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8. 如图，在$△ ACD$和$△ BCD$中，边$AC$，$BD$交于点$M$。
（1）比较$BC+BM+AD+AM$与$CD$的大小，并说明理由。
（2）①若$∠ A=80°$，$∠ B=78°$，$∠ BCM=20°$，求$∠ ADM$的度数。
②若$∠ A - ∠ B=2°$，探究$∠ ADM$与$∠ BCM$之间的数量关系。
（1）比较$BC+BM+AD+AM$与$CD$的大小，并说明理由。
（2）①若$∠ A=80°$，$∠ B=78°$，$∠ BCM=20°$，求$∠ ADM$的度数。
②若$∠ A - ∠ B=2°$，探究$∠ ADM$与$∠ BCM$之间的数量关系。
答案
(1) $BC+BM+AD+AM＞CD$。
理由一:因为$BC+BM＞CM$,$AD+AM＞DM$,所以$BC+BM+AD+AM＞CM+DM$。又因为$CM+DM＞CD$,所以$BC+BM+AD+AM＞CD$。
理由二:两点之间线段最短。
(2) ①在$△ BCM$中,由$∠ B=78°,∠ BCM=20°$,得$∠ BMC=82°$,则$∠ AMD=∠ BMC=82°$。又因为$∠ A=80°$,所以$∠ ADM=18°$。
②$∠ BCM-∠ ADM=2°$。
理由一:因为$BC+BM＞CM$,$AD+AM＞DM$,所以$BC+BM+AD+AM＞CM+DM$。又因为$CM+DM＞CD$,所以$BC+BM+AD+AM＞CD$。
理由二:两点之间线段最短。
(2) ①在$△ BCM$中,由$∠ B=78°,∠ BCM=20°$,得$∠ BMC=82°$,则$∠ AMD=∠ BMC=82°$。又因为$∠ A=80°$,所以$∠ ADM=18°$。
②$∠ BCM-∠ ADM=2°$。
解析
【分析】
（1）要比较线段和与CD的大小，优先考虑三角形三边关系：三角形任意两边之和大于第三边。观察待比较的式子，可将BC、BM归到△BCM中，AD、AM归到△ADM中，分别得到两组边的和大于CM、DM，再结合CM+DM与CD的大小关系即可推导结论，也可直接用两点之间线段最短的原理解释。
（2）①求∠ADM的度数，先在△BCM中利用三角形内角和定理算出∠BMC，再根据对顶角相等得到∠AMD的度数，最后在△AMD中用内角和定理即可求出∠ADM。②探究∠ADM和∠BCM的数量关系，分别在△BCM和△AMD中用内角和表示出对顶角∠BMC和∠AMD，利用对顶角相等建立等式，再代入∠A-∠B=2°整理即可得到两者的关系。
【解析】
(1) $BC+BM+AD+AM＞CD$，理由如下：
根据三角形三边关系，在$△ BCM$中，$BC+BM＞CM$；在$△ ADM$中，$AD+AM＞DM$。
将两个不等式相加，得$BC+BM+AD+AM＞CM+DM$。
又在$△ CDM$中，$CM+DM＞CD$，因此$BC+BM+AD+AM＞CD$。
也可依据“两点之间，线段最短”直接得到上述结论。
(2) ①在$△ BCM$中，三角形内角和为$180°$，已知$∠ B=78°$，$∠ BCM=20°$，因此：
$∠ BMC=180°-∠ B-∠ BCM=180°-78°-20°=82°$。
因为$∠ AMD$与$∠ BMC$是对顶角，所以$∠ AMD=∠ BMC=82°$。
在$△ AMD$中，$∠ ADM=180°-∠ A-∠ AMD=180°-80°-82°=18°$。
②在$△ BCM$中，$∠ BMC=180°-∠ B-∠ BCM$；
在$△ AMD$中，$∠ AMD=180°-∠ A-∠ ADM$。
因为$∠ BMC=∠ AMD$（对顶角相等），所以：
$180°-∠ B-∠ BCM=180°-∠ A-∠ ADM$，
整理得$∠ A-∠ B=∠ BCM-∠ ADM$。
已知$∠ A-∠ B=2°$，因此$∠ BCM-∠ ADM=2°$。
【答案】
(1) $BC+BM+AD+AM＞CD$，理由见解析；
(2) ①$∠ ADM=18°$；②$∠ BCM-∠ ADM=2°$
【知识点】
三角形三边关系，三角形内角和定理，对顶角的性质
【点评】
本题是三角形基础性质的综合应用题型，难度不高，解题时需要将待求的边、角关系对应到合适的三角形中，结合对顶角的性质搭建已知条件和未知量之间的联系，熟练掌握三角形的基础性质即可快速解题。
【难度系数】
0.8
（1）要比较线段和与CD的大小，优先考虑三角形三边关系：三角形任意两边之和大于第三边。观察待比较的式子，可将BC、BM归到△BCM中，AD、AM归到△ADM中，分别得到两组边的和大于CM、DM，再结合CM+DM与CD的大小关系即可推导结论，也可直接用两点之间线段最短的原理解释。
