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9.(2025·江阴期中)如图,⊙O的半径为3,P是弦AB延长线上的一点,连接OP.若OP=4,∠P=30°,则弦AB的长是 (
A.4
B.2\sqrt{3}$$
C.2\sqrt{5}$$
$D.2\sqrt{6}$
C
)A.4
B.2\sqrt{3}$$
C.2\sqrt{5}$$
$D.2\sqrt{6}$
答案
9.C
解析
【分析】
要求弦AB的长，可利用圆中计算弦长的常用思路：过圆心作弦的垂线，结合垂径定理将求弦长转化为求半弦长的2倍。首先在含30°角的直角三角形OPC中求出圆心到弦AB的距离OC，再连接半径OA，在直角三角形OAC中用勾股定理求出半弦长AC，即可得到AB的总长度。
【解析】
解：过点O作OC⊥AB于点C，连接OA。
根据垂径定理可得：$AC = BC = \frac{1}{2}AB$。
在Rt△OPC中，$∠ P=30°$，$OP=4$，
∴ $OC = \frac{1}{2}OP = \frac{1}{2}×4 = 2$。
∵ ⊙O的半径为3，
∴ $OA=3$。
在Rt△OAC中，由勾股定理得：
$AC = \sqrt{OA^2 - OC^2} = \sqrt{3^2 - 2^2} = \sqrt{9 - 4} = \sqrt{5}$，
∴ $AB = 2AC = 2\sqrt{5}$。
【答案】
C
【知识点】
垂径定理、含30°角的直角三角形性质、勾股定理
【点评】
本题是圆中弦长计算的常见题型，解题关键是掌握圆中作垂直于弦的辅助线的方法，构造直角三角形后结合特殊三角形性质和勾股定理即可求解，需熟练掌握这类圆中常规辅助线的构造思路。
【难度系数】
0.7
要求弦AB的长，可利用圆中计算弦长的常用思路：过圆心作弦的垂线，结合垂径定理将求弦长转化为求半弦长的2倍。首先在含30°角的直角三角形OPC中求出圆心到弦AB的距离OC，再连接半径OA，在直角三角形OAC中用勾股定理求出半弦长AC，即可得到AB的总长度。
【解析】
解：过点O作OC⊥AB于点C，连接OA。
根据垂径定理可得：$AC = BC = \frac{1}{2}AB$。
在Rt△OPC中，$∠ P=30°$，$OP=4$，
∴ $OC = \frac{1}{2}OP = \frac{1}{2}×4 = 2$。
∵ ⊙O的半径为3，
∴ $OA=3$。
在Rt△OAC中，由勾股定理得：
$AC = \sqrt{OA^2 - OC^2} = \sqrt{3^2 - 2^2} = \sqrt{9 - 4} = \sqrt{5}$，
∴ $AB = 2AC = 2\sqrt{5}$。
【答案】
C
【知识点】
垂径定理、含30°角的直角三角形性质、勾股定理
【点评】
本题是圆中弦长计算的常见题型，解题关键是掌握圆中作垂直于弦的辅助线的方法，构造直角三角形后结合特殊三角形性质和勾股定理即可求解，需熟练掌握这类圆中常规辅助线的构造思路。
【难度系数】
0.7
10.如图，AB是$\odot O$的直径，弦CD交AB于点P，AP=4，BP=12，$∠ APC=30°$，则CD的长为
$4\sqrt{15}$
答案
10.$4\sqrt{15}$
解析
【分析】
本题是圆中弦长计算问题，解题核心是运用垂径定理构造直角三角形求解：首先根据已知线段长度求出圆的半径和线段OP的长度；其次过圆心作弦CD的垂线，利用30°角的直角三角形性质求出圆心到CD的距离；最后连接半径，结合勾股定理算出半弦长，乘以2即可得到CD的总长度。
【解析】
过点O作$OE⊥ CD$于点E，连接$OC$。
