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5. 如图,在△ABC中,∠B=50°,∠ACB=35°。点D在BC的延长线上,过点C作CE//AB,求∠ACE的度数。
答案
$95°$
解析
【分析】
解题时我们可以从已知条件入手：首先已知△ABC的两个内角度数，可先利用三角形内角和定理求出∠BAC的度数，再结合CE//AB的条件，根据“两直线平行，内错角相等”即可直接得到∠ACE的度数；也可以先求出∠ACD的度数，再利用“两直线平行，同位角相等”求出∠ECD的度数，用∠ACD减去∠ECD得到结果。
【解析】
解：在△ABC中，根据三角形内角和为180°，可得：
$∠ BAC = 180° - ∠ B - ∠ ACB = 180° - 50° - 35° = 95°$
∵ $CE// AB$，AC是两平行线的截线
∴ $∠ ACE = ∠ BAC$（两直线平行，内错角相等）
代入数值得$∠ ACE = 95°$
【答案】
$95°$
【知识点】
三角形内角和定理；平行线的性质
【点评】
本题属于基础几何计算题，解题关键是熟练掌握平行线的性质和三角形内角和定理，选择合适的角度关系推导即可快速得到答案。
【难度系数】
0.9
解题时我们可以从已知条件入手：首先已知△ABC的两个内角度数，可先利用三角形内角和定理求出∠BAC的度数，再结合CE//AB的条件，根据“两直线平行，内错角相等”即可直接得到∠ACE的度数；也可以先求出∠ACD的度数，再利用“两直线平行，同位角相等”求出∠ECD的度数，用∠ACD减去∠ECD得到结果。
【解析】
解：在△ABC中，根据三角形内角和为180°，可得：
$∠ BAC = 180° - ∠ B - ∠ ACB = 180° - 50° - 35° = 95°$
∵ $CE// AB$，AC是两平行线的截线
∴ $∠ ACE = ∠ BAC$（两直线平行，内错角相等）
代入数值得$∠ ACE = 95°$
【答案】
$95°$
【知识点】
三角形内角和定理；平行线的性质
【点评】
本题属于基础几何计算题，解题关键是熟练掌握平行线的性质和三角形内角和定理，选择合适的角度关系推导即可快速得到答案。
【难度系数】
0.9
6. 在$△ ABC$中，$∠ B=65°$，$∠ C=55°$。现将一把直尺叠放在$△ ABC$上（如图），直尺的一边分别与$△ ABC$的边$AB$，$AC$相交形成$∠ 1$，$∠ 2$。
（1）若$∠ 1=∠ 2$，求$∠ 1$的度数；
（2）若$∠ 1$比$∠ 2$大$2°$，求$∠ 1$的度数。
（1）若$∠ 1=∠ 2$，求$∠ 1$的度数；
（2）若$∠ 1$比$∠ 2$大$2°$，求$∠ 1$的度数。
答案
(1) 在$△ ABC$中,由$∠ B=65°,∠ C=55°$,得$∠ A=60°$,所以$∠ 1+∠ 2=120°$。
又因为$∠ 1=∠ 2$,所以$∠ 1=60°$。
(2) $∠ 1=61°$。
又因为$∠ 1=∠ 2$,所以$∠ 1=60°$。
(2) $∠ 1=61°$。
解析
【分析】
解题时首先利用三角形内角和定理求出△ABC中∠A的度数，再结合直尺对边平行的性质，推导得出∠1与∠2的和为定值120°。最后根据两个小问中∠1和∠2的数量关系，代入计算即可求出∠1的度数。
【解析】
首先计算∠A的度数：
在△ABC中，三角形内角和为180°，因此
$∠ A = 180° - ∠ B - ∠ C = 180° - 65° - 55° = 60°$。
由于直尺的对边互相平行，根据“两直线平行，内错角相等”，直尺上方被AB、AC截得的小三角形的两个底角分别与∠1、∠2相等。该小三角形内角和为180°，因此两个底角之和为$180° - ∠ A = 120°$，即$∠ 1 + ∠ 2 = 120°$。
（1）已知$∠ 1 = ∠ 2$，代入得：
$∠ 1 + ∠ 1 = 120°$
$2∠ 1 = 120°$
解得$∠ 1 = 60°$。
（2）已知∠1比∠2大2°，即$∠ 2 = ∠ 1 - 2°$，代入$∠ 1 + ∠ 2 = 120°$得：
$∠ 1 + (∠ 1 - 2°) = 120°$
$2∠ 1 = 122°$
解得$∠ 1 = 61°$。
【答案】
（1）$\boldsymbol{60°}$；（2）$\boldsymbol{61°}$
【知识点】
三角形内角和定理、平行线的性质、角度计算
【点评】
本题属于基础综合题，考查三角形内角和与平行线性质的结合应用，解题核心是先推导得到∠1与∠2的和为定值，再结合已知的数量关系求解，能够锻炼学生结合几何性质分析数量关系的能力。
【难度系数】
0.8
解题时首先利用三角形内角和定理求出△ABC中∠A的度数，再结合直尺对边平行的性质，推导得出∠1与∠2的和为定值120°。最后根据两个小问中∠1和∠2的数量关系，代入计算即可求出∠1的度数。
【解析】
首先计算∠A的度数：
在△ABC中，三角形内角和为180°，因此
$∠ A = 180° - ∠ B - ∠ C = 180° - 65° - 55° = 60°$。
