1. 如图1,在$△ ABC$中,已知$AC=27$,$AB$边的垂直平分线交$AB$于点$D$,交$AC$于点$E$,若$△ BCE$的周长等于45,则$BC$的长为()

A.33
B.28
C.18
D.13

C

【分析】
解决本题的核心是运用线段垂直平分线的性质进行边的等量转化。首先回忆线段垂直平分线的性质：线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等，由此可得BE=AE；再观察△BCE的周长组成：BE+EC+BC，将BE替换为AE后，AE+EC恰好等于AC，因此△BCE的周长可转化为AC+BC，最后代入已知的AC长度和周长数值，即可求出BC的长。
【解析】
解：
∵DE是AB的垂直平分线，点E在DE上，
∴根据线段垂直平分线的性质，可得BE=AE。
∵△BCE的周长为45，
∴BE+EC+BC=45，
将BE=AE代入上式，得：AE+EC+BC=45，
又
∵AE+EC=AC=27，
∴27+BC=45，
解得BC=45-27=18。
【答案】
C
【知识点】
1.线段垂直平分线的性质；2.三角形周长计算
【点评】
本题是基础几何应用题，解题的关键是利用线段垂直平分线的性质实现边的等量转化，将未知三角形周长与已知线段长度建立关联，即可快速算出结果，这类题型是垂直平分线性质的典型应用，需要熟练掌握。
【难度系数】
0.8

2. 如图2,在△ABC中,AB=AC,∠A=36°,AB的中垂线DE交AC于D,交AB于E,下述结论中错误的是()

A.BD平分∠ABC
B.点D是线段AC的中点
C.AD=BD=BC
D.△BDC的周长等于AB+BC

B

【分析】
解题时首先利用等腰三角形内角和性质算出△ABC的底角度数，再结合线段垂直平分线上的点到线段两端距离相等的性质，推导出AD=BD，进而得到相关角的度数，最后逐一验证每个选项的结论是否正确，找出错误选项。
【解析】
已知在△ABC中，AB=AC，∠A=36°，根据等腰三角形两底角相等：
$∠ ABC=∠ C=\frac{180°-36°}{2}=72°$。
∵DE是AB的中垂线，根据中垂线性质，得$AD=BD$，
∴$∠ ABD=∠ A=36°$，
∴$∠ DBC=∠ ABC-∠ ABD=72°-36°=36°=∠ ABD$，即BD平分$∠ ABC$，故A选项结论正确，不符合题意；
在△BDC中，$∠ BDC=180°-∠ DBC-∠ C=180°-36°-72°=72°=∠ C$，
∴$BD=BC$，结合$AD=BD$，可得$AD=BD=BC$，故C选项结论正确，不符合题意；
∵$AD=BC≠ DC$（$∠ DBC=36°≠∠ C=72°$，故$BC≠ DC$），即$AD≠ DC$，
∴点D不是AC的中点，故B选项结论错误，符合题意；
△BDC的周长$=BD+DC+BC$，将BD替换为AD，得周长$=AD+DC+BC=AC+BC$，又
∵$AC=AB$，
∴周长$=AB+BC$，故D选项结论正确，不符合题意。
【答案】
B
【知识点】
等腰三角形的性质；线段垂直平分线的性质
【点评】
本题将线段垂直平分线性质和等腰三角形性质结合考查，需要通过角度推导判断线段的等量关系，解题时注意逐步推导各角的度数，再结合边角关系验证结论，是三角形章节的典型基础题。
【难度系数】
0.7