$\because$ AB是$\odot O$的直径，$AP=4$，$BP=12$
$\therefore AB=AP+BP=16$，$\odot O$的半径$OC=OA=8$
$\therefore OP=OA-AP=8-4=4$
$\because ∠ APC=30°$，$∠ OPE$与$∠ APC$是对顶角
$\therefore ∠ OPE=30°$
在$Rt△ OPE$中，$∠ OEP=90°$，$∠ OPE=30°$
$\therefore OE=\frac{1}{2}OP=\frac{1}{2}×4=2$
由垂径定理可知：$CE=DE=\frac{1}{2}CD$
在$Rt△ OCE$中，由勾股定理得：
$CE=\sqrt{OC^2-OE^2}=\sqrt{8^2-2^2}=\sqrt{60}=2\sqrt{15}$
$\therefore CD=2CE=2×2\sqrt{15}=4\sqrt{15}$
【答案】
$4\sqrt{15}$
【知识点】
垂径定理；勾股定理；含30°角的直角三角形性质
【点评】
本题是圆中计算的典型题型，重点考察圆中常用辅助线的作法，只要熟练掌握“过圆心作弦的垂线”的辅助线思路，结合直角三角形相关性质即可顺利求解。
【难度系数】
0.65
本题是圆中弦长计算问题，解题核心是运用垂径定理构造直角三角形求解：首先根据已知线段长度求出圆的半径和线段OP的长度；其次过圆心作弦CD的垂线，利用30°角的直角三角形性质求出圆心到CD的距离；最后连接半径，结合勾股定理算出半弦长，乘以2即可得到CD的总长度。
【解析】
过点O作$OE⊥ CD$于点E，连接$OC$。
$\because$ AB是$\odot O$的直径，$AP=4$，$BP=12$
$\therefore AB=AP+BP=16$，$\odot O$的半径$OC=OA=8$
$\therefore OP=OA-AP=8-4=4$
$\because ∠ APC=30°$，$∠ OPE$与$∠ APC$是对顶角
$\therefore ∠ OPE=30°$
在$Rt△ OPE$中，$∠ OEP=90°$，$∠ OPE=30°$
$\therefore OE=\frac{1}{2}OP=\frac{1}{2}×4=2$
由垂径定理可知：$CE=DE=\frac{1}{2}CD$
在$Rt△ OCE$中，由勾股定理得：
$CE=\sqrt{OC^2-OE^2}=\sqrt{8^2-2^2}=\sqrt{60}=2\sqrt{15}$
$\therefore CD=2CE=2×2\sqrt{15}=4\sqrt{15}$
【答案】
$4\sqrt{15}$
【知识点】
垂径定理；勾股定理；含30°角的直角三角形性质
【点评】
本题是圆中计算的典型题型，重点考察圆中常用辅助线的作法，只要熟练掌握“过圆心作弦的垂线”的辅助线思路，结合直角三角形相关性质即可顺利求解。
【难度系数】
0.65
11.已知$\odot O$的半径为5，弦$AB=8$，则圆上到弦$AB$所在直线距离为2的点有
3
个.答案
11.3
解析
【分析】
要确定圆上到弦AB所在直线距离为2的点的个数，本质是求与AB平行且距离为2的两条直线和圆的交点总数。解题思路如下：①遇到弦长已知的问题，优先用垂径定理：过圆心作AB的垂线，结合勾股定理求出圆心到直线AB的距离；②分别计算两条与AB平行且距离为2的直线到圆心的距离，根据直线与圆的位置关系判断每条直线和圆的交点个数，相加即为总个数。
【解析】
过圆心O作OC⊥AB于点C，连接OA。
根据垂径定理，C为AB中点，因此$AC = \frac{1}{2}AB = \frac{1}{2} × 8 = 4$。
