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8.图a和图b中所有的小正方形都全等，将图a的小正方形放在图b中的①②③④的某一位置，使它与原来7个小正方形组成的图形是轴对称图形，并且有两条对称轴，这个位置是（）
A.①
B.②
C.③
D.④
A.①
B.②
C.③
D.④
答案
A
解析
【分析】
解题时首先回忆轴对称图形和对称轴的定义：一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就是轴对称图形，这条直线是它的对称轴。题目要求添加小正方形后，组合图形是轴对称图形且有两条对称轴，我们可以采用逐一验证的方法，依次把小正方形放在①②③④四个位置，分别判断每个位置对应组合图形的对称轴数量，找到符合要求的选项。
【解析】
我们逐个分析四个位置：
1. 放在①的位置：组合后的图形沿竖直方向过中间列的直线折叠，左右两部分完全重合；沿水平方向过中间行的直线折叠，上下两部分完全重合，共有2条对称轴，符合题目要求。
2. 放在②的位置：组合后的图形仅存在1条斜向对称轴，不符合“两条对称轴”的要求。
3. 放在③的位置：组合后的图形仅存在1条斜向对称轴，不符合要求。
4. 放在④的位置：组合后的图形仅存在1条斜向对称轴，不符合要求。
因此符合要求的位置是①。
【答案】
A
【知识点】
轴对称图形的识别；对称轴的概念
【点评】
本题核心考查对轴对称图形的理解和判断，解题时注意不要漏看“有两条对称轴”的限制条件，通过逐一验证的方法即可快速得出答案，是轴对称性质应用的基础题型。
【难度系数】
0.7
解题时首先回忆轴对称图形和对称轴的定义：一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就是轴对称图形，这条直线是它的对称轴。题目要求添加小正方形后，组合图形是轴对称图形且有两条对称轴，我们可以采用逐一验证的方法，依次把小正方形放在①②③④四个位置，分别判断每个位置对应组合图形的对称轴数量，找到符合要求的选项。
【解析】
我们逐个分析四个位置：
1. 放在①的位置：组合后的图形沿竖直方向过中间列的直线折叠，左右两部分完全重合；沿水平方向过中间行的直线折叠，上下两部分完全重合，共有2条对称轴，符合题目要求。
2. 放在②的位置：组合后的图形仅存在1条斜向对称轴，不符合“两条对称轴”的要求。
3. 放在③的位置：组合后的图形仅存在1条斜向对称轴，不符合要求。
4. 放在④的位置：组合后的图形仅存在1条斜向对称轴，不符合要求。
因此符合要求的位置是①。
【答案】
A
【知识点】
轴对称图形的识别；对称轴的概念
【点评】
本题核心考查对轴对称图形的理解和判断，解题时注意不要漏看“有两条对称轴”的限制条件，通过逐一验证的方法即可快速得出答案，是轴对称性质应用的基础题型。
【难度系数】
0.7
9.图中所给图形分别为正三角形、正方形、正五边形、正六边形.
(1)分别说出它们各有几条对称轴；
(2)分别画出各图形的所有对称轴；
(3)通过你自己的作图与思考,你发现了哪些规律？试写出几条.
(1)分别说出它们各有几条对称轴；
(2)分别画出各图形的所有对称轴；
(3)通过你自己的作图与思考,你发现了哪些规律？试写出几条.