1. 如图3，AB=AC，∠BAC=120°，AB的垂直平分线交BC于点D，则∠ADC=。

$\boldsymbol{60°}$

【分析】
解题思路可分三步梳理：首先看到AB=AC，可知△ABC是等腰三角形，结合已知顶角∠BAC的度数，可利用等腰三角形性质和三角形内角和算出底角∠B的度数；其次看到AB的垂直平分线交BC于D，根据线段垂直平分线的性质可得到AD=BD，进而推出∠BAD=∠B；最后∠ADC是△ABD的外角，利用三角形外角的性质就能求出∠ADC的度数。
【解析】
解：在△ABC中，
∵AB=AC，∠BAC=120°，
∴∠B=∠C=(180°-∠BAC)÷2=(180°-120°)÷2=30°，
∵点D在AB的垂直平分线上，
∴AD=BD，
∴∠BAD=∠B=30°，
又
∵∠ADC是△ABD的外角，
∴∠ADC=∠B+∠BAD=30°+30°=60°。
【答案】
$\boldsymbol{60°}$
【知识点】
等腰三角形的性质；线段垂直平分线的性质；三角形外角的性质
【点评】
本题是基础类综合题，整合了等腰三角形、线段垂直平分线、三角形外角的核心性质进行考查，解题的关键是准确识别图形特征，找到角之间的等量关系完成计算，是几何部分的常考题型。
【难度系数】
0.8

2*. 如图4,在$△ ABC$中,BC边上的垂直平分线DE交BC于点D,交AB于点E. 若$△ ACE$的周长为21,$AB=13$,则线段AC的长为.

$\boldsymbol{8}$

【分析】
解题时首先回忆线段垂直平分线的性质：线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等。观察图形可知点E在BC的垂直平分线DE上，因此可得EB=EC。再分析△ACE的周长，其周长为AE+EC+AC，将EC替换为EB后，AE+EB正好是AB的长度，因此△ACE的周长可转化为AB+AC，已知周长和AB的长度，代入即可求出AC的长。
【解析】
∵DE是BC边上的垂直平分线，点E在DE上
∴EB=EC（线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等）
∵△ACE的周长为21
∴$AE + EC + AC = 21$
将$EC=EB$代入上式得：$AE + EB + AC = 21$
又
∵$AE + EB = AB$，且$AB=13$
∴$13 + AC = 21$
解得$AC = 21 - 13 = 8$
【答案】
$\boldsymbol{8}$
【知识点】
1. 线段垂直平分线的性质
2. 等量代换
【点评】
本题属于基础类题目，解题的核心是熟练掌握线段垂直平分线的性质，通过线段等量代换将未知三角形周长转化为已知线段与待求线段的和，即可快速求解，是线段垂直平分线性质的典型应用题型。
【难度系数】
0.8

3*. 在$△ ABC$中，$AB=AC$，$AB$的垂直平分线与$AC$所在的直线相交所得的锐角为$50°$，则$∠ B$等于。

解：分两种情况讨论：
1. 当AB的垂直平分线与线段AC相交时，设交点为E，垂直平分线交AB于点D。
∵ DE是AB的垂直平分线，
∴ ∠ADE=90°，
由题意得∠AED=50°，
∴ ∠A = 90° - 50° = 40°。
又∵ AB=AC，
∴ ∠B = ∠C = $\frac{180° - ∠ A}{2}$ = $\frac{180° - 40°}{2}$ = 70°。
2. 当AB的垂直平分线与CA的延长线相交时，设交点为E，垂直平分线交AB于点D。
∵ DE是AB的垂直平分线，
∴ ∠ADE=90°，
由题意得∠AED=50°，
∴ ∠EAD = 90° - 50° = 40°，
∴ ∠BAC = 180° - ∠EAD = 140°。
又∵ AB=AC，
∴ ∠B = ∠C = $\frac{180° - ∠ BAC}{2}$ = $\frac{180° - 140°}{2}$ = 20°。
综上，∠B等于70°或20°。