由于直尺的对边互相平行，根据“两直线平行，内错角相等”，直尺上方被AB、AC截得的小三角形的两个底角分别与∠1、∠2相等。该小三角形内角和为180°，因此两个底角之和为$180° - ∠ A = 120°$，即$∠ 1 + ∠ 2 = 120°$。
（1）已知$∠ 1 = ∠ 2$，代入得：
$∠ 1 + ∠ 1 = 120°$
$2∠ 1 = 120°$
解得$∠ 1 = 60°$。
（2）已知∠1比∠2大2°，即$∠ 2 = ∠ 1 - 2°$，代入$∠ 1 + ∠ 2 = 120°$得：
$∠ 1 + (∠ 1 - 2°) = 120°$
$2∠ 1 = 122°$
解得$∠ 1 = 61°$。
【答案】
（1）$\boldsymbol{60°}$；（2）$\boldsymbol{61°}$
【知识点】
三角形内角和定理、平行线的性质、角度计算
【点评】
本题属于基础综合题，考查三角形内角和与平行线性质的结合应用，解题核心是先推导得到∠1与∠2的和为定值，再结合已知的数量关系求解，能够锻炼学生结合几何性质分析数量关系的能力。
【难度系数】
0.8
7. 将15根等长的小木棒首尾顺次相接围成一个三角形，一共有多少种形状不同的三角形？请一一列举。（说明：三角形的形状用每条边的小木棒根数表示，例如，三边分别为4根、5根、6根小木棒，写成“4，5，6”。）
答案
7种,①7,1,7;②7,2,6;③7,3,5;④7,4,4;⑤6,3,6;⑥6,4,5;⑦5,5,5。
解析
【分析】
解决这类整数边长的三角形计数问题，核心依据是三角形“两边之和大于第三边”的性质。为了避免重复计数或遗漏情况，我们可以先对三边长按大小排序，先确定最长边的取值范围，再逐一枚举符合条件的另外两边长度，就能有序得出所有不同的三角形。
【解析】
设三角形三边长分别为$a、b、c$（单位：根），规定$a≤b≤c$，$a、b、c$均为正整数，由题意得$a+b+c=15$。
根据三角形三边关系：两边之和大于第三边，可得$a+b＞c$。
将$a+b=15-c$代入上式，得$15-c＞c$，解得$c＜7.5$。
又因为$c$是最长边，因此$c≥15÷3=5$（若最长边小于5，三边长总和不足15，不符合题意），所以$c$的取值只能是5、6、7，分情况讨论：
1. 当$c=7$时，$a+b=8$，结合$b≤7$、$a≤b$的要求：
$b=7$时，$a=1$，三边长为1,7,7；
$b=6$时，$a=2$，三边长为2,6,7；
$b=5$时，$a=3$，三边长为3,5,7；
$b=4$时，$a=4$，三边长为4,4,7；共4种。
2. 当$c=6$时，$a+b=9$，结合$b≤6$、$a≤b$的要求：
$b=6$时，$a=3$，三边长为3,6,6；
$b=5$时，$a=4$，三边长为4,5,6；共2种。
3. 当$c=5$时，$a+b=10$，结合$b≤5$、$a≤b$的要求，仅$b=5,a=5$符合，三边长为5,5,5；共1种。
总共有$4+2+1=7$种不同的三角形。
【答案】
7种，分别为①7,1,7；②7,2,6；③7,3,5；④7,4,4；⑤6,3,6；⑥6,4,5；⑦5,5,5。
【知识点】
三角形三边关系；分类讨论思想
【点评】
本题是三角形三边关系的典型应用题型，通过固定最长边缩小取值范围、按顺序枚举的方法，可有效避免计数时的重复和遗漏，是解决此类整数边长三角形计数问题的常用思路。
【难度系数】
0.6
解决这类整数边长的三角形计数问题，核心依据是三角形“两边之和大于第三边”的性质。为了避免重复计数或遗漏情况，我们可以先对三边长按大小排序，先确定最长边的取值范围，再逐一枚举符合条件的另外两边长度，就能有序得出所有不同的三角形。
【解析】
设三角形三边长分别为$a、b、c$（单位：根），规定$a≤b≤c$，$a、b、c$均为正整数，由题意得$a+b+c=15$。
根据三角形三边关系：两边之和大于第三边，可得$a+b＞c$。
将$a+b=15-c$代入上式，得$15-c＞c$，解得$c＜7.5$。
又因为$c$是最长边，因此$c≥15÷3=5$（若最长边小于5，三边长总和不足15，不符合题意），所以$c$的取值只能是5、6、7，分情况讨论：
1. 当$c=7$时，$a+b=8$，结合$b≤7$、$a≤b$的要求：
$b=7$时，$a=1$，三边长为1,7,7；
$b=6$时，$a=2$，三边长为2,6,7；
$b=5$时，$a=3$，三边长为3,5,7；
$b=4$时，$a=4$，三边长为4,4,7；共4种。
2. 当$c=6$时，$a+b=9$，结合$b≤6$、$a≤b$的要求：
$b=6$时，$a=3$，三边长为3,6,6；
$b=5$时，$a=4$，三边长为4,5,6；共2种。
3. 当$c=5$时，$a+b=10$，结合$b≤5$、$a≤b$的要求，仅$b=5,a=5$符合，三边长为5,5,5；共1种。
总共有$4+2+1=7$种不同的三角形。
【答案】
7种，分别为①7,1,7；②7,2,6；③7,3,5；④7,4,4；⑤6,3,6；⑥6,4,5；⑦5,5,5。
【知识点】
三角形三边关系；分类讨论思想
【点评】
本题是三角形三边关系的典型应用题型，通过固定最长边缩小取值范围、按顺序枚举的方法，可有效避免计数时的重复和遗漏，是解决此类整数边长三角形计数问题的常用思路。
【难度系数】
0.6
