1. 如图，G 是△ABC 的中位线 MN 的中点，CG 的延长线交 AB 于点 F，则 AF:FB=()

A.1:2
B.1:3
C.2:3
D.3:4

1. A

证明：
∵MN是△ABC的中位线，
∴M、N分别为AB、AC中点，MN//BC，且$MN=\frac{1}{2}BC$。
设$MN=k$，则$BC=2k$。
∵G是MN中点，
∴$MG=\frac{1}{2}MN=\frac{k}{2}$。
∵MN//BC，
∴△FMG∽△FBC。
∴$\frac{FM}{FB}=\frac{MG}{BC}=\frac{\frac{k}{2}}{2k}=\frac{1}{4}$，即$FB=4FM$。
设$FM=x$，则$FB=4x$，$MB=FB-FM=3x$。
∵M是AB中点，
∴$AM=MB=3x$。
∴$AF=AM-FM=3x-x=2x$。
∴$AF:FB=2x:4x=1:2$。
答案：A

2. △ABC 与△A'B'C'是位似图形，且相似比为 1:2，若$ S_{△ABC}=3$，则$ S_{△A'B'C'}=( )$

A.3
B.6
C.9
D.12

2. D

∵△ABC与△A'B'C'是位似图形，
∴△ABC∽△A'B'C'，
∵相似比为1:2，
∴面积比为相似比的平方，即$1^2:2^2 = 1:4$，
∵$S_{△ABC}=3$，
∴$S_{△A'B'C'}=3×4=12$。
D

3. 已知△ABC 的三边长分别为 6，7.5，9，△DEF 的一边长为 4，若△DEF 与△ABC 相似，则△DEF 的另两边长可能为()

A.2，3
B.4，5
C.5，6
D.6，7

3. C

△ABC的三边长之比为6:7.5:9=4:5:6。
若△DEF中长为4的边对应△ABC中长为4的边，则另两边长为5,6；
若△DEF中长为4的边对应△ABC中长为5的边，则另两边长为$\frac{16}{5}$,$\frac{24}{5}$；
若△DEF中长为4的边对应△ABC中长为6的边，则另两边长为$\frac{8}{3}$,$\frac{10}{3}$。
选项中只有5,6符合，故选C。

4. 如图，∠ABC=∠ADP，∠PBD=∠ACP，图中相似三角形的对数是()

A.2
B.3
C.4
D.5

4. C

5. 如图，四边形 ABCD 是正方形，E 是 CD 的中点，P 是 BC 边上的一点，下列条件中，能推出△ABP 与△ECP 相似的是()

A.P 是 BC 的中点
B.∠APE=90°
C.∠APB=∠EPC
D.BP:BC=2:1

5. C

解：设正方形边长为$2a$，则$AB=BC=CD=AD=2a$，$E$为$CD$中点，$CE=a$。
选项A：若$P$是$BC$中点，则$BP=PC=a$。$△ ABP$中，$AB=2a$，$BP=a$；$△ ECP$中，$EC=a$，$PC=a$。$\frac{AB}{EC}=\frac{2a}{a}=2$，$\frac{BP}{PC}=\frac{a}{a}=1$，$2≠1$，不相似。
选项B：若$∠ APE=90°$，则$∠ APB+∠ EPC=90°$，又$∠ BAP+∠ APB=90°$，故$∠ BAP=∠ EPC$。$△ ABP$与$△ ECP$均为直角三角形，$\frac{AB}{PC}=\frac{BP}{EC}$，设$BP=x$，$PC=2a - x$，则$\frac{2a}{2a - x}=\frac{x}{a}$，$x^2 - 2ax + 2a^2=0$，$\Delta=4a^2 - 8a^2=-4a^2＜0$，无解，不相似。
选项C：若$∠ APB=∠ EPC$，又$∠ ABP=∠ ECP=90°$，则$△ ABP∼△ ECP$（两角对应相等）。
选项D：若$BP:BC=2:1$，则$BP=4a$，超出$BC$长度，不成立。
综上，能推出相似的是选项C。
C

6. 如图，在△ABC 中，AD⊥BC 于 D，且有下列条件：
①∠B+∠DAC=90°；②∠B=∠DAC；$③\frac{CD}{AD}=\frac{AC}{AB}$；④AB²=BD·BC.
其中一定能够判定△ABC 是直角三角形的共有()

A.3 个
B.2 个
C.1 个
D.0 个

6. A

解：
①
∵AD⊥BC，
∴∠ADB=∠ADC=90°，∠BAD+∠B=90°．
∵∠B+∠DAC=90°，
∴∠BAD=∠DAC，无法判定△ABC为直角三角形．
②
∵∠ADB=90°，
∴∠B+∠BAD=90°．
∵∠B=∠DAC，
∴∠DAC+∠BAD=90°，即∠BAC=90°，△ABC是直角三角形．
③
∵$\frac{CD}{AD}=\frac{AC}{AB}$，∠ADC=∠ADB=90°，
∴△ADC∽△ADB，
∴∠DAC=∠B，由②知∠BAC=90°，△ABC是直角三角形．
④
∵AB²=BD·BC，∠B=∠B，
∴△ABD∽△CBA，
∴∠BAC=∠ADB=90°，△ABC是直角三角形．
综上，②③④能判定，共3个．
答案：A

7. 如图，在平面直角坐标系中，正方形 ABCD 的 BC 边与正方形 BEFG 的 EF 边是以原点 O 为位似中心的位似图形，相似比为$\frac{1}{3}$，点 A，B，E 在 x 轴上，若正方形 BEFG 的边长为 6，则 C 点的坐标为()

A.(3,2)
B.(3,1)
C.(2,2)
D.(4,2)

7. A

解：设正方形ABCD的边长为$a$，正方形BEFG的边长为6。
∵BC与EF是以O为位似中心的位似图形，相似比为$\frac{1}{3}$，
∴$\frac{BC}{EF}=\frac{1}{3}$，即$\frac{a}{6}=\frac{1}{3}$，解得$a=2$。
设$OB=x$，则$OE=3x$（位似比$\frac{1}{3}$）。
∵点B、E在x轴上，且BE为正方形BEFG的边长，
∴$OE - OB = BE$，即$3x - x = 6$，解得$x=3$，故$OB=3$。
∵C点在正方形ABCD的右上角，其横坐标为$OB=3$，纵坐标为正方形边长$a=2$，
∴C点坐标为$(3,2)$。
答案：A