在Rt△OAC中，OA为⊙O的半径，长度为5，由勾股定理得：
$OC = \sqrt{OA^2 - AC^2} = \sqrt{5^2 - 4^2} = \sqrt{9} = 3$，即圆心O到直线AB的距离为3。
接下来在直线AB的两侧分别作直线$l_1$、$l_2$，使得$l_1$、$l_2$与AB的距离均为2，且$l_1$、$l_2$都平行于AB：
1. 若$l_1$位于O与AB之间，则O到$l_1$的距离为 $3 - 2 = 1 ＜ 5$（半径），因此$l_1$与⊙O相交，有2个交点；
2. 若$l_2$位于AB远离O的一侧，则O到$l_2$的距离为 $3 + 2 = 5 = $半径，因此$l_2$与⊙O相切，只有1个交点。
总交点个数为$2 + 1 = 3$，即圆上到AB所在直线距离为2的点有3个。
【答案】
3
【知识点】
垂径定理，勾股定理，直线与圆的位置关系
【点评】
本题解题的核心是将“找圆上到定直线距离为定值的点”转化为判断平行直线与圆的交点个数，易错点是容易忽略其中一侧直线与圆的交点情况，需要注意分两侧讨论。
【难度系数】
0.7
要确定圆上到弦AB所在直线距离为2的点的个数，本质是求与AB平行且距离为2的两条直线和圆的交点总数。解题思路如下：①遇到弦长已知的问题，优先用垂径定理：过圆心作AB的垂线，结合勾股定理求出圆心到直线AB的距离；②分别计算两条与AB平行且距离为2的直线到圆心的距离，根据直线与圆的位置关系判断每条直线和圆的交点个数，相加即为总个数。
【解析】
过圆心O作OC⊥AB于点C，连接OA。
根据垂径定理，C为AB中点，因此$AC = \frac{1}{2}AB = \frac{1}{2} × 8 = 4$。
在Rt△OAC中，OA为⊙O的半径，长度为5，由勾股定理得：
$OC = \sqrt{OA^2 - AC^2} = \sqrt{5^2 - 4^2} = \sqrt{9} = 3$，即圆心O到直线AB的距离为3。
接下来在直线AB的两侧分别作直线$l_1$、$l_2$，使得$l_1$、$l_2$与AB的距离均为2，且$l_1$、$l_2$都平行于AB：
1. 若$l_1$位于O与AB之间，则O到$l_1$的距离为 $3 - 2 = 1 ＜ 5$（半径），因此$l_1$与⊙O相交，有2个交点；
2. 若$l_2$位于AB远离O的一侧，则O到$l_2$的距离为 $3 + 2 = 5 = $半径，因此$l_2$与⊙O相切，只有1个交点。
总交点个数为$2 + 1 = 3$，即圆上到AB所在直线距离为2的点有3个。
【答案】
3
【知识点】
垂径定理，勾股定理，直线与圆的位置关系
【点评】
本题解题的核心是将“找圆上到定直线距离为定值的点”转化为判断平行直线与圆的交点个数，易错点是容易忽略其中一侧直线与圆的交点情况，需要注意分两侧讨论。
【难度系数】
0.7
12.(2025·昆山期末)如图，AB是$\odot O$的弦，点P在弦AB上，$\odot O$的半径为7.若$PA=3,OP=5,PB$的长为
8
.答案
12.8
解析
【分析】
要求PB的长度，已知圆的半径、OP长度和PA长度，属于圆中弦相关的线段计算问题。解题思路如下：首先回忆圆中弦类问题的常用辅助线：过圆心作弦的垂线，结合垂径定理（垂直于弦的直径平分弦），再利用直角三角形的勾股定理列方程求解；也可利用相交弦定理，构造过点P的直径，通过交点分线段的乘积关系快速计算。
【解析】
方法一：垂径定理+勾股定理法
过点O作$OM⊥ AB$于点M，根据垂径定理可得$AM=MB$。
设$PM=x$，$OM=h$。
在$Rt△ OMP$中，由勾股定理得：$OM^2 + PM^2 = OP^2$，即$h^2 + x^2 = 5^2 = 25$ ①