【分析】
本题是等腰三角形与线段垂直平分线的结合题型，解题需用到分类讨论思想：题干明确AB的垂直平分线与“AC所在的直线”相交，并非仅与线段AC相交，因此存在两种情形：①交点在线段AC上，此时△ABC为锐角三角形；②交点在CA的延长线上，此时△ABC为钝角三角形。两种情形下先结合垂直平分线的直角与已知的50°锐角求出顶角∠BAC的度数，再利用等腰三角形两底角相等、三角形内角和为180°即可求出∠B的度数。
【解析】
分两种情况讨论：
1. 当AB的垂直平分线与线段AC相交时，设交点为E，垂直平分线交AB于点D。
∵ DE是AB的垂直平分线，
∴ ∠ADE=90°，
由题意得∠AED=50°，
∴ ∠A = 90° - 50° = 40°。
又
∵ AB=AC，
∴ ∠B = ∠C = $\frac{180° - ∠ A}{2}$ = $\frac{180° - 40°}{2}$ = 70°。
2. 当AB的垂直平分线与CA的延长线相交时，设交点为E，垂直平分线交AB于点D。
∵ DE是AB的垂直平分线，
∴ ∠ADE=90°，
由题意得∠AED=50°，
∴ ∠EAD = 90° - 50° = 40°，
∴ ∠BAC = 180° - ∠EAD = 140°。
又
∵ AB=AC，
∴ ∠B = ∠C = $\frac{180° - ∠ BAC}{2}$ = $\frac{180° - 140°}{2}$ = 20°。
综上，∠B等于70°或20°。
【答案】
70°或20°
【知识点】
等腰三角形的性质，线段垂直平分线的性质，三角形内角和定理
【点评】
本题的易错点是忽略交点在CA延长线的情况，解题时需注意题干中“所在直线”的表述，全面考虑所有可能的相交情形，培养分类讨论的几何思维。
【难度系数】
0.6

三、解答题
如图5,在$Rt△ ABC$中,$∠ ABC=90°$,点D在BC的延长线上,且$BD=AB$,过点B作$BE⊥ AC$,与BD的垂线DE交于点E.
(1)求证:$△ ABC≌△ BDE$;
(2)$△ BDE$可由$△ ABC$旋转得到,利用尺规作出旋转中心O.
(保留作图痕迹,不写作法)

【拓展思考】
“三等分角”是两千多年来数学史上最著名的古典四大问题之一,阿基米德等数学家通过巧妙的几何作图得到了解决“三等分角”问题的特例方法.某数学兴趣小组通过折纸与尺规作图相结合的方法探究“三等分锐角”问题的解法,解决过程如下:
操作步骤与演示图形
如图①,已知一个由正方形纸片的边PK与经过顶点P的直线$l_1$构成的锐角$α$,按照以下步骤进行操作:
任意折出一条水平折痕$l_2$,$l_2$与纸片左边交点为Q;再折叠将PK与$l_2$重合得到折痕$l_3$,$l_3$与纸片左边交点为N,如图② → 折叠使点Q,P分别落在$l_1$和$l_3$上,得到折痕m,对应点为$Q'$,$P'$,m交$l_3$于M,如图③④ → 保持纸片折叠,再沿MN折叠,得到折痕$l_4$的一部分,如图⑤ → 将纸片展开,再沿$l_4$折叠得到经过点P的完整折痕$l_4$,如图⑥ → 将纸片折叠使边PK与$l_4$重合,折痕为$l_5$.则直线$l_4$和$l_5$就是锐角$α$的三等分线,如图⑦⑧

① ② ③ ④ ⑤ ⑥ ⑦ ⑧
解决问题
(1)请依据操作步骤与演示图形,通过尺规作图完成以下两个作图任务:(保留作图痕迹.不写作法)
任务一:在图③中,利用已给定的点$Q'$作出点$P'$;
任务二:在图⑥中作出折痕$l_5$.
(2)若锐角$α$为$75°$,则图⑤中$l_2$与$l_4$相交所成的锐角是.