答案
解：
(1) 正三角形有3条对称轴，正方形有4条对称轴，正五边形有5条对称轴，正六边形有6条对称轴。
(2) 作图方法：
正三角形：分别过每个顶点和它所对边的中点作直线，共3条虚线，即为该图形的所有对称轴；
正方形：分别过两组对边的中点作直线，再过两组相对的顶点作直线，共4条虚线，即为该图形的所有对称轴；
正五边形：分别过每个顶点和它所对边的中点作直线，共5条虚线，即为该图形的所有对称轴；
正六边形：分别过三组相对的顶点作直线，再过三组对边的中点作直线，共6条虚线，即为该图形的所有对称轴。
(3) 规律：
① 正n边形的对称轴条数与它的边数相等，即正n边形共有n条对称轴；
② 正多边形的所有对称轴都相交于同一个点；
③ 边数为奇数的正多边形，每条对称轴都经过1个顶点和该顶点所对边的中点；
④ 边数为偶数的正多边形，一部分对称轴经过相对的两个顶点，另一部分对称轴经过两组对边的中点。
(1) 正三角形有3条对称轴，正方形有4条对称轴，正五边形有5条对称轴，正六边形有6条对称轴。
(2) 作图方法：
正三角形：分别过每个顶点和它所对边的中点作直线，共3条虚线，即为该图形的所有对称轴；
正方形：分别过两组对边的中点作直线，再过两组相对的顶点作直线，共4条虚线，即为该图形的所有对称轴；
正五边形：分别过每个顶点和它所对边的中点作直线，共5条虚线，即为该图形的所有对称轴；
正六边形：分别过三组相对的顶点作直线，再过三组对边的中点作直线，共6条虚线，即为该图形的所有对称轴。
(3) 规律：
① 正n边形的对称轴条数与它的边数相等，即正n边形共有n条对称轴；
② 正多边形的所有对称轴都相交于同一个点；
③ 边数为奇数的正多边形，每条对称轴都经过1个顶点和该顶点所对边的中点；
④ 边数为偶数的正多边形，一部分对称轴经过相对的两个顶点，另一部分对称轴经过两组对边的中点。
解析
【分析】
解题时先回忆轴对称图形及对称轴的定义：如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合，这条直线就是该图形的对称轴。针对三个小问依次思考：(1) 分别判断每个正多边形沿哪些直线折叠可完全重合，数出对应对称轴的数量；(2) 按照对称轴的位置特征，逐个画出对应正多边形的所有对称轴；(3) 观察正多边形边数和对称轴数量的关系、不同边数奇偶性的正多边形对称轴的位置特点，总结出对应规律即可。
【解析】
(1) 根据对称轴的判断方法，逐一分析各正多边形：正三角形沿过顶点和对边中点的直线折叠可完全重合，共3条符合要求的直线；正方形沿过对边中点的直线、过对角顶点的直线折叠都可完全重合，共4条符合要求的直线；正五边形沿过顶点和对边中点的直线折叠可完全重合，共5条符合要求的直线；正六边形沿过相对顶点的直线、过对边中点的直线折叠都可完全重合，共6条符合要求的直线。
(2) 各图形对称轴画法如下：
① 正三角形：分别过每个顶点和它所对边的中点作直线，共3条直线，即为该图形的所有对称轴；
② 正方形：分别过两组对边的中点作直线，再过两组相对的顶点作直线，共4条直线，即为该图形的所有对称轴；
③ 正五边形：分别过每个顶点和它所对边的中点作直线，共5条直线，即为该图形的所有对称轴；
④ 正六边形：分别过三组相对的顶点作直线，再过三组对边的中点作直线，共6条直线，即为该图形的所有对称轴。
(3) 结合对称轴数量和位置特征，可总结规律：正多边形对称轴数量和边数相关，且边数的奇偶性会影响对称轴的位置特征，所有正多边形的对称轴都交于同一点。
【答案】
(1) 正三角形有3条对称轴，正方形有4条对称轴，正五边形有5条对称轴，正六边形有6条对称轴。
(2) 作图方法：正三角形：分别过每个顶点和它所对边的中点作直线，共3条虚线，即为该图形的所有对称轴；正方形：分别过两组对边的中点作直线，再过两组相对的顶点作直线，共4条虚线，即为该图形的所有对称轴；正五边形：分别过每个顶点和它所对边的中点作直线，共5条虚线，即为该图形的所有对称轴；正六边形：分别过三组相对的顶点作直线，再过三组对边的中点作直线，共6条虚线，即为该图形的所有对称轴。