在$Rt△ OMA$中，OA为半径等于7，$AM = AP + PM = 3 + x$，由勾股定理得：$OM^2 + AM^2 = OA^2$，即$h^2 + (3+x)^2 = 7^2 = 49$ ②
用②式减去①式消去$h^2$：
$(3+x)^2 - x^2 = 49 - 25$
展开得：$9 + 6x + x^2 - x^2 = 24$
化简得：$6x = 15$，解得$x=2.5$
则$AM = 3 + 2.5 = 5.5$，$AB = 2AM = 11$
所以$PB = AB - PA = 11 - 3 = 8$
方法二：相交弦定理法
延长OP，分别交$\odot O$于点C、D，CD为$\odot O$的直径，长度为$2×7=14$。
根据相交弦定理：圆内两条相交弦，被交点分成的两条线段长的积相等，可得$PA · PB = PC · PD$。
其中$PC = OC - OP =7-5=2$，$PD = OD + OP =7+5=12$，$PA=3$
代入得：$3 · PB = 2 × 12 =24$，解得$PB=8$
【答案】
8
【知识点】
垂径定理，勾股定理，相交弦定理
【点评】
本题是圆中弦相关计算的典型题，掌握作弦的垂线这一常用辅助线是解题的基础，熟练运用相交弦定理可以大幅提升解题效率。
【难度系数】
0.7
要求PB的长度，已知圆的半径、OP长度和PA长度，属于圆中弦相关的线段计算问题。解题思路如下：首先回忆圆中弦类问题的常用辅助线：过圆心作弦的垂线，结合垂径定理（垂直于弦的直径平分弦），再利用直角三角形的勾股定理列方程求解；也可利用相交弦定理，构造过点P的直径，通过交点分线段的乘积关系快速计算。
【解析】
方法一：垂径定理+勾股定理法
过点O作$OM⊥ AB$于点M，根据垂径定理可得$AM=MB$。
设$PM=x$，$OM=h$。
在$Rt△ OMP$中，由勾股定理得：$OM^2 + PM^2 = OP^2$，即$h^2 + x^2 = 5^2 = 25$ ①
在$Rt△ OMA$中，OA为半径等于7，$AM = AP + PM = 3 + x$，由勾股定理得：$OM^2 + AM^2 = OA^2$，即$h^2 + (3+x)^2 = 7^2 = 49$ ②
用②式减去①式消去$h^2$：
$(3+x)^2 - x^2 = 49 - 25$
展开得：$9 + 6x + x^2 - x^2 = 24$
化简得：$6x = 15$，解得$x=2.5$
则$AM = 3 + 2.5 = 5.5$，$AB = 2AM = 11$
所以$PB = AB - PA = 11 - 3 = 8$
方法二：相交弦定理法
延长OP，分别交$\odot O$于点C、D，CD为$\odot O$的直径，长度为$2×7=14$。
根据相交弦定理：圆内两条相交弦，被交点分成的两条线段长的积相等，可得$PA · PB = PC · PD$。
其中$PC = OC - OP =7-5=2$，$PD = OD + OP =7+5=12$，$PA=3$
代入得：$3 · PB = 2 × 12 =24$，解得$PB=8$
【答案】
8
【知识点】
垂径定理，勾股定理，相交弦定理
【点评】
本题是圆中弦相关计算的典型题，掌握作弦的垂线这一常用辅助线是解题的基础，熟练运用相交弦定理可以大幅提升解题效率。
【难度系数】
0.7
13.如图,点A,B,C在$\odot O$上,$AB=CB=9$,$AD// BC$,$CD\bot AD$,且$AD=2$.
(1)求线段$CD$,$AC$的长;
(2)求$\odot O$的半径.
(1)求线段$CD$,$AC$的长;
(2)求$\odot O$的半径.