（2）①求∠ADM的度数，先在△BCM中利用三角形内角和定理算出∠BMC，再根据对顶角相等得到∠AMD的度数，最后在△AMD中用内角和定理即可求出∠ADM。②探究∠ADM和∠BCM的数量关系，分别在△BCM和△AMD中用内角和表示出对顶角∠BMC和∠AMD，利用对顶角相等建立等式，再代入∠A-∠B=2°整理即可得到两者的关系。
【解析】
(1) $BC+BM+AD+AM＞CD$，理由如下：
根据三角形三边关系，在$△ BCM$中，$BC+BM＞CM$；在$△ ADM$中，$AD+AM＞DM$。
将两个不等式相加，得$BC+BM+AD+AM＞CM+DM$。
又在$△ CDM$中，$CM+DM＞CD$，因此$BC+BM+AD+AM＞CD$。
也可依据“两点之间，线段最短”直接得到上述结论。
(2) ①在$△ BCM$中，三角形内角和为$180°$，已知$∠ B=78°$，$∠ BCM=20°$，因此：
$∠ BMC=180°-∠ B-∠ BCM=180°-78°-20°=82°$。
因为$∠ AMD$与$∠ BMC$是对顶角，所以$∠ AMD=∠ BMC=82°$。
在$△ AMD$中，$∠ ADM=180°-∠ A-∠ AMD=180°-80°-82°=18°$。
②在$△ BCM$中，$∠ BMC=180°-∠ B-∠ BCM$；
在$△ AMD$中，$∠ AMD=180°-∠ A-∠ ADM$。
因为$∠ BMC=∠ AMD$（对顶角相等），所以：
$180°-∠ B-∠ BCM=180°-∠ A-∠ ADM$，
整理得$∠ A-∠ B=∠ BCM-∠ ADM$。
已知$∠ A-∠ B=2°$，因此$∠ BCM-∠ ADM=2°$。
【答案】
(1) $BC+BM+AD+AM＞CD$，理由见解析；
(2) ①$∠ ADM=18°$；②$∠ BCM-∠ ADM=2°$
【知识点】
三角形三边关系，三角形内角和定理，对顶角的性质
【点评】
本题是三角形基础性质的综合应用题型，难度不高，解题时需要将待求的边、角关系对应到合适的三角形中，结合对顶角的性质搭建已知条件和未知量之间的联系，熟练掌握三角形的基础性质即可快速解题。
【难度系数】
0.8
9.（多选题）已知点$A,B,C,D$在同一平面内，且$AB=3,BC=5,CD=4,DA=6$,则$AC$的长可以是(
A.2
B.6
C.8
D.10
ABC
)。A.2
B.6
C.8
D.10
答案
ABC
解析
【分析】
解题时我们要抓住公共边AC同时属于A、B、C三点构成的图形和A、D、C三点构成的图形这一特点，利用三角形三边关系（两边之和大于第三边，两边之差小于第三边，三点共线时取等号）分别求出AC的两个取值范围，再取两个范围的公共部分，最后对比选项判断符合条件的AC长度即可。
【解析】
解：首先考虑A、B、C三点（包含三点共线的情况）：
根据线段和差关系，得 $ BC - AB ≤ AC ≤ AB + BC $
代入AB=3，BC=5，得 $ 5-3 ≤ AC ≤ 3+5 $，即 $ 2 ≤ AC ≤ 8 $
再考虑A、D、C三点（包含三点共线的情况）：
同理得 $ DA - CD ≤ AC ≤ DA + CD $
代入DA=6，CD=4，得 $ 6-4 ≤ AC ≤ 6+4 $，即 $ 2 ≤ AC ≤ 10 $
取两个范围的交集，可得AC的取值范围是 $ 2 ≤ AC ≤ 8 $
对比选项：2、6、8都在取值范围内，10超出范围，因此符合条件的是ABC。
【答案】
ABC
【知识点】
三角形三边关系，解集取交集，线段和差计算
【点评】
本题易错点是容易忽略三点共线时的等号情况，导致漏选A或C选项，解题时要注意题目仅说明四点共面，未要求构成四边形，因此要考虑共线的特殊情况。
【难度系数】
0.7
解题时我们要抓住公共边AC同时属于A、B、C三点构成的图形和A、D、C三点构成的图形这一特点，利用三角形三边关系（两边之和大于第三边，两边之差小于第三边，三点共线时取等号）分别求出AC的两个取值范围，再取两个范围的公共部分，最后对比选项判断符合条件的AC长度即可。
【解析】
解：首先考虑A、B、C三点（包含三点共线的情况）：
根据线段和差关系，得 $ BC - AB ≤ AC ≤ AB + BC $
代入AB=3，BC=5，得 $ 5-3 ≤ AC ≤ 3+5 $，即 $ 2 ≤ AC ≤ 8 $
再考虑A、D、C三点（包含三点共线的情况）：
同理得 $ DA - CD ≤ AC ≤ DA + CD $
代入DA=6，CD=4，得 $ 6-4 ≤ AC ≤ 6+4 $，即 $ 2 ≤ AC ≤ 10 $
取两个范围的交集，可得AC的取值范围是 $ 2 ≤ AC ≤ 8 $
对比选项：2、6、8都在取值范围内，10超出范围，因此符合条件的是ABC。
【答案】
ABC
【知识点】
三角形三边关系，解集取交集，线段和差计算
【点评】
本题易错点是容易忽略三点共线时的等号情况，导致漏选A或C选项，解题时要注意题目仅说明四点共面，未要求构成四边形，因此要考虑共线的特殊情况。
【难度系数】
0.7