(3) 规律：① 正n边形的对称轴条数与它的边数相等，即正n边形共有n条对称轴；② 正多边形的所有对称轴都相交于同一个点；③ 边数为奇数的正多边形，每条对称轴都经过1个顶点和该顶点所对边的中点；④ 边数为偶数的正多边形，一部分对称轴经过相对的两个顶点，另一部分对称轴经过两组对边的中点。
【知识点】
轴对称图形，对称轴，正多边形的性质
【点评】
本题围绕正多边形的对称轴展开考察，既需要掌握对称轴的判断和画法，也需要通过观察归纳总结规律，能有效锻炼动手操作能力和归纳总结能力，属于基础类题目。
【难度系数】
0.8
解题时先回忆轴对称图形及对称轴的定义：如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合，这条直线就是该图形的对称轴。针对三个小问依次思考：(1) 分别判断每个正多边形沿哪些直线折叠可完全重合，数出对应对称轴的数量；(2) 按照对称轴的位置特征，逐个画出对应正多边形的所有对称轴；(3) 观察正多边形边数和对称轴数量的关系、不同边数奇偶性的正多边形对称轴的位置特点，总结出对应规律即可。
【解析】
(1) 根据对称轴的判断方法，逐一分析各正多边形：正三角形沿过顶点和对边中点的直线折叠可完全重合，共3条符合要求的直线；正方形沿过对边中点的直线、过对角顶点的直线折叠都可完全重合，共4条符合要求的直线；正五边形沿过顶点和对边中点的直线折叠可完全重合，共5条符合要求的直线；正六边形沿过相对顶点的直线、过对边中点的直线折叠都可完全重合，共6条符合要求的直线。
(2) 各图形对称轴画法如下：
① 正三角形：分别过每个顶点和它所对边的中点作直线，共3条直线，即为该图形的所有对称轴；
② 正方形：分别过两组对边的中点作直线，再过两组相对的顶点作直线，共4条直线，即为该图形的所有对称轴；
③ 正五边形：分别过每个顶点和它所对边的中点作直线，共5条直线，即为该图形的所有对称轴；
④ 正六边形：分别过三组相对的顶点作直线，再过三组对边的中点作直线，共6条直线，即为该图形的所有对称轴。
(3) 结合对称轴数量和位置特征，可总结规律：正多边形对称轴数量和边数相关，且边数的奇偶性会影响对称轴的位置特征，所有正多边形的对称轴都交于同一点。
【答案】
(1) 正三角形有3条对称轴，正方形有4条对称轴，正五边形有5条对称轴，正六边形有6条对称轴。
(2) 作图方法：正三角形：分别过每个顶点和它所对边的中点作直线，共3条虚线，即为该图形的所有对称轴；正方形：分别过两组对边的中点作直线，再过两组相对的顶点作直线，共4条虚线，即为该图形的所有对称轴；正五边形：分别过每个顶点和它所对边的中点作直线，共5条虚线，即为该图形的所有对称轴；正六边形：分别过三组相对的顶点作直线，再过三组对边的中点作直线，共6条虚线，即为该图形的所有对称轴。
(3) 规律：① 正n边形的对称轴条数与它的边数相等，即正n边形共有n条对称轴；② 正多边形的所有对称轴都相交于同一个点；③ 边数为奇数的正多边形，每条对称轴都经过1个顶点和该顶点所对边的中点；④ 边数为偶数的正多边形，一部分对称轴经过相对的两个顶点，另一部分对称轴经过两组对边的中点。
【知识点】
轴对称图形，对称轴，正多边形的性质
【点评】
本题围绕正多边形的对称轴展开考察，既需要掌握对称轴的判断和画法，也需要通过观察归纳总结规律，能有效锻炼动手操作能力和归纳总结能力，属于基础类题目。
【难度系数】
0.8
10.如图，$△ ABC$与$△ ADE$关于直线$MN$对称，$BC$与$DE$的交点$F$在直线$MN$上.若$ED=8$，$FC=2$，$∠ BAC=75°$，$∠ EAC=56°$.
(1)求$BF$的长度；
(2)求$∠ CAD$的度数.
(1)求$BF$的长度；
(2)求$∠ CAD$的度数.
