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《周髀算经》中提出了“方属地，圆属天”，也就是人们常说的“天圆地方”，我国古代铜钱的铸造也蕴含了这种“外圆内方”“天地合一”的哲学思想，现将铜钱抽象成如图所示的图形，AC，BD为圆O的直径，AC⊥BD，若圆O的面积为16π cm²，则图中阴影部分的面积为 cm²。
答案
$\boldsymbol{4π}$
解析
【分析】
解题首先观察图形特征：AC、BD是圆O的直径且互相垂直，说明圆被平分成4个圆心角为90°的全等扇形；再结合轴对称的性质，小正方形内的阴影部分可以通过轴对称变换，和大扇形AOB内的阴影拼接成1个完整的四分之一圆。因此只需要先算出圆的总面积，再计算其四分之一的大小即可得到阴影总面积。
【解析】
1. 已知圆O的面积为$16π \ \mathrm{cm}^2$，由AC、BD是互相垂直的直径，可得圆被平均分为4个面积相等的扇形，每个扇形面积为圆面积的$\frac{1}{4}$。
2. 根据轴对称的性质，将小正方形内的阴影部分割补到扇形AOB的对应空白处，可得阴影部分的总面积等于1个扇形的面积，即$S_{\mathrm{阴影}}=\frac{1}{4}S_{\mathrm{圆}}$。
3. 代入计算：$S_{\mathrm{阴影}}=\frac{1}{4}×16π=4π \ (\mathrm{cm}^2)$。
【答案】
$\boldsymbol{4π}$
【知识点】
轴对称的性质、圆的面积计算、割补法求面积
【点评】
本题结合传统文化背景考查不规则图形面积的计算，解题核心是利用轴对称的性质对阴影部分进行割补，将不规则图形转化为规则的扇形求解，简化了计算过程。
【难度系数】
0.7
解题首先观察图形特征：AC、BD是圆O的直径且互相垂直，说明圆被平分成4个圆心角为90°的全等扇形；再结合轴对称的性质，小正方形内的阴影部分可以通过轴对称变换，和大扇形AOB内的阴影拼接成1个完整的四分之一圆。因此只需要先算出圆的总面积，再计算其四分之一的大小即可得到阴影总面积。
【解析】
1. 已知圆O的面积为$16π \ \mathrm{cm}^2$，由AC、BD是互相垂直的直径，可得圆被平均分为4个面积相等的扇形，每个扇形面积为圆面积的$\frac{1}{4}$。
2. 根据轴对称的性质，将小正方形内的阴影部分割补到扇形AOB的对应空白处，可得阴影部分的总面积等于1个扇形的面积，即$S_{\mathrm{阴影}}=\frac{1}{4}S_{\mathrm{圆}}$。
3. 代入计算：$S_{\mathrm{阴影}}=\frac{1}{4}×16π=4π \ (\mathrm{cm}^2)$。
【答案】
$\boldsymbol{4π}$
【知识点】
轴对称的性质、圆的面积计算、割补法求面积
【点评】
本题结合传统文化背景考查不规则图形面积的计算，解题核心是利用轴对称的性质对阴影部分进行割补，将不规则图形转化为规则的扇形求解，简化了计算过程。
【难度系数】
0.7
1.如图,正方形ABCD的边长为4 cm,则图中阴影部分的面积为 cm².
