13. 如图，EF//BC，AE:EB=2:1，EM=1，MF=2，则 AM:AN=，BN:NC=.

13. $2:3,1:2$

证明：
∵EF//BC，
∴△AEM∽△ABN，△AFM∽△ACN，
∵AE:EB=2:1，
∴AE:AB=2:3，
∵△AEM∽△ABN，
∴AM:AN=AE:AB=2:3，
∵EM=1，MF=2，
∴EF=EM+MF=3，
∵△AEF∽△ABC，
∴EF:BC=AE:AB=2:3，
∴BC=$\frac{9}{2}$，
∵△AEM∽△ABN，
∴EM:BN=AE:AB=2:3，
∵EM=1，
∴BN=$\frac{3}{2}$，
∴NC=BC-BN=$\frac{9}{2}-\frac{3}{2}=3$，
∴BN:NC=$\frac{3}{2}:3=1:2$。
AM:AN=2:3，BN:NC=1:2。

14. 有同一三角形地块的甲、乙两地图，比例尺分别为 1:200 和 1:500，则甲地图与乙地图的相似比为，面积比为.

14. $\frac{5}{2},\frac{25}{4}$

15. 如图，DE//BC，且$ S_{△ADE}=S_{梯形DECB}$，则 AD:AB=.

15. $\sqrt{2}:2$

证明：
∵ $ DE // BC $，
∴ $ △ ADE ∼ △ ABC $。
设 $ AD:AB = k $，则相似比为 $ k $。
由相似三角形面积比等于相似比的平方，得：
$ \frac{S_{△ ADE}}{S_{△ ABC}} = k^2 $。
∵ $ S_{△ ADE} = S_{梯形DECB} $，
∴ $ S_{△ ABC} = S_{△ ADE} + S_{梯形DECB} = 2S_{△ ADE} $，
即 $ \frac{S_{△ ADE}}{S_{△ ABC}} = \frac{1}{2} $。
∴ $ k^2 = \frac{1}{2} $，解得 $ k = \frac{\sqrt{2}}{2} $（负值舍去）。
故 $ AD:AB = \sqrt{2}:2 $。
$\sqrt{2}:2$

16. 如图，在 4×4 的正方形方格中，△ABC 和△DEF 的顶点都在边长为 1 的小正方形的顶点上.
(1)AC=，BC=；
(2)△ABC 与△DEF 是否相似？为什么？

16. (1)$2\sqrt{5},2\sqrt{2}$ (2)相似

(1)$2\sqrt{5}$，$2\sqrt{2}$
(2)相似，理由如下：
由图可知，$AB=2$，$DE=\sqrt{1^{2}+1^{2}}=\sqrt{2}$，$EF=2$，$DF=\sqrt{1^{2}+3^{2}}=\sqrt{10}$。
因为$\frac{AB}{DE}=\frac{2}{\sqrt{2}}=\sqrt{2}$，$\frac{BC}{EF}=\frac{2\sqrt{2}}{2}=\sqrt{2}$，$\frac{AC}{DF}=\frac{2\sqrt{5}}{\sqrt{10}}=\sqrt{2}$，所以$\frac{AB}{DE}=\frac{BC}{EF}=\frac{AC}{DF}$，故$△ ABC∽△ DEF$。

17. 如图，在△ABC 中，AB=AC，延长 BC 至 D，使得 CD=BC，CE⊥BD 交 AD 于 E，连接 BE 交 AC 于 F，求证 AF=FC.

17. $\because BC=CD,EC⊥ BD,\therefore BE=DE,∠ FBC=∠ D$. 又$AB=AC,\therefore ∠ BCF=∠ DBA.\therefore △ BCF∽△ DBA.\therefore \frac{FC}{AB}=\frac{BC}{DB}$. 又$BD=2BC,AB=AC,\therefore \frac{FC}{AC}=\frac{BC}{2BC}=\frac{1}{2},\therefore FC=\frac{1}{2}AC$. 因此$AF=FC$

证明：
$\because BC=CD$，$EC ⊥ BD$，
$\therefore BE=DE$，$∠ FBC=∠ D$。
$\because AB=AC$，
$\therefore ∠ BCF=∠ DBA$。
$\therefore △ BCF ∽ △ DBA$。
$\therefore \frac{FC}{AB}=\frac{BC}{DB}$。
$\because BD=BC+CD=2BC$，$AB=AC$，
$\therefore \frac{FC}{AC}=\frac{BC}{2BC}=\frac{1}{2}$。
$\therefore FC=\frac{1}{2}AC$。
$\therefore AF=FC$。

18. 如图，在平行四边形 ABCD 中，点 E 是边 CD 上一点，点 F 是边 AD 的中点，BE=DE+AB.
(1)求证：EF⊥BF；
(2)如果 BE 平分∠CBF，求证：DF·AD=CD·CE.

(1)延长BF交CD延长线于点G。
∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB//CD，∴∠ABF=∠G，∠BAF=∠GDF。
∵F是AD中点，∴AF=DF。
在△AFB和△DFG中，∠ABF=∠G，∠BAF=∠GDF，AF=DF，∴△AFB≌△DFG(AAS)。
∴AB=DG，BF=FG。
∵BE=DE+AB，AB=DG，∴BE=DE+DG=EG。
∴△BEG是等腰三角形，又F是BG中点，∴EF⊥BF(等腰三角形三线合一)。
(2)∵BE平分∠CBF，∴∠CBE=∠FBE。
由(1)知BE=EG，∴∠FBE=∠G，∴∠CBE=∠G。
∵∠BCE=∠GCB，∴△BCE∽△GCB。
∴BC/GC=CE/CB，即BC²=GC·CE。
∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB=CD，BC=AD。
由(1)知DG=AB=CD，∴GC=GD+CD=CD+CD=2CD。
∴AD²=2CD·CE。
∵F是AD中点，∴AD=2DF，∴(2DF)²=2CD·CE，即4DF²=2CD·CE，∴2DF²=CD·CE。
∵DF·AD=DF·2DF=2DF²，∴DF·AD=CD·CE。