答案
解：
(1) ∵ △ABC与△ADE关于直线MN对称，
∴ BC = ED = 8，
∴ BF = BC - FC = 8 - 2 = 6。
(2) ∵ △ABC与△ADE关于直线MN对称，
∴ ∠DAE = ∠BAC = 75°，
∴ ∠CAD = ∠DAE - ∠EAC = 75° - 56° = 19°。
综上，BF的长度为6，∠CAD的度数为19°。
(1) ∵ △ABC与△ADE关于直线MN对称，
∴ BC = ED = 8，
∴ BF = BC - FC = 8 - 2 = 6。
(2) ∵ △ABC与△ADE关于直线MN对称，
∴ ∠DAE = ∠BAC = 75°，
∴ ∠CAD = ∠DAE - ∠EAC = 75° - 56° = 19°。
综上，BF的长度为6，∠CAD的度数为19°。
解析
【分析】
(1) 求BF长度时，首先结合题干中两个三角形关于直线MN对称的条件，想到利用轴对称的性质：成轴对称的两个图形对应边相等，可得到BC和ED相等，求出BC的长度后，再根据线段的和差关系，用BC的长度减去FC的长度就能得到BF的长度。
(2) 求∠CAD的度数时，同样利用轴对称的性质：成轴对称的两个图形对应角相等，可得到∠DAE和∠BAC相等，再观察角的组成关系，∠CAD等于∠DAE减去∠EAC，代入已知角度数值即可求出结果。
【解析】
(1)
∵ △ABC与△ADE关于直线MN对称，
∴ 对应边相等，即$BC = ED = 8$，
∵ 点F在BC上，$FC=2$，
∴ $BF = BC - FC = 8 - 2 = 6$。
(2)
∵ △ABC与△ADE关于直线MN对称，
∴ 对应角相等，即$∠DAE = ∠BAC = 75°$，
∵ $∠EAC=56°$，
∴ $∠CAD = ∠DAE - ∠EAC = 75° - 56° = 19°$。
【答案】
BF的长度为6，∠CAD的度数为19°
【知识点】
轴对称的性质，线段和差计算，角度和差计算
【点评】
本题属于轴对称性质的基础应用题，解题关键是准确识别成轴对称图形的对应边和对应角，结合已知条件做简单的和差运算即可求解，掌握轴对称的基本性质就能顺利解答。
【难度系数】
0.8
(1) 求BF长度时，首先结合题干中两个三角形关于直线MN对称的条件，想到利用轴对称的性质：成轴对称的两个图形对应边相等，可得到BC和ED相等，求出BC的长度后，再根据线段的和差关系，用BC的长度减去FC的长度就能得到BF的长度。
(2) 求∠CAD的度数时，同样利用轴对称的性质：成轴对称的两个图形对应角相等，可得到∠DAE和∠BAC相等，再观察角的组成关系，∠CAD等于∠DAE减去∠EAC，代入已知角度数值即可求出结果。
【解析】
(1)
∵ △ABC与△ADE关于直线MN对称，
∴ 对应边相等，即$BC = ED = 8$，
∵ 点F在BC上，$FC=2$，
∴ $BF = BC - FC = 8 - 2 = 6$。
(2)
∵ △ABC与△ADE关于直线MN对称，
∴ 对应角相等，即$∠DAE = ∠BAC = 75°$，
∵ $∠EAC=56°$，
∴ $∠CAD = ∠DAE - ∠EAC = 75° - 56° = 19°$。
【答案】
BF的长度为6，∠CAD的度数为19°
【知识点】
轴对称的性质，线段和差计算，角度和差计算
【点评】
本题属于轴对称性质的基础应用题，解题关键是准确识别成轴对称图形的对应边和对应角，结合已知条件做简单的和差运算即可求解，掌握轴对称的基本性质就能顺利解答。
【难度系数】
0.8
11.如图，直线$l_1$，$l_2$相交于点O，点P关于$l_1$，$l_2$的对称点分别为$P_1$，$P_2$。
(1)若$l_1$，$l_2$相交所成的锐角$∠ AOB=60°$，则$∠ P_1OP_2=$；
(2)若$OP=3$，$P_1P_2=5$，求$△ P_1OP_2$的周长。