答案
$\boldsymbol{8}$
解析
【分析】
解题时先观察图形特征，正方形ABCD关于对角线AC所在直线对称，根据轴对称的性质，对称轴两侧的对应部分面积相等，因此可以将分散的阴影部分面积进行转化，易得阴影部分的总面积等于正方形面积的一半，先求出正方形面积再除以2即可得到结果。
【解析】
解：
∵正方形ABCD的边长为4cm，
∴正方形ABCD的面积为 $4 × 4 = 16 \, \mathrm{cm}^2$。
又
∵正方形是轴对称图形，对角线AC所在直线是它的一条对称轴，
根据轴对称的性质，对称轴两侧互相重合的部分面积相等，
∴阴影部分的面积之和等于正方形面积的一半，
即 $S_{\mathrm{阴影}} = \frac{1}{2} × 16 = 8 \, \mathrm{cm}^2$。
【答案】
$\boldsymbol{8}$
【知识点】
轴对称的性质，正方形的性质，面积计算
【点评】
本题解题的关键是利用轴对称的性质对不规则阴影部分的面积进行转化，将分散的阴影拼接为规则图形，简化了计算过程，体现了数学中的转化思想。
【难度系数】
0.7
解题时先观察图形特征，正方形ABCD关于对角线AC所在直线对称，根据轴对称的性质，对称轴两侧的对应部分面积相等，因此可以将分散的阴影部分面积进行转化，易得阴影部分的总面积等于正方形面积的一半，先求出正方形面积再除以2即可得到结果。
【解析】
解：
∵正方形ABCD的边长为4cm，
∴正方形ABCD的面积为 $4 × 4 = 16 \, \mathrm{cm}^2$。
又
∵正方形是轴对称图形，对角线AC所在直线是它的一条对称轴，
根据轴对称的性质，对称轴两侧互相重合的部分面积相等，
∴阴影部分的面积之和等于正方形面积的一半，
即 $S_{\mathrm{阴影}} = \frac{1}{2} × 16 = 8 \, \mathrm{cm}^2$。
【答案】
$\boldsymbol{8}$
【知识点】
轴对称的性质，正方形的性质，面积计算
【点评】
本题解题的关键是利用轴对称的性质对不规则阴影部分的面积进行转化，将分散的阴影拼接为规则图形，简化了计算过程，体现了数学中的转化思想。
【难度系数】
0.7
2.如图，$△ ABC$和$△ A'B'C'$关于直线MN对称，并且$AB=5$，$BC=3$，则$A'C'$长度的取值范围是。
答案
解：
∵ $△ ABC$和$△ A'B'C'$关于直线$MN$对称，
∴ $△ ABC ≌ △ A'B'C'$，
∴ $A'C' = AC$。
在$△ ABC$中，由三角形三边关系可得：
$AB - BC ＜ AC ＜ AB + BC$，
∵ $AB=5$，$BC=3$，
∴ $5-3 ＜ AC ＜ 5+3$，
即$2 ＜ AC ＜ 8$，
∴ $2 ＜ A'C' ＜ 8$。
∵ $△ ABC$和$△ A'B'C'$关于直线$MN$对称，
∴ $△ ABC ≌ △ A'B'C'$，
∴ $A'C' = AC$。
在$△ ABC$中，由三角形三边关系可得：
$AB - BC ＜ AC ＜ AB + BC$，
∵ $AB=5$，$BC=3$，
∴ $5-3 ＜ AC ＜ 5+3$，
即$2 ＜ AC ＜ 8$，
∴ $2 ＜ A'C' ＜ 8$。
解析
【分析】
解题时首先从已知的“两个三角形关于直线MN对称”这一条件入手，根据轴对称的性质可推出两个三角形全等，因此对应边A'C'和AC长度相等，将求A'C'的取值范围转化为求△ABC中AC的取值范围。再结合三角形三边关系：三角形任意两边之差小于第三边，任意两边之和大于第三边，代入已知的AB、BC长度即可计算出AC的范围，最终得到A'C'的取值范围。
【解析】
∵ $△ ABC$和$△ A'B'C'$关于直线$MN$对称，
∴ $△ ABC ≌ △ A'B'C'$，
∴ $A'C' = AC$。
在$△ ABC$中，由三角形三边关系可得：
$AB - BC ＜ AC ＜ AB + BC$，
