8. 如图，双曲线$ y=\frac{k}{x}$经过 Rt△BOC 斜边上的一点 A，且满足 AO:AB=2:3，与 BC 交于点 D，若$ S_{△BOD}=21$，则 k=()

A.6
B.7

C.8
D.9

8. C

解：设点$C$的坐标为$(c,0)$，点$B$的坐标为$(c,b)$，则$BC$的方程为$x = c$。
因为$AO:AB = 2:3$，所以$AO:OB = 2:5$。过点$A$作$AE ⊥ x$轴于点$E$，则$△ AOE ∼ △ BOC$，相似比为$\frac{2}{5}$。
所以点$A$的坐标为$(\frac{2}{5}c, \frac{2}{5}b)$。
因为点$A$在双曲线$y = \frac{k}{x}$上，所以$\frac{2}{5}b = \frac{k}{\frac{2}{5}c}$，即$k = \frac{4}{25}bc$。
点$D$在双曲线$y = \frac{k}{x}$和$BC$上，所以点$D$的坐标为$(c, \frac{k}{c})$。
$S_{△ BOD} = S_{△ BOC} - S_{△ DOC} = \frac{1}{2}bc - \frac{1}{2}c · \frac{k}{c} = \frac{1}{2}(bc - k) = 21$，即$bc - k = 42$。
将$k = \frac{4}{25}bc$代入$bc - k = 42$，得$bc - \frac{4}{25}bc = 42$，$\frac{21}{25}bc = 42$，$bc = 50$。
所以$k = \frac{4}{25} × 50 = 8$。
答案：C

9. 如图，P 为□ABCD 的边 AD 上的一点，E，F 分别为 PB，PC 的中点，△PEF，△PDC，△PAB 的面积分别为 S，S₁，S₂. 若 S=3，则 S₁+S₂的值为()

A.24
B.12
C.6
D.3

9. B

解：
∵E，F分别为PB，PC的中点，
∴EF是△PBC的中位线，
∴EF//BC，且EF=$\frac{1}{2}$BC，
∴△PEF∽△PBC，相似比为$\frac{1}{2}$，
∴$\frac{S_{△ PEF}}{S_{△ PBC}}=(\frac{1}{2})^2=\frac{1}{4}$，
∵S=3，
∴$S_{△ PBC}=4S=12$，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD=BC，AD//BC，
∴△PAB和△PDC的高之和等于平行四边形ABCD的高，
设平行四边形ABCD的底BC为a，高为h，
则$S_{△ PAB}+S_{△ PDC}=\frac{1}{2}PA· h_1+\frac{1}{2}PD· h_2$（$h_1$，$h_2$分别为△PAB，△PDC的高），
∵$h_1+h_2=h$，PA+PD=AD=BC=a，
∴$S_1+S_2=\frac{1}{2}(PA+PD)· h=\frac{1}{2}a· h$，
又$S_{△ PBC}=\frac{1}{2}a· h=12$，
∴$S_1+S_2=12$。
答案：B

10. 如图，直线 a//b，AF:FB=3:5，BC:CD=3:1，则 AE:EC=()

A.5:12
B.9:5
C.12:5
D.3:2

10. C

证明：过点 $ F $ 作 $ FM // b $ 交 $ AC $ 于点 $ M $。
因为 $ a // b $，所以 $ FM // a // b $。
由 $ FM // b $，得 $ △ AFM ∼ △ AB C $，$ △ FME ∼ △ DCE $。
因为 $ AF:FB = 3:5 $，所以 $ AF:AB = 3:8 $，则 $ \frac{FM}{BC} = \frac{AF}{AB} = \frac{3}{8} $，即 $ FM = \frac{3}{8}BC $。
因为 $ BC:CD = 3:1 $，设 $ BC = 3k $，则 $ CD = k $，$ FM = \frac{3}{8} × 3k = \frac{9k}{8} $。
由 $ △ FME ∼ △ DCE $，得 $ \frac{ME}{EC} = \frac{FM}{CD} = \frac{\frac{9k}{8}}{k} = \frac{9}{8} $，即 $ ME = \frac{9}{8}EC $。
设 $ EC = 8m $，则 $ ME = 9m $，$ MC = ME + EC = 17m $。
由 $ FM // b $，$ AF:AB = 3:8 $，得 $ AM:MC = AF:FB = 3:5 $，则 $ AM = \frac{3}{5}MC = \frac{3}{5} × 17m = \frac{51m}{5} $。
$ AE = AM + ME = \frac{51m}{5} + 9m = \frac{51m + 45m}{5} = \frac{96m}{5} $。
所以 $ AE:EC = \frac{96m}{5}:8m = 12:5 $。
答案：C

11. 在平面直角坐标系中，△ABC 与△A₁B₁C₁ 对应边的比为 1:2，并且是关于原点 O 的位似图形，若点 A 的坐标为(2,4)，则其对应点 A₁ 的坐标为.

11. $(4,8)$或$(-4,-8)$

∵△ABC与△A₁B₁C₁是关于原点O的位似图形，对应边的比为1:2，
∴位似比为1:2或-1:2。
∵点A的坐标为(2,4)，
∴当位似比为1:2时，A₁的坐标为(2×2,4×2)=(4,8)；
当位似比为-1:2时，A₁的坐标为(2×(-2),4×(-2))=(-4,-8)。
故答案为$(4,8)$或$(-4,-8)$。

12. 如图，已知 AD//BE//CF，它们依次交直 l₁，l₂ 于点 A，B，C 和点 D，E，F. 如果$\frac{AB}{BC}=\frac{2}{3}$，AD=4，CF=9，求 BE 的长.

12. $BE=6$