5. 化简下列二次根式：
(1) $\frac{1}{n}\sqrt{\frac{5n}{24m}}\ (m＞0)$；
(2) $\sqrt{\frac{2}{5(x+y)}}\ (x＞0,\ y＞0)$；
(3) $\sqrt{\frac{63}{(s-t)^3}}$；
(4) $\sqrt{\frac{3}{m^2+2m+1}}\ (m＜-1)$。

(1) $\frac{1}{n}\sqrt{\frac{5n}{24m}}=\frac{1}{n}\sqrt{\frac{5n·6m}{2^2·6m·6m}}=\frac{1}{n}·\frac{\sqrt{30mn}}{\sqrt{2^2·(6m)^2}}=\frac{\sqrt{30mn}}{12mn}$
(2) $\sqrt{\frac{2}{5(x+y)}}=\sqrt{\frac{2·5(x+y)}{5(x+y)·5(x+y)}}=\frac{\sqrt{10(x+y)}}{\sqrt{[5(x+y)]^2}}=\frac{\sqrt{10(x+y)}}{5(x+y)}$
(3) $\sqrt{\frac{63}{(s-t)^3}}=\sqrt{\frac{3^2·7·(s-t)}{(s-t)^3·(s-t)}}=\frac{\sqrt{3^2·7(s-t)}}{\sqrt{(s-t)^4}}=\frac{3\sqrt{7(s-t)}}{(s-t)^2}$
(4) $\sqrt{\frac{3}{m^2+2m+1}}=\sqrt{\frac{3}{(m+1)^2}}=\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{(m+1)^2}}=-\frac{\sqrt{3}}{m+1}$

【分析】
这是二次根式化简类题目，核心目标是将原式化为最简二次根式，需遵循两个原则：①被开方数不含分母；②被开方数不含能开得尽方的因数或因式。解题思路分为三步：首先将被开方数的分子、分母同乘合适的非零代数式，把分母凑成完全平方（或完全平方式）的形式；再利用二次根式的除法性质$\sqrt{\frac{a}{b}}=\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}(a≥0,b＞0)$拆分根号；最后将分母的完全平方开方，结合题目给出的取值范围或被开方数的非负性判断开方结果的符号，整理得到最终结果。
【解析】
(1) 已知$m＞0$，先将被开方数的分母凑成完全平方：
$\frac{1}{n}\sqrt{\frac{5n}{24m}}=\frac{1}{n}\sqrt{\frac{5n·6m}{2^2·6m·6m}}=\frac{1}{n}·\frac{\sqrt{30mn}}{\sqrt{2^2·(6m)^2}}=\frac{1}{n}·\frac{\sqrt{30mn}}{12m}=\frac{\sqrt{30mn}}{12mn}$
(2) 已知$x＞0,y＞0$，则$x+y＞0$，将分母凑成完全平方：
$\sqrt{\frac{2}{5(x+y)}}=\sqrt{\frac{2·5(x+y)}{5(x+y)·5(x+y)}}=\frac{\sqrt{10(x+y)}}{\sqrt{[5(x+y)]^2}}=\frac{\sqrt{10(x+y)}}{5(x+y)}$
(3) 由被开方数非负可得$s-t＞0$，将分母凑成完全四次方（属于完全平方）：
$\sqrt{\frac{63}{(s-t)^3}}=\sqrt{\frac{3^2·7·(s-t)}{(s-t)^3·(s-t)}}=\frac{\sqrt{3^2·7(s-t)}}{\sqrt{(s-t)^4}}=\frac{3\sqrt{7(s-t)}}{(s-t)^2}$
(4) 先将分母因式分解，结合$m＜-1$的条件判断开方符号：
$\sqrt{\frac{3}{m^2+2m+1}}=\sqrt{\frac{3}{(m+1)^2}}=\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{(m+1)^2}}=\frac{\sqrt{3}}{|m+1|}=\frac{\sqrt{3}}{-(m+1)}=-\frac{\sqrt{3}}{m+1}$
【答案】
(1) $\frac{\sqrt{30mn}}{12mn}$；(2) $\frac{\sqrt{10(x+y)}}{5(x+y)}$；(3) $\frac{3\sqrt{7(s-t)}}{(s-t)^2}$；(4) $-\frac{\sqrt{3}}{m+1}$
【知识点】
二次根式的性质，分母有理化，最简二次根式
【点评】
本题是二次根式化简的基础题型，重点考查分母有理化的操作方法和二次根式开方的符号判断规则，解题时需注意结合取值范围或被开方数的隐含非负性确定符号，熟练掌握相关性质即可快速求解。
【难度系数】
0.7