⇒ a = -1$，故②正确。
判断说法③
$x + y = (3a + 2) + (2 - 3a) = 4$，
即 $x + y = 4 ≠ 0$，故 $x,y$ 不可能互为相反数，③正确。
21. (★★)如图，某居民小区为了改善小区环境，建设和谐家园，准备将一块周长为 $ 76\ \mathrm{m} $ 的长方形空地设计成完全相同的 $ 9 $ 块小长方形，求小长方形的面积。
答案
$40$
解析
设小长方形的长为$x\ \mathrm{m}$，宽为$y\ \mathrm{m}$。
由图形可知：大长方形的长为$2x$（或$5y$），宽为$x + 2y$。
根据题意，得：
$\begin{cases}2x = 5y \\2(2x + x + 2y) = 76\end{cases}$
化简第二个方程：$2(3x + 2y) = 76 ⇒ 3x + 2y = 38$。
由$2x = 5y$得$x = \frac{5}{2}y$，代入$3x + 2y = 38$：
$3×\frac{5}{2}y + 2y = 38 ⇒ \frac{15}{2}y + \frac{4}{2}y = 38 ⇒ \frac{19}{2}y = 38 ⇒ y = 4$
则$x = \frac{5}{2}×4 = 10$。
小长方形面积为$x· y = 10×4 = 40\ \mathrm{m}^2$。
由图形可知：大长方形的长为$2x$（或$5y$），宽为$x + 2y$。
根据题意，得：
$\begin{cases}2x = 5y \\2(2x + x + 2y) = 76\end{cases}$
化简第二个方程：$2(3x + 2y) = 76 ⇒ 3x + 2y = 38$。
由$2x = 5y$得$x = \frac{5}{2}y$，代入$3x + 2y = 38$：
$3×\frac{5}{2}y + 2y = 38 ⇒ \frac{15}{2}y + \frac{4}{2}y = 38 ⇒ \frac{19}{2}y = 38 ⇒ y = 4$
则$x = \frac{5}{2}×4 = 10$。
小长方形面积为$x· y = 10×4 = 40\ \mathrm{m}^2$。
22. (★★)(2024·徐州)中国古代数学著作《张丘建算经》中有一道问题：“今有甲、乙怀钱，各不知其数。甲得乙十钱，多乙余钱五倍；乙得甲十钱，适等。问：甲、乙怀钱各几何？”问题大意：甲、乙两人各有钱币若干枚。若乙给甲 $ 10 $ 枚钱，此时甲的钱币数比乙的钱币数多出 $ 5 $ 倍，即甲的钱币数是乙钱币数的 $ 6 $ 倍；若甲给乙 $ 10 $ 枚钱，此时两人的钱币数相等。问：甲、乙原来各有多少枚钱币？请用二元一次方程组解答上述问题。
答案
设甲原来有$x$枚钱币，乙原来有$y$枚钱币。
根据题意，得：
$\begin{cases}x - 10 = y + 10 \\x + 10 = 6(y - 10)\end{cases}$
由第一个方程得：$x = y + 20$。
将$x = y + 20$代入第二个方程：
$(y + 20) + 10 = 6(y - 10)$
$y + 30 = 6y - 60$
$5y = 90$
$y = 18$
将$y = 18$代入$x = y + 20$，得$x = 18 + 20 = 38$。
答：甲原来有38枚钱币，乙原来有18枚钱币。
根据题意，得：
$\begin{cases}x - 10 = y + 10 \\x + 10 = 6(y - 10)\end{cases}$
由第一个方程得：$x = y + 20$。
将$x = y + 20$代入第二个方程：
$(y + 20) + 10 = 6(y - 10)$
$y + 30 = 6y - 60$
$5y = 90$
$y = 18$
将$y = 18$代入$x = y + 20$，得$x = 18 + 20 = 38$。
答：甲原来有38枚钱币，乙原来有18枚钱币。
23. (★★)若实数 $ x,y,z $ 满足 $ \begin{cases} x - y + 4z = 1, \\ x - 2y + 3z = 3, \end{cases} $ 则 $ x + y + 6z $ 的值【 】
A.为 $ -3 $
B.为 $ 0 $
C.为 $ 3 $
D.不能确定
A.为 $ -3 $
B.为 $ 0 $
C.为 $ 3 $
D.不能确定
答案
A
解析
$\begin{cases} x - y + 4z = 1 &① \\ x - 2y + 3z = 3 &② \end{cases}$，
① - ②得：$y + z = -2$，即$y = -2 - z$，
将$y = -2 - z$代入①得：$x - (-2 - z) + 4z = 1$，
$x + 2 + z + 4z = 1$，$x = -1 - 5z$，
则$x + y + 6z = (-1 - 5z) + (-2 - z) + 6z = -3$。
① - ②得：$y + z = -2$，即$y = -2 - z$，
将$y = -2 - z$代入①得：$x - (-2 - z) + 4z = 1$，
$x + 2 + z + 4z = 1$，$x = -1 - 5z$，
则$x + y + 6z = (-1 - 5z) + (-2 - z) + 6z = -3$。