∵ $AB=5$，$BC=3$，
∴ $5-3 ＜ AC ＜ 5+3$，
即$2 ＜ AC ＜ 8$，
∴ $2 ＜ A'C' ＜ 8$。
【答案】
$2 ＜ A'C' ＜ 8$
【知识点】
轴对称的性质，三角形三边关系
【点评】
本题是基础的综合应用题，核心是利用轴对称的全等性质实现未知边和已知三角形边的转化，再结合三角形三边关系求解，解题思路清晰，难度较低。
【难度系数】
0.8
解题时首先从已知的“两个三角形关于直线MN对称”这一条件入手，根据轴对称的性质可推出两个三角形全等，因此对应边A'C'和AC长度相等，将求A'C'的取值范围转化为求△ABC中AC的取值范围。再结合三角形三边关系：三角形任意两边之差小于第三边，任意两边之和大于第三边，代入已知的AB、BC长度即可计算出AC的范围，最终得到A'C'的取值范围。
【解析】
∵ $△ ABC$和$△ A'B'C'$关于直线$MN$对称，
∴ $△ ABC ≌ △ A'B'C'$，
∴ $A'C' = AC$。
在$△ ABC$中，由三角形三边关系可得：
$AB - BC ＜ AC ＜ AB + BC$，
∵ $AB=5$，$BC=3$，
∴ $5-3 ＜ AC ＜ 5+3$，
即$2 ＜ AC ＜ 8$，
∴ $2 ＜ A'C' ＜ 8$。
【答案】
$2 ＜ A'C' ＜ 8$
【知识点】
轴对称的性质，三角形三边关系
【点评】
本题是基础的综合应用题，核心是利用轴对称的全等性质实现未知边和已知三角形边的转化，再结合三角形三边关系求解，解题思路清晰，难度较低。
【难度系数】
0.8
3.如图,在$△ ABC$中,点D是BC上的点,$∠ BAD = ∠ ABC = 40°$,将$△ ABD$沿着AD翻折得到$△ AED$,则$∠ CDE =$.
答案
$\boldsymbol{20°}$
解析
【分析】
解题时首先回忆翻折（轴对称）的性质：翻折前后对应角相等。首先利用三角形内角和定理计算△ABD中∠ADB的度数，再根据翻折性质得到∠ADE的度数，接着由平角的定义求出∠ADC的度数，最后用∠ADE减去∠ADC即可得到∠CDE的度数。
【解析】
在△ABD中，∠BAD=∠ABC=40°，根据三角形内角和为180°，可得：
$∠ ADB = 180° - ∠ BAD - ∠ ABC = 180° - 40° - 40° = 100°$
∵△ABD沿着AD翻折得到△AED
∴$∠ ADE = ∠ ADB = 100°$
∵点D在BC上，∠BDC为平角，即$∠ ADB + ∠ ADC = 180°$
∴$∠ ADC = 180° - ∠ ADB = 180° - 100° = 80°$
∴$∠ CDE = ∠ ADE - ∠ ADC = 100° - 80° = 20°$
【答案】
$\boldsymbol{20°}$
【知识点】
三角形内角和定理，轴对称的性质，平角的定义
【点评】
本题属于角度计算的基础题，解题的关键是明确翻折前后对应角相等，结合三角形内角和与平角的性质逐步推导角度即可。
【难度系数】
0.7
解题时首先回忆翻折（轴对称）的性质：翻折前后对应角相等。首先利用三角形内角和定理计算△ABD中∠ADB的度数，再根据翻折性质得到∠ADE的度数，接着由平角的定义求出∠ADC的度数，最后用∠ADE减去∠ADC即可得到∠CDE的度数。
【解析】
在△ABD中，∠BAD=∠ABC=40°，根据三角形内角和为180°，可得：
$∠ ADB = 180° - ∠ BAD - ∠ ABC = 180° - 40° - 40° = 100°$
∵△ABD沿着AD翻折得到△AED
∴$∠ ADE = ∠ ADB = 100°$
∵点D在BC上，∠BDC为平角，即$∠ ADB + ∠ ADC = 180°$
∴$∠ ADC = 180° - ∠ ADB = 180° - 100° = 80°$
∴$∠ CDE = ∠ ADE - ∠ ADC = 100° - 80° = 20°$
