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3. 化简下列二次根式：
(1) $\sqrt{28}$；
(2) $\frac{1}{2}\sqrt{50}$；
(3) $\sqrt{4\frac{4}{9}}$；
(4) $\sqrt{0.63}$；
(5) $\sqrt{24y^3}$；
(6) $\sqrt{\frac{s}{2}}$；
(7) $\sqrt{\frac{p^2}{45}}\ (p＞0)$；
(8) $\sqrt{\frac{8}{25n^3}}$。
(1) $\sqrt{28}$；
(2) $\frac{1}{2}\sqrt{50}$；
(3) $\sqrt{4\frac{4}{9}}$；
(4) $\sqrt{0.63}$；
(5) $\sqrt{24y^3}$；
(6) $\sqrt{\frac{s}{2}}$；
(7) $\sqrt{\frac{p^2}{45}}\ (p＞0)$；
(8) $\sqrt{\frac{8}{25n^3}}$。
答案
(1) $2\sqrt{7}$；(2) $\frac{5}{2}\sqrt{2}$；(3) $\frac{2}{3}\sqrt{10}$；(4) $\frac{3}{10}\sqrt{7}$；(5) $2y\sqrt{6y}$；(6) $\frac{\sqrt{2s}}{2}$；(7) $\frac{\sqrt{5}}{15}p$；(8) $\frac{2\sqrt{2n}}{5n^2}$
解析
【分析】
化简二次根式的核心目标是得到最简二次根式，需满足两个要求：一是被开方数不含能开得尽方的因数或因式，二是被开方数不含分母、分母中不含根号。解题思路如下：1. 若被开方数是带分数或小数，先转化为假分数或分数形式；2. 把被开方数拆成完全平方数（或完全平方式）与剩余部分的乘积，将完全平方部分开方到根号外；3. 若被开方数含分母，或分母含根号，通过分子分母同乘合适的根式进行分母有理化；4. 含字母的根式要先判断字母的取值范围，保证开方后的结果为非负数。
【解析】
(1) $\sqrt{28}=\sqrt{4×7}=\sqrt{4}×\sqrt{7}=2\sqrt{7}$
(2) $\frac{1}{2}\sqrt{50}=\frac{1}{2}×\sqrt{25×2}=\frac{1}{2}×\sqrt{25}×\sqrt{2}=\frac{1}{2}×5\sqrt{2}=\frac{5}{2}\sqrt{2}$
(3) 先将带分数化为假分数：$\sqrt{4\frac{4}{9}}=\sqrt{\frac{40}{9}}=\frac{\sqrt{40}}{\sqrt{9}}=\frac{\sqrt{4×10}}{3}=\frac{2\sqrt{10}}{3}=\frac{2}{3}\sqrt{10}$
(4) 先将小数化为分数：$\sqrt{0.63}=\sqrt{\frac{63}{100}}=\frac{\sqrt{63}}{\sqrt{100}}=\frac{\sqrt{9×7}}{10}=\frac{3\sqrt{7}}{10}=\frac{3}{10}\sqrt{7}$
(5) 由被开方数非负得$y≥0$，$\sqrt{24y^3}=\sqrt{4y^2×6y}=\sqrt{4y^2}×\sqrt{6y}=2y\sqrt{6y}$
(6) 由被开方数非负得$s≥0$，分母有理化：$\sqrt{\frac{s}{2}}=\sqrt{\frac{2s}{4}}=\frac{\sqrt{2s}}{\sqrt{4}}=\frac{\sqrt{2s}}{2}$
(7) 已知$p＞0$，$\sqrt{\frac{p^2}{45}}=\frac{\sqrt{p^2}}{\sqrt{9×5}}=\frac{p}{3\sqrt{5}}=\frac{p×\sqrt{5}}{3\sqrt{5}×\sqrt{5}}=\frac{\sqrt{5}p}{15}=\frac{\sqrt{5}}{15}p$
(8) 由被开方数非负得$n＞0$，$\sqrt{\frac{8}{25n^3}}=\frac{\sqrt{8}}{\sqrt{25n^3}}=\frac{\sqrt{4×2}}{5\sqrt{n^2×n}}=\frac{2\sqrt{2}}{5n\sqrt{n}}=\frac{2\sqrt{2}×\sqrt{n}}{5n\sqrt{n}×\sqrt{n}}=\frac{2\sqrt{2n}}{5n^2}$
【答案】