(1)若$l_1$，$l_2$相交所成的锐角$∠ AOB=60°$，则$∠ P_1OP_2=$；
(2)若$OP=3$，$P_1P_2=5$，求$△ P_1OP_2$的周长。
答案
(1) $\boldsymbol{120°}$；(2) $△ P_1OP_2$的周长为$\boldsymbol{11}$。
解析
【分析】
解题时需结合轴对称的性质推导边角关系：
1. 解决第(1)问：先根据轴对称的性质，可知对称轴分别平分点P和两个对称点与点O形成的夹角，得到两组相等的角，再结合已知∠AOB的度数，通过角的和差关系即可求出∠P₁OP₂的度数。
2. 解决第(2)问：根据轴对称的性质可得OP₁、OP₂都和OP长度相等，再结合已知的OP和P₁P₂的长度，将三角形三边相加即可求出周长。
【解析】
(1)
∵点P关于$l_1$的对称点为$P_1$，
∴$l_1$平分$∠POP_1$，即$∠P_1OA=∠AOP$；
∵点P关于$l_2$的对称点为$P_2$，
∴$l_2$平分$∠POP_2$，即$∠P_2OB=∠BOP$。
已知$∠AOB=∠AOP+∠BOP=60°$，
∴$∠P_1OP_2=∠P_1OA+∠AOP+∠BOP+∠P_2OB=2(∠AOP+∠BOP)=2×60°=120°$。
(2) 由轴对称的性质可知：对称轴上的点到两个对称点的距离相等，
∴$OP_1=OP$，$OP_2=OP$，
∵$OP=3$，
∴$OP_1=OP_2=3$，
又
∵$P_1P_2=5$，
∴$△ P_1OP_2$的周长为$OP_1+OP_2+P_1P_2=3+3+5=11$。
【答案】
(1) $\boldsymbol{120°}$；(2) $\boldsymbol{11}$
【知识点】
轴对称的性质；角的运算；三角形周长计算
【点评】
本题是轴对称性质的基础应用题型，核心是通过轴对称性质得到对应角相等、对应线段相等，只要掌握轴对称的基本性质就能快速解题。
【难度系数】
0.85
解题时需结合轴对称的性质推导边角关系：
1. 解决第(1)问：先根据轴对称的性质，可知对称轴分别平分点P和两个对称点与点O形成的夹角，得到两组相等的角，再结合已知∠AOB的度数，通过角的和差关系即可求出∠P₁OP₂的度数。
2. 解决第(2)问：根据轴对称的性质可得OP₁、OP₂都和OP长度相等，再结合已知的OP和P₁P₂的长度，将三角形三边相加即可求出周长。
【解析】
(1)
∵点P关于$l_1$的对称点为$P_1$，
∴$l_1$平分$∠POP_1$，即$∠P_1OA=∠AOP$；
∵点P关于$l_2$的对称点为$P_2$，
∴$l_2$平分$∠POP_2$，即$∠P_2OB=∠BOP$。
已知$∠AOB=∠AOP+∠BOP=60°$，
∴$∠P_1OP_2=∠P_1OA+∠AOP+∠BOP+∠P_2OB=2(∠AOP+∠BOP)=2×60°=120°$。
(2) 由轴对称的性质可知：对称轴上的点到两个对称点的距离相等，
∴$OP_1=OP$，$OP_2=OP$，
∵$OP=3$，
∴$OP_1=OP_2=3$，
又
∵$P_1P_2=5$，
∴$△ P_1OP_2$的周长为$OP_1+OP_2+P_1P_2=3+3+5=11$。
【答案】
(1) $\boldsymbol{120°}$；(2) $\boldsymbol{11}$
【知识点】
轴对称的性质；角的运算；三角形周长计算
【点评】
本题是轴对称性质的基础应用题型，核心是通过轴对称性质得到对应角相等、对应线段相等，只要掌握轴对称的基本性质就能快速解题。
【难度系数】
0.85
12.如图,将长方形纸片ABCD沿EF折叠,使点A与点C重合,点D落在点G处,EF为折痕.
(1)求证:$△ FGC ≌ △ EBC$;
(2)若$AB=8$,$AD=4$,求四边形ECGF(阴影部分)的面积.
(1)求证:$△ FGC ≌ △ EBC$;
(2)若$AB=8$,$AD=4$,求四边形ECGF(阴影部分)的面积.