【答案】
$\boldsymbol{20°}$
【知识点】
三角形内角和定理，轴对称的性质，平角的定义
【点评】
本题属于角度计算的基础题，解题的关键是明确翻折前后对应角相等，结合三角形内角和与平角的性质逐步推导角度即可。
【难度系数】
0.7
4.下面四种化学仪器的示意图中是轴对称图形的是（）
答案
C
解析
【分析】
解题的核心依据是轴对称图形的定义：平面内沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合的图形为轴对称图形。我们只需逐个验证四个选项的仪器图形是否符合该定义即可：先判断是否存在这样的直线，再看折叠后两侧是否能完全重合，最终筛选出符合要求的选项。
【解析】
根据轴对称图形的定义逐一判断：
1. 选项A：导管存在弯折结构，找不到能让图形折叠后两侧完全重合的直线，不属于轴对称图形；
2. 选项B：烧杯一侧有尖嘴结构，左右部分不对称，折叠后无法重合，不属于轴对称图形；
3. 选项C：试剂瓶沿中间竖直直线折叠，左右两侧部分可以完全重合，属于轴对称图形；
4. 选项D：量筒的刻度仅标注在单侧，折叠后两侧无法重合，不属于轴对称图形。
综上，符合要求的是选项C。
【答案】
C
【知识点】
轴对称图形识别
【点评】
本题属于基础概念应用题，核心是对轴对称图形定义的理解，只要掌握定义逐个排查选项即可得出答案。
【难度系数】
0.9
解题的核心依据是轴对称图形的定义：平面内沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合的图形为轴对称图形。我们只需逐个验证四个选项的仪器图形是否符合该定义即可：先判断是否存在这样的直线，再看折叠后两侧是否能完全重合，最终筛选出符合要求的选项。
【解析】
根据轴对称图形的定义逐一判断：
1. 选项A：导管存在弯折结构，找不到能让图形折叠后两侧完全重合的直线，不属于轴对称图形；
2. 选项B：烧杯一侧有尖嘴结构，左右部分不对称，折叠后无法重合，不属于轴对称图形；
3. 选项C：试剂瓶沿中间竖直直线折叠，左右两侧部分可以完全重合，属于轴对称图形；
4. 选项D：量筒的刻度仅标注在单侧，折叠后两侧无法重合，不属于轴对称图形。
综上，符合要求的是选项C。
【答案】
C
【知识点】
轴对称图形识别
【点评】
本题属于基础概念应用题，核心是对轴对称图形定义的理解，只要掌握定义逐个排查选项即可得出答案。
【难度系数】
0.9
5.如图,是轴对称图形且只有两条对称轴的是（）
A.①② B.②③ C.②④ D.③④
A.①② B.②③ C.②④ D.③④答案
解：
图形①：是轴对称图形，仅有2条对称轴，符合要求；
图形②：是轴对称图形，仅有2条对称轴，符合要求；
图形③：是轴对称图形，共有4条对称轴，不符合要求；
图形④：不存在对称轴，不是轴对称图形，不符合要求。
综上，是轴对称图形且只有两条对称轴的是①②，答案选A。
图形①：是轴对称图形，仅有2条对称轴，符合要求；
图形②：是轴对称图形，仅有2条对称轴，符合要求；
图形③：是轴对称图形，共有4条对称轴，不符合要求；
图形④：不存在对称轴，不是轴对称图形，不符合要求。
综上，是轴对称图形且只有两条对称轴的是①②，答案选A。
解析
【分析】
解决本题首先要回忆轴对称图形及对称轴的定义：如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形，这条直线就是它的对称轴。解题时我们需要逐个分析4个图形，先判断是否为轴对称图形，再统计其对称轴的数量，最终选出只有两条对称轴的选项即可。
【解析】
我们逐个分析图形：
1. 图形①：沿水平中线、竖直中线折叠时，直线两旁的部分都能完全重合，是轴对称图形，共有2条对称轴，符合要求；
2. 图形②：沿竖直的分割直线、过内部长方形中点的水平直线折叠时，直线两旁的部分都能完全重合，是轴对称图形，共有2条对称轴，符合要求；