(1) $2\sqrt{7}$；(2) $\frac{5}{2}\sqrt{2}$；(3) $\frac{2}{3}\sqrt{10}$；(4) $\frac{3}{10}\sqrt{7}$；(5) $2y\sqrt{6y}$；(6) $\frac{\sqrt{2s}}{2}$；(7) $\frac{\sqrt{5}}{15}p$；(8) $\frac{2\sqrt{2n}}{5n^2}$
【知识点】
二次根式化简，分母有理化，二次根式的性质
【点评】
本题是二次根式化简的基础训练题，覆盖了整数、带分数、小数、含字母式等多种被开方数的化简场景，要求熟练掌握最简二次根式的判定标准和化简步骤，注意化简过程中要保证被开方数非负，开方结果为非负数，是后续二次根式运算的基础，需要熟练掌握。
【难度系数】
0.8
化简二次根式的核心目标是得到最简二次根式，需满足两个要求：一是被开方数不含能开得尽方的因数或因式，二是被开方数不含分母、分母中不含根号。解题思路如下：1. 若被开方数是带分数或小数，先转化为假分数或分数形式；2. 把被开方数拆成完全平方数（或完全平方式）与剩余部分的乘积，将完全平方部分开方到根号外；3. 若被开方数含分母，或分母含根号，通过分子分母同乘合适的根式进行分母有理化；4. 含字母的根式要先判断字母的取值范围，保证开方后的结果为非负数。
【解析】
(1) $\sqrt{28}=\sqrt{4×7}=\sqrt{4}×\sqrt{7}=2\sqrt{7}$
(2) $\frac{1}{2}\sqrt{50}=\frac{1}{2}×\sqrt{25×2}=\frac{1}{2}×\sqrt{25}×\sqrt{2}=\frac{1}{2}×5\sqrt{2}=\frac{5}{2}\sqrt{2}$
(3) 先将带分数化为假分数：$\sqrt{4\frac{4}{9}}=\sqrt{\frac{40}{9}}=\frac{\sqrt{40}}{\sqrt{9}}=\frac{\sqrt{4×10}}{3}=\frac{2\sqrt{10}}{3}=\frac{2}{3}\sqrt{10}$
(4) 先将小数化为分数：$\sqrt{0.63}=\sqrt{\frac{63}{100}}=\frac{\sqrt{63}}{\sqrt{100}}=\frac{\sqrt{9×7}}{10}=\frac{3\sqrt{7}}{10}=\frac{3}{10}\sqrt{7}$
(5) 由被开方数非负得$y≥0$，$\sqrt{24y^3}=\sqrt{4y^2×6y}=\sqrt{4y^2}×\sqrt{6y}=2y\sqrt{6y}$
(6) 由被开方数非负得$s≥0$，分母有理化：$\sqrt{\frac{s}{2}}=\sqrt{\frac{2s}{4}}=\frac{\sqrt{2s}}{\sqrt{4}}=\frac{\sqrt{2s}}{2}$
(7) 已知$p＞0$，$\sqrt{\frac{p^2}{45}}=\frac{\sqrt{p^2}}{\sqrt{9×5}}=\frac{p}{3\sqrt{5}}=\frac{p×\sqrt{5}}{3\sqrt{5}×\sqrt{5}}=\frac{\sqrt{5}p}{15}=\frac{\sqrt{5}}{15}p$
(8) 由被开方数非负得$n＞0$，$\sqrt{\frac{8}{25n^3}}=\frac{\sqrt{8}}{\sqrt{25n^3}}=\frac{\sqrt{4×2}}{5\sqrt{n^2×n}}=\frac{2\sqrt{2}}{5n\sqrt{n}}=\frac{2\sqrt{2}×\sqrt{n}}{5n\sqrt{n}×\sqrt{n}}=\frac{2\sqrt{2n}}{5n^2}$
【答案】
(1) $2\sqrt{7}$；(2) $\frac{5}{2}\sqrt{2}$；(3) $\frac{2}{3}\sqrt{10}$；(4) $\frac{3}{10}\sqrt{7}$；(5) $2y\sqrt{6y}$；(6) $\frac{\sqrt{2s}}{2}$；(7) $\frac{\sqrt{5}}{15}p$；(8) $\frac{2\sqrt{2n}}{5n^2}$
【知识点】
二次根式化简，分母有理化，二次根式的性质
【点评】
本题是二次根式化简的基础训练题，覆盖了整数、带分数、小数、含字母式等多种被开方数的化简场景，要求熟练掌握最简二次根式的判定标准和化简步骤，注意化简过程中要保证被开方数非负，开方结果为非负数，是后续二次根式运算的基础，需要熟练掌握。
【难度系数】
0.8
4. 下列二次根式中，哪些是最简二次根式？
$\sqrt{\dfrac{1}{2}}$、$2\sqrt{xy}$、$\sqrt{3c^3}$、$\sqrt{\dfrac{ab}{2}}$、$\sqrt{x+y}$、$\sqrt{18y}$、$\sqrt{26ab}$、$\sqrt{\dfrac{1}{p-1}}$、$\sqrt{x^2 - 2x + 1}$。