答案
13.解:(1)如答图①,作$AE⊥BC$于点E,
则$AE=DC,EC=AD=2$,
$\therefore BE=BC-EC=9-2=7$,
$\therefore CD=AE=\sqrt{AB^2-BE^2}=\sqrt{9^2-7^2}=4\sqrt{2}$,
$\therefore AC=\sqrt{(4\sqrt{2})^2+2^2}=6$.
(2)如答图②,作$BF⊥AC$于点F,连接OA.
$\because AB=BC,\therefore AF=CF=\frac{1}{2}AC=3$,
$\therefore BF=\sqrt{AB^2-AF^2}=\sqrt{9^2-3^2}=6\sqrt{2}$.
$\because BF$垂直平分弦$AC$,$\therefore BF$一定过圆心$O$,
设$\odot O$的半径为r,则$OF=6\sqrt{2}-r$.
在$Rt△OAF$中,由勾股定理得$(6\sqrt{2}-r)^2+3^2=r^2$,
解得$r=\frac{27\sqrt{2}}{8}$,即$\odot O$的半径为$\frac{27\sqrt{2}}{8}$.
解析
【分析】
(1) 要求CD和AC的长度，已知AD//BC、CD⊥AD，可通过作AE⊥BC构造矩形ADCE，利用矩形性质得到EC=AD、AE=CD，先求出BE的长度，再在Rt△ABE中用勾股定理求出AE即CD的长，最后在Rt△ADC中用勾股定理求出AC的长。
(2) 要求⊙O的半径，已知AB=CB，根据等腰三角形三线合一，作BF⊥AC可得F是AC中点，结合垂径定理推论可知BF过圆心O，设半径为r，将OF用含r的式子表示，在Rt△OAF中利用勾股定理列方程即可求解半径。
【解析】
(1) 如答图①，作$AE⊥BC$于点E，
∵$AD//BC$，$CD⊥AD$，$AE⊥BC$，
∴四边形ADCE是矩形，
$\therefore AE=DC,EC=AD=2$，
$\therefore BE=BC-EC=9-2=7$，
在$Rt△ABE$中，由勾股定理得：
$\therefore CD=AE=\sqrt{AB^2-BE^2}=\sqrt{9^2-7^2}=4\sqrt{2}$，
在$Rt△ADC$中，由勾股定理得：
$\therefore AC=\sqrt{(4\sqrt{2})^2+2^2}=6$。
(2) 如答图②，作$BF⊥AC$于点F，连接OA，
$\because AB=BC,BF⊥AC$，
$\therefore AF=CF=\frac{1}{2}AC=3$，
在$Rt△ABF$中，由勾股定理得：
$\therefore BF=\sqrt{AB^2-AF^2}=\sqrt{9^2-3^2}=6\sqrt{2}$，
∵BF垂直平分弦AC，根据垂径定理推论，BF一定过圆心O，
设$\odot O$的半径为r，则$OF=6\sqrt{2}-r$，
在$Rt△OAF$中，由勾股定理得$(6\sqrt{2}-r)^2+3^2=r^2$，
展开化简得$12\sqrt{2}r=81$，
解得$r=\frac{27\sqrt{2}}{8}$，即$\odot O$的半径为$\frac{27\sqrt{2}}{8}$。
【答案】
(1) $CD=4\sqrt{2}$，$AC=6$；
(2) $\odot O$的半径为$\frac{27\sqrt{2}}{8}$。
【知识点】
矩形的性质，勾股定理，垂径定理
【点评】
本题属于圆的综合基础题，考查了圆中常见辅助线的构造方法，结合了矩形、等腰三角形、勾股定理、垂径定理多个知识点，求解半径时用到的方程思想是圆中求线段长度的常用思想，掌握垂直平分弦的直线过圆心这一推论是解题的关键。
【难度系数】
0.7