3. 图形③：内部为正方形，正方形有4条对称轴，因此整个图形共有4条对称轴，不符合“只有两条对称轴”的要求；
4. 图形④：找不到任意一条直线，使得沿直线折叠后图形两部分完全重合，因此它不是轴对称图形，不符合要求。
综上，符合要求的是①②，对应选项A。
【答案】
A
【知识点】
轴对称图形识别，对称轴计数
【点评】
本题属于基础类题目，核心考查轴对称图形的判断和对称轴数量的统计，解题时要注意组合图形的对称轴需要同时满足内外图形折叠后都重合，数对称轴时要避免漏数或多数。
【难度系数】
0.7
解决本题首先要回忆轴对称图形及对称轴的定义：如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形，这条直线就是它的对称轴。解题时我们需要逐个分析4个图形，先判断是否为轴对称图形，再统计其对称轴的数量，最终选出只有两条对称轴的选项即可。
【解析】
我们逐个分析图形：
1. 图形①：沿水平中线、竖直中线折叠时，直线两旁的部分都能完全重合，是轴对称图形，共有2条对称轴，符合要求；
2. 图形②：沿竖直的分割直线、过内部长方形中点的水平直线折叠时，直线两旁的部分都能完全重合，是轴对称图形，共有2条对称轴，符合要求；
3. 图形③：内部为正方形，正方形有4条对称轴，因此整个图形共有4条对称轴，不符合“只有两条对称轴”的要求；
4. 图形④：找不到任意一条直线，使得沿直线折叠后图形两部分完全重合，因此它不是轴对称图形，不符合要求。
综上，符合要求的是①②，对应选项A。
【答案】
A
【知识点】
轴对称图形识别，对称轴计数
【点评】
本题属于基础类题目，核心考查轴对称图形的判断和对称轴数量的统计，解题时要注意组合图形的对称轴需要同时满足内外图形折叠后都重合，数对称轴时要避免漏数或多数。
【难度系数】
0.7
6.如图，△ABC与△A'B'C'关于直线MN对称，BB'交MN于点O，则下列说法不正确的是（）
A.$AC=A'C'$
B.$BO=B'O$
C.$AA'⊥MN$
D.$AB// B'C'$
A.$AC=A'C'$
B.$BO=B'O$
C.$AA'⊥MN$
D.$AB// B'C'$
答案
D
解析
【分析】
要解决这道题，我们需要先回忆轴对称的核心性质，再逐一验证每个选项是否符合性质即可：首先，关于某条直线对称的两个图形全等，对应边、对应角都相等；其次，两个图形的对应点的连线被对称轴垂直平分，即对应点连线与对称轴垂直，且连线被对称轴分成相等的两段。我们利用这两个性质依次判断四个选项，找出说法错误的选项即可。
【解析】
根据轴对称的性质逐一分析选项：
1. 分析选项A：因为△ABC与△A'B'C'关于直线MN对称，所以△ABC≌△A'B'C'，全等三角形对应边相等，因此$AC=A'C'$，该说法正确，不符合题意。
2. 分析选项B：点B和点B'是关于直线MN的对应点，对称轴垂直平分对应点的连线，因此MN垂直平分$BB'$，可得$BO=B'O$，该说法正确，不符合题意。
3. 分析选项C：点A和点A'是关于直线MN的对应点，根据性质，对应点的连线与对称轴垂直，因此$AA'⊥MN$，该说法正确，不符合题意。
4. 分析选项D：AB是△ABC的边，$B'C'$是△A'B'C'的边，二者既不是对应边，也没有可证明平行的依据，不存在必然平行的关系，该说法错误，符合题意。
【答案】
D
【知识点】
轴对称的性质；全等三角形的性质；垂直平分线的性质
【点评】
本题是基础概念应用题，重点考查对轴对称性质的理解，只要熟练掌握轴对称中对应边、对应点连线的相关特征，就能快速判断出错误选项。
【难度系数】
0.8
要解决这道题，我们需要先回忆轴对称的核心性质，再逐一验证每个选项是否符合性质即可：首先，关于某条直线对称的两个图形全等，对应边、对应角都相等；其次，两个图形的对应点的连线被对称轴垂直平分，即对应点连线与对称轴垂直，且连线被对称轴分成相等的两段。我们利用这两个性质依次判断四个选项，找出说法错误的选项即可。