最简二次根式是
拓展与思考
$\sqrt{\dfrac{1}{2}}$、$2\sqrt{xy}$、$\sqrt{3c^3}$、$\sqrt{\dfrac{ab}{2}}$、$\sqrt{x+y}$、$\sqrt{18y}$、$\sqrt{26ab}$、$\sqrt{\dfrac{1}{p-1}}$、$\sqrt{x^2 - 2x + 1}$。
最简二次根式是
$2\sqrt{xy}、\sqrt{x+y}、\sqrt{26ab}$
.拓展与思考
答案
$2\sqrt{xy}、\sqrt{x+y}、\sqrt{26ab}$
解析
【分析】
解题前先明确最简二次根式的两个核心判定条件：①被开方数不含分母；②被开方数中不含能开得尽方的因数或因式。接下来我们逐个对给出的二次根式对照条件检验，排除不符合要求的，剩下的就是最简二次根式。
【解析】
首先明确最简二次根式的判定规则：被开方数不含分母，且不含能开得尽方的因数或因式，逐个分析如下：
1. $\sqrt{\dfrac{1}{2}}$：被开方数含有分母，不符合要求，不是最简二次根式；
2. $2\sqrt{xy}$：被开方数$xy$是整式，且没有能开得尽方的因式，符合要求，是最简二次根式；
3. $\sqrt{3c^3}$：被开方数中$c^3=c^2· c$，$c^2$是能开得尽方的因式，不符合要求，不是最简二次根式；
4. $\sqrt{\dfrac{ab}{2}}$：被开方数含有分母，不符合要求，不是最简二次根式；
5. $\sqrt{x+y}$：被开方数$x+y$是整式，且没有能开得尽方的因式，符合要求，是最简二次根式；
6. $\sqrt{18y}$：被开方数中$18=9×2$，$9$是能开得尽方的因数，不符合要求，不是最简二次根式；
7. $\sqrt{26ab}$：$26$分解质因数为$2×13$，没有能开得尽方的因数，$ab$也没有能开得尽方的因式，符合要求，是最简二次根式；
8. $\sqrt{\dfrac{1}{p-1}}$：被开方数含有分母，不符合要求，不是最简二次根式；
9. $\sqrt{x^2 - 2x + 1}$：被开方数可因式分解为$(x-1)^2$，是能开得尽方的因式，不符合要求，不是最简二次根式。
【答案】
$2\sqrt{xy}、\sqrt{x+y}、\sqrt{26ab}$
【知识点】
最简二次根式的判定、二次根式的化简
【点评】
本题属于基础概念考查题，解题的关键是牢记最简二次根式的两个判定条件，对被开方数先做因式分解或质因数分解，再逐一排查即可，注意不要忽略被开方数可因式分解的情况。
【难度系数】
0.8
解题前先明确最简二次根式的两个核心判定条件：①被开方数不含分母；②被开方数中不含能开得尽方的因数或因式。接下来我们逐个对给出的二次根式对照条件检验，排除不符合要求的，剩下的就是最简二次根式。
【解析】
首先明确最简二次根式的判定规则：被开方数不含分母，且不含能开得尽方的因数或因式，逐个分析如下：
1. $\sqrt{\dfrac{1}{2}}$：被开方数含有分母，不符合要求，不是最简二次根式；
2. $2\sqrt{xy}$：被开方数$xy$是整式，且没有能开得尽方的因式，符合要求，是最简二次根式；
3. $\sqrt{3c^3}$：被开方数中$c^3=c^2· c$，$c^2$是能开得尽方的因式，不符合要求，不是最简二次根式；
4. $\sqrt{\dfrac{ab}{2}}$：被开方数含有分母，不符合要求，不是最简二次根式；
5. $\sqrt{x+y}$：被开方数$x+y$是整式，且没有能开得尽方的因式，符合要求，是最简二次根式；
6. $\sqrt{18y}$：被开方数中$18=9×2$，$9$是能开得尽方的因数，不符合要求，不是最简二次根式；
7. $\sqrt{26ab}$：$26$分解质因数为$2×13$，没有能开得尽方的因数，$ab$也没有能开得尽方的因式，符合要求，是最简二次根式；
8. $\sqrt{\dfrac{1}{p-1}}$：被开方数含有分母，不符合要求，不是最简二次根式；
9. $\sqrt{x^2 - 2x + 1}$：被开方数可因式分解为$(x-1)^2$，是能开得尽方的因式，不符合要求，不是最简二次根式。
【答案】
$2\sqrt{xy}、\sqrt{x+y}、\sqrt{26ab}$
【知识点】
最简二次根式的判定、二次根式的化简
【点评】
本题属于基础概念考查题，解题的关键是牢记最简二次根式的两个判定条件，对被开方数先做因式分解或质因数分解，再逐一排查即可，注意不要忽略被开方数可因式分解的情况。
【难度系数】
0.8