答案
(1) 证明：
∵ 四边形ABCD是长方形，
∴ $AD=BC$，$∠ D=∠ B=90°$，$AB// CD$，$∠ BCD=90°$。
由折叠的性质得：$CG=AD$，$∠ G=∠ D=90°$，$∠ ECG=∠ A=90°$，
∴ $CG=BC$，$∠ G=∠ B=90°$，$∠ ECG=∠ BCD=90°$，
∴ $∠ GCF + ∠ ECF = ∠ BCE + ∠ ECF = 90°$，
即 $∠ GCF=∠ BCE$。
在$△ FGC$和$△ EBC$中，
$\begin{cases}∠ G=∠ B \\CG=CB \\∠ GCF=∠ BCE\end{cases}$
∴ $△ FGC ≌ △ EBC(\mathrm{ASA})$。
---
(2) 解：
由折叠的性质可知，$S_{\mathrm{四边形}ECGF}=S_{\mathrm{四边形}EADF}$。
由(1)得$△ FGC ≌ △ EBC$，因此$S_{△ FGC}=S_{△ EBC}$，
∴ $S_{\mathrm{四边形}ECGF}=S_{△ EFC}+S_{△ FGC}=S_{△ EFC}+S_{△ EBC}=S_{\mathrm{四边形}EBCF}$，
即 $S_{\mathrm{四边形}EADF}=S_{\mathrm{四边形}EBCF}$。
∵ $S_{\mathrm{四边形}EADF}+S_{\mathrm{四边形}EBCF}=S_{\mathrm{长方形}ABCD}=AB· AD=8×4=32$，
∴ $S_{\mathrm{四边形}ECGF}=\frac{1}{2}×32=16$。
答：四边形ECGF的面积为16。
∵ 四边形ABCD是长方形，
∴ $AD=BC$，$∠ D=∠ B=90°$，$AB// CD$，$∠ BCD=90°$。
由折叠的性质得：$CG=AD$，$∠ G=∠ D=90°$，$∠ ECG=∠ A=90°$，
∴ $CG=BC$，$∠ G=∠ B=90°$，$∠ ECG=∠ BCD=90°$，
∴ $∠ GCF + ∠ ECF = ∠ BCE + ∠ ECF = 90°$，
即 $∠ GCF=∠ BCE$。
在$△ FGC$和$△ EBC$中，
$\begin{cases}∠ G=∠ B \\CG=CB \\∠ GCF=∠ BCE\end{cases}$
∴ $△ FGC ≌ △ EBC(\mathrm{ASA})$。
---
(2) 解：
由折叠的性质可知，$S_{\mathrm{四边形}ECGF}=S_{\mathrm{四边形}EADF}$。
由(1)得$△ FGC ≌ △ EBC$，因此$S_{△ FGC}=S_{△ EBC}$，
∴ $S_{\mathrm{四边形}ECGF}=S_{△ EFC}+S_{△ FGC}=S_{△ EFC}+S_{△ EBC}=S_{\mathrm{四边形}EBCF}$，
即 $S_{\mathrm{四边形}EADF}=S_{\mathrm{四边形}EBCF}$。
∵ $S_{\mathrm{四边形}EADF}+S_{\mathrm{四边形}EBCF}=S_{\mathrm{长方形}ABCD}=AB· AD=8×4=32$，
∴ $S_{\mathrm{四边形}ECGF}=\frac{1}{2}×32=16$。
答：四边形ECGF的面积为16。
解析
【分析】
（1）证明三角形全等需先找到对应边、角相等的条件：首先根据长方形性质可得AD=BC、∠D=∠B=∠BCD=90°，再结合折叠的性质，可得CG=AD、∠G=∠D=∠ECG=90°，由此推出CG=BC、∠G=∠B；再根据∠ECG和∠BCD都是直角，同时减去公共角∠ECF，可得∠GCF=∠BCE，满足ASA全等判定的三个条件，即可证明两三角形全等。
（2）计算阴影部分面积时，直接求解各边长度计算面积步骤繁琐，可利用面积转化法：首先由折叠性质可知阴影部分面积与原四边形EADF面积相等，再结合（1）的全等结论可知△FGC和△EBC面积相等，可推导出阴影部分面积也等于四边形EBCF的面积，因此阴影面积是长方形ABCD面积的一半，代入长方形的长宽即可求出结果。
【解析】
(1) 证明：
∵ 四边形ABCD是长方形，
∴ $AD=BC$，$∠ D=∠ B=90°$，$AB// CD$，$∠ BCD=90°$。
由折叠的性质得：$CG=AD$，$∠ G=∠ D=90°$，$∠ ECG=∠ A=90°$，