第一题解答
证明：(1)
∵ $∠ ABC=90°$，$BE⊥ AC$，
∴ $∠ A + ∠ ACB = 90°$，$∠ DBE + ∠ ACB = 90°$，
∴ $∠ A = ∠ DBE$。
∵ $DE⊥ BD$，
∴ $∠ D=90°$，
∴ $∠ ABC = ∠ D = 90°$。
在$△ ABC$和$△ BDE$中，
$\begin{cases}∠ A = ∠ DBE \\AB = BD \\∠ ABC = ∠ D\end{cases}$
∴ $△ ABC ≌ △ BDE$（ASA）。
(2) 分别作两组对应点连线（如$AB$和$BE$，或$AC$和$DE$）的垂直平分线，两条垂直平分线的交点即为旋转中心$O$，保留尺规作图痕迹即可。
---
拓展思考解答
(1) 任务一：作点$P$关于折痕$m$的对称点，即为$P'$；任务二：作$PK$与$l_4$夹角的角平分线，即为折痕$l_5$，保留作图痕迹即可。
(2) $\boldsymbol{25°}$

【分析】
1. 证明三角形全等：首先明确已知条件有AB=BD，两个三角形均为直角三角形，只需再证一组锐角相等即可。由BE⊥AC结合直角三角形两锐角互余，可得∠A与∠DBE都是∠ACB的余角，根据同角的余角相等得到∠A=∠DBE，满足ASA全等判定条件。
2. 确定旋转中心：旋转中心到所有对应点的距离相等，因此它是两组对应点连线的垂直平分线的交点，作出两组对应点连线的垂直平分线，交点即为所求旋转中心。
3. 拓展作图：任务一折叠后点P与对应点P'关于折痕m对称，作点P关于m的对称点即可得到P'；任务二折痕l5是使PK与l4重合的折痕，本质是PK与l4夹角的角平分线，作该角的角平分线即可。
4. 拓展角度计算：已知锐角α被l4、l5三等分，先算出每个等分角的度数，再结合角的位置关系即可得到l2与l4相交所成的锐角度数。
【解析】
第一题解答
(1) 证明：
∵ ∠ABC=90°，BE⊥AC，
∴ ∠A + ∠ACB = 90°，∠DBE + ∠ACB = 90°，
∴ ∠A = ∠DBE（同角的余角相等）。
∵ DE⊥BD，
∴ ∠D=90°，
∴ ∠ABC = ∠D = 90°。
在△ABC和△BDE中：
$\begin{cases}∠ A = ∠ DBE \\AB = BD \\∠ ABC = ∠ D\end{cases}$
∴ △ABC ≌ △BDE（ASA）。
(2) 分别作出两组对应点连线（如AB与BD、AC与BE、BC与DE任选两组）的垂直平分线，两条垂直平分线的交点即为旋转中心O，保留尺规作图痕迹即可。
---
拓展思考解答
(1) 任务一：过点P作折痕m的垂线，延长垂线至长度相等的点，即为点P关于m的对称点P'，保留作图痕迹即可；
任务二：作PK与l4所夹锐角的角平分线，即为折痕l5，保留作图痕迹即可。
(2) 已知锐角α=75°，由操作可知l4、l5将α三等分，因此每个等分角的度数为$75°÷3=25°$，即l2与l4相交所成的锐角为25°。
【答案】
(1) 已证明△ABC≌△BDE；
(2) 作两组对应点连线的垂直平分线，交点即为旋转中心O（作图略）；
拓展思考(1) 按要求作出对称点和角平分线即可（作图略）；
(2) $\boldsymbol{25°}$
【知识点】
全等三角形判定，旋转的性质，折叠的性质
【点评】
本题综合考察了几何证明、尺规作图、操作探究三类能力，基础部分紧扣三角形全等、旋转的核心知识点，拓展部分结合数学史背景，引导学生将折叠操作转化为轴对称、角平分线等几何原理解决问题，兼顾基础性和探究性。
【难度系数】
0.65