(1) 要求CD和AC的长度，已知AD//BC、CD⊥AD，可通过作AE⊥BC构造矩形ADCE，利用矩形性质得到EC=AD、AE=CD，先求出BE的长度，再在Rt△ABE中用勾股定理求出AE即CD的长，最后在Rt△ADC中用勾股定理求出AC的长。
(2) 要求⊙O的半径，已知AB=CB，根据等腰三角形三线合一，作BF⊥AC可得F是AC中点，结合垂径定理推论可知BF过圆心O，设半径为r，将OF用含r的式子表示，在Rt△OAF中利用勾股定理列方程即可求解半径。
【解析】
(1) 如答图①，作$AE⊥BC$于点E，
∵$AD//BC$，$CD⊥AD$，$AE⊥BC$，
∴四边形ADCE是矩形，
$\therefore AE=DC,EC=AD=2$，
$\therefore BE=BC-EC=9-2=7$，
在$Rt△ABE$中，由勾股定理得：
$\therefore CD=AE=\sqrt{AB^2-BE^2}=\sqrt{9^2-7^2}=4\sqrt{2}$，
在$Rt△ADC$中，由勾股定理得：
$\therefore AC=\sqrt{(4\sqrt{2})^2+2^2}=6$。
(2) 如答图②，作$BF⊥AC$于点F，连接OA，
$\because AB=BC,BF⊥AC$，
$\therefore AF=CF=\frac{1}{2}AC=3$，
在$Rt△ABF$中，由勾股定理得：
$\therefore BF=\sqrt{AB^2-AF^2}=\sqrt{9^2-3^2}=6\sqrt{2}$，
∵BF垂直平分弦AC，根据垂径定理推论，BF一定过圆心O，
设$\odot O$的半径为r，则$OF=6\sqrt{2}-r$，
在$Rt△OAF$中，由勾股定理得$(6\sqrt{2}-r)^2+3^2=r^2$，
展开化简得$12\sqrt{2}r=81$，
解得$r=\frac{27\sqrt{2}}{8}$，即$\odot O$的半径为$\frac{27\sqrt{2}}{8}$。
【答案】
(1) $CD=4\sqrt{2}$，$AC=6$；
(2) $\odot O$的半径为$\frac{27\sqrt{2}}{8}$。
【知识点】
矩形的性质，勾股定理，垂径定理
【点评】
本题属于圆的综合基础题，考查了圆中常见辅助线的构造方法，结合了矩形、等腰三角形、勾股定理、垂径定理多个知识点，求解半径时用到的方程思想是圆中求线段长度的常用思想，掌握垂直平分弦的直线过圆心这一推论是解题的关键。
【难度系数】
0.7
14.如图,在矩形ABCD中,AB=20,AD=15,P,Q分别是AB,AD边上的动点,PQ=16,以PQ为直径的$\odot O$与BD交于点M,N,求MN的最大值.
答案
14.解:过点A作$AH⊥BD$于点H,连接OM,如答图.
$\because$ 四边形ABCD是矩形,$\therefore ∠BAD=90°$.
在$Rt△ABD$中,$BD=\sqrt{AB^2+AD^2}=\sqrt{20^2+15^2}=25$.
$\because \frac{1}{2}AH·BD=\frac{1}{2}AD·AB$,
$\therefore AH=\frac{20×15}{25}=12$.
$\because \odot O$的直径为16,$\therefore \odot O$的半径为8.
$\because$ 当点O在AH上时,OH最短,
且$HM=\sqrt{OM^2-OH^2}$,$\therefore$ 此时HM取得最大值.
$\because OH=AH-OA=4$,
$\therefore HM$的最大值为$\sqrt{8^2-4^2}=4\sqrt{3}$.
$\because OH⊥MN$,$\therefore MN=2MH$,
$\therefore MN$的最大值为$2×4\sqrt{3}=8\sqrt{3}$.