∴ $CG=BC$，$∠ G=∠ B=90°$，$∠ ECG=∠ BCD=90°$，
∴ $∠ GCF + ∠ ECF = ∠ BCE + ∠ ECF = 90°$，
即 $∠ GCF=∠ BCE$。
在$△ FGC$和$△ EBC$中，
$\begin{cases}∠ G=∠ B \\CG=CB \\∠ GCF=∠ BCE\end{cases}$
∴ $△ FGC ≌ △ EBC(\mathrm{ASA})$。
(2) 解：
由折叠的性质可知，$S_{\mathrm{四边形}ECGF}=S_{\mathrm{四边形}EADF}$。
由(1)得$△ FGC ≌ △ EBC$，因此$S_{△ FGC}=S_{△ EBC}$，
∴ $S_{\mathrm{四边形}ECGF}=S_{△ EFC}+S_{△ FGC}=S_{△ EFC}+S_{△ EBC}=S_{\mathrm{四边形}EBCF}$，
即 $S_{\mathrm{四边形}EADF}=S_{\mathrm{四边形}EBCF}$。
∵ $S_{\mathrm{四边形}EADF}+S_{\mathrm{四边形}EBCF}=S_{\mathrm{长方形}ABCD}=AB· AD=8×4=32$，
∴ $S_{\mathrm{四边形}ECGF}=\frac{1}{2}×32=16$。
【答案】
(1) △FGC≌△EBC得证；(2) 16
【知识点】
矩形的性质；折叠的性质；全等三角形的判定
【点评】
本题将矩形、折叠变换和全等三角形的知识结合考查，第二问采用面积转化的思路，无需计算复杂的边长即可快速得到结果，能够有效检验学生的几何综合分析能力和转化思维的运用。
【难度系数】
0.7
（1）证明三角形全等需先找到对应边、角相等的条件：首先根据长方形性质可得AD=BC、∠D=∠B=∠BCD=90°，再结合折叠的性质，可得CG=AD、∠G=∠D=∠ECG=90°，由此推出CG=BC、∠G=∠B；再根据∠ECG和∠BCD都是直角，同时减去公共角∠ECF，可得∠GCF=∠BCE，满足ASA全等判定的三个条件，即可证明两三角形全等。
（2）计算阴影部分面积时，直接求解各边长度计算面积步骤繁琐，可利用面积转化法：首先由折叠性质可知阴影部分面积与原四边形EADF面积相等，再结合（1）的全等结论可知△FGC和△EBC面积相等，可推导出阴影部分面积也等于四边形EBCF的面积，因此阴影面积是长方形ABCD面积的一半，代入长方形的长宽即可求出结果。
【解析】
(1) 证明：
∵ 四边形ABCD是长方形，
∴ $AD=BC$，$∠ D=∠ B=90°$，$AB// CD$，$∠ BCD=90°$。
由折叠的性质得：$CG=AD$，$∠ G=∠ D=90°$，$∠ ECG=∠ A=90°$，
∴ $CG=BC$，$∠ G=∠ B=90°$，$∠ ECG=∠ BCD=90°$，
∴ $∠ GCF + ∠ ECF = ∠ BCE + ∠ ECF = 90°$，
即 $∠ GCF=∠ BCE$。
在$△ FGC$和$△ EBC$中，
$\begin{cases}∠ G=∠ B \\CG=CB \\∠ GCF=∠ BCE\end{cases}$
∴ $△ FGC ≌ △ EBC(\mathrm{ASA})$。
(2) 解：
由折叠的性质可知，$S_{\mathrm{四边形}ECGF}=S_{\mathrm{四边形}EADF}$。
由(1)得$△ FGC ≌ △ EBC$，因此$S_{△ FGC}=S_{△ EBC}$，
∴ $S_{\mathrm{四边形}ECGF}=S_{△ EFC}+S_{△ FGC}=S_{△ EFC}+S_{△ EBC}=S_{\mathrm{四边形}EBCF}$，
即 $S_{\mathrm{四边形}EADF}=S_{\mathrm{四边形}EBCF}$。
∵ $S_{\mathrm{四边形}EADF}+S_{\mathrm{四边形}EBCF}=S_{\mathrm{长方形}ABCD}=AB· AD=8×4=32$，
∴ $S_{\mathrm{四边形}ECGF}=\frac{1}{2}×32=16$。
【答案】
(1) △FGC≌△EBC得证；(2) 16
【知识点】
矩形的性质；折叠的性质；全等三角形的判定
【点评】
本题将矩形、折叠变换和全等三角形的知识结合考查，第二问采用面积转化的思路，无需计算复杂的边长即可快速得到结果，能够有效检验学生的几何综合分析能力和转化思维的运用。
【难度系数】
0.7