【解析】
根据轴对称的性质逐一分析选项：
1. 分析选项A：因为△ABC与△A'B'C'关于直线MN对称，所以△ABC≌△A'B'C'，全等三角形对应边相等，因此$AC=A'C'$，该说法正确，不符合题意。
2. 分析选项B：点B和点B'是关于直线MN的对应点，对称轴垂直平分对应点的连线，因此MN垂直平分$BB'$，可得$BO=B'O$，该说法正确，不符合题意。
3. 分析选项C：点A和点A'是关于直线MN的对应点，根据性质，对应点的连线与对称轴垂直，因此$AA'⊥MN$，该说法正确，不符合题意。
4. 分析选项D：AB是△ABC的边，$B'C'$是△A'B'C'的边，二者既不是对应边，也没有可证明平行的依据，不存在必然平行的关系，该说法错误，符合题意。
【答案】
D
【知识点】
轴对称的性质；全等三角形的性质；垂直平分线的性质
【点评】
本题是基础概念应用题，重点考查对轴对称性质的理解，只要熟练掌握轴对称中对应边、对应点连线的相关特征，就能快速判断出错误选项。
【难度系数】
0.8
7.如图,在$\mathrm{Rt}△ ABC$中,$∠ BAC=90°$,$∠ B=50°$,$AD⊥ BC$,垂足为$D$,$△ ADB$与$△ ADB'$关于直线$AD$对称,点$B$的对称点是点$B'$,
则$∠ CAB'$的度数为()
A.$10°$
B.$20°$
C.$30°$
D.$40°$
则$∠ CAB'$的度数为()
A.$10°$
B.$20°$
C.$30°$
D.$40°$
答案
A
解析
【分析】
解题时先根据直角三角形两锐角互余的性质求出∠C的度数，再利用轴对称的性质得出对应角∠AB'D=∠B，最后结合三角形外角的性质，即可求出∠CAB'的度数。
【解析】
解：
1. 在$\mathrm{Rt}△ABC$中，$∠ BAC=90°$，$∠ B=50°$，
根据直角三角形两锐角互余，得$∠ C=90°-∠ B=90°-50°=40°$。
2. 因为$△ADB$与$△ADB'$关于直线$AD$对称，根据轴对称的性质，对应角相等，所以$∠ AB'D=∠ B=50°$。
3. 因为$∠ AB'D$是$△AB'C$的外角，根据三角形外角的性质：三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和，可得$∠ AB'D=∠ C+∠ CAB'$，
则$∠ CAB'=∠ AB'D-∠ C=50°-40°=10°$。
【答案】
A
【知识点】
直角三角形的性质，轴对称的性质，三角形外角的性质
【点评】
本题属于基础题，综合考查了三角形和轴对称的相关性质，解题的关键是准确利用轴对称的性质得到对应角相等，再结合三角形的角度关系计算即可。
【难度系数】
0.8
解题时先根据直角三角形两锐角互余的性质求出∠C的度数，再利用轴对称的性质得出对应角∠AB'D=∠B，最后结合三角形外角的性质，即可求出∠CAB'的度数。
【解析】
解：
1. 在$\mathrm{Rt}△ABC$中，$∠ BAC=90°$，$∠ B=50°$，
根据直角三角形两锐角互余，得$∠ C=90°-∠ B=90°-50°=40°$。
2. 因为$△ADB$与$△ADB'$关于直线$AD$对称，根据轴对称的性质，对应角相等，所以$∠ AB'D=∠ B=50°$。
3. 因为$∠ AB'D$是$△AB'C$的外角，根据三角形外角的性质：三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和，可得$∠ AB'D=∠ C+∠ CAB'$，
则$∠ CAB'=∠ AB'D-∠ C=50°-40°=10°$。
【答案】
A
【知识点】
直角三角形的性质，轴对称的性质，三角形外角的性质
【点评】
本题属于基础题，综合考查了三角形和轴对称的相关性质，解题的关键是准确利用轴对称的性质得到对应角相等，再结合三角形的角度关系计算即可。
【难度系数】
0.8