解析
【分析】
要计算弦MN的最大值，需结合圆的弦长规律分析：半径固定的圆中，圆心到弦的距离越小，弦长越大。首先求出矩形对角线BD的长度，以及点A到BD的垂线段长度AH；再由PQ是直径、∠PAQ=90°，根据直角三角形斜边中线等于斜边的一半，可得圆心O到点A的距离恒等于⊙O的半径8；由此可知当点O落在线段AH上时，圆心O到BD的距离OH最小，此时弦MN最长，最后结合垂径定理和勾股定理即可计算MN的最大值。
【解析】
过点A作$AH⊥BD$于点H，连接OM，如答图。
$\because$ 四边形ABCD是矩形，$\therefore ∠BAD=90°$。
在$Rt△ABD$中，$BD=\sqrt{AB^2+AD^2}=\sqrt{20^2+15^2}=25$。
$\because \frac{1}{2}AH·BD=\frac{1}{2}AD·AB$，
$\therefore AH=\frac{20×15}{25}=12$。
$\because \odot O$的直径为$PQ=16$，$\therefore \odot O$的半径$OM=OA=\frac{1}{2}PQ=8$。
根据垂径定理，弦长$MN=2\sqrt{OM^2-OH^2}$，OM为定值8，因此当OH最小时，MN取得最大值。
当点O在AH上时，OH最短，此时$OH=AH-OA=12-8=4$，
代入得$HM=\sqrt{OM^2-OH^2}=\sqrt{8^2-4^2}=4\sqrt{3}$，
$\therefore MN=2HM=2×4\sqrt{3}=8\sqrt{3}$。
【答案】
MN的最大值为$8\sqrt{3}$。
【知识点】
矩形的性质，垂径定理，勾股定理
【点评】
本题属于动态几何最值问题，解题核心是抓住动态过程中的不变量：⊙O的半径恒定、圆心O到点A的距离恒定，从而将弦长最值转化为圆心到弦BD的距离最值问题，能有效考查几何性质的综合运用能力和动态问题分析能力。
【难度系数】
0.3
要计算弦MN的最大值，需结合圆的弦长规律分析：半径固定的圆中，圆心到弦的距离越小，弦长越大。首先求出矩形对角线BD的长度，以及点A到BD的垂线段长度AH；再由PQ是直径、∠PAQ=90°，根据直角三角形斜边中线等于斜边的一半，可得圆心O到点A的距离恒等于⊙O的半径8；由此可知当点O落在线段AH上时，圆心O到BD的距离OH最小，此时弦MN最长，最后结合垂径定理和勾股定理即可计算MN的最大值。
【解析】
过点A作$AH⊥BD$于点H，连接OM，如答图。
$\because$ 四边形ABCD是矩形，$\therefore ∠BAD=90°$。
在$Rt△ABD$中，$BD=\sqrt{AB^2+AD^2}=\sqrt{20^2+15^2}=25$。
$\because \frac{1}{2}AH·BD=\frac{1}{2}AD·AB$，
$\therefore AH=\frac{20×15}{25}=12$。
$\because \odot O$的直径为$PQ=16$，$\therefore \odot O$的半径$OM=OA=\frac{1}{2}PQ=8$。
根据垂径定理，弦长$MN=2\sqrt{OM^2-OH^2}$，OM为定值8，因此当OH最小时，MN取得最大值。
当点O在AH上时，OH最短，此时$OH=AH-OA=12-8=4$，
代入得$HM=\sqrt{OM^2-OH^2}=\sqrt{8^2-4^2}=4\sqrt{3}$，
$\therefore MN=2HM=2×4\sqrt{3}=8\sqrt{3}$。
【答案】
MN的最大值为$8\sqrt{3}$。
【知识点】
矩形的性质，垂径定理，勾股定理
【点评】
本题属于动态几何最值问题，解题核心是抓住动态过程中的不变量：⊙O的半径恒定、圆心O到点A的距离恒定，从而将弦长最值转化为圆心到弦BD的距离最值问题，能有效考查几何性质的综合运用能力和动态问题分析能力。
【难度系数】
0.3
