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1. 如图,点 D 在△ABC 的边 BC 上,连结 AD。
(1) △ABD 的三个内角分别为
(2) 若∠B=40°,∠C=55°,∠ADC=70°,则∠BAC 的度数是
(1) △ABD 的三个内角分别为
∠BAD,∠B,∠ADB
,△ACD 的三条边分别为AC,CD,DA
。(2) 若∠B=40°,∠C=55°,∠ADC=70°,则∠BAC 的度数是
85°
,∠CAD 的度数是55°
。答案
(1) ∠BAD,∠B,∠ADB;AC,CD,DA (2) 85°;55°
解析
【分析】
(1) 解决第一小问需明确三角形内角、边的定义：三角形的内角是三角形内部相邻两边的夹角，对应三角形的三个顶点；三角形的边是围成三角形的三条线段，对应三角形三个顶点两两连接的线段，据此分别对应△ABD、△ACD的元素即可。
(2) 解决第二小问需用到三角形内角和定理：任意三角形的内角和为180°。求∠BAC时，在△ABC中已知∠B和∠C，用内角和减去这两个角的度数即可；求∠CAD时，在△ACD中已知∠C和∠ADC，同样用内角和减去这两个角的度数即可。
【解析】
(1) 根据三角形内角的定义，△ABD的三个内角为∠BAD、∠B、∠ADB；根据三角形边的定义，△ACD的三条边为AC、CD、DA。
(2) 在△ABC中，由三角形内角和为180°可得：
$∠ BAC = 180° - ∠ B - ∠ C = 180° - 40° - 55° = 85°$
在△ACD中，由三角形内角和为180°可得：
$∠ CAD = 180° - ∠ C - ∠ ADC = 180° - 55° - 70° = 55°$
【答案】
(1) $∠ BAD,∠ B,∠ ADB$；$AC,CD,DA$
(2) $85°$；$55°$
【知识点】
三角形的基本概念，三角形内角和定理
【点评】
本题是三角形相关知识的基础考查题，侧重对基础概念和基础定理的应用，难度较低，熟练掌握三角形的定义和内角和定理即可快速解题。
【难度系数】
0.9
(1) 解决第一小问需明确三角形内角、边的定义：三角形的内角是三角形内部相邻两边的夹角，对应三角形的三个顶点；三角形的边是围成三角形的三条线段，对应三角形三个顶点两两连接的线段，据此分别对应△ABD、△ACD的元素即可。
(2) 解决第二小问需用到三角形内角和定理：任意三角形的内角和为180°。求∠BAC时，在△ABC中已知∠B和∠C，用内角和减去这两个角的度数即可；求∠CAD时，在△ACD中已知∠C和∠ADC，同样用内角和减去这两个角的度数即可。
【解析】
(1) 根据三角形内角的定义，△ABD的三个内角为∠BAD、∠B、∠ADB；根据三角形边的定义，△ACD的三条边为AC、CD、DA。
(2) 在△ABC中，由三角形内角和为180°可得：
$∠ BAC = 180° - ∠ B - ∠ C = 180° - 40° - 55° = 85°$
在△ACD中，由三角形内角和为180°可得：
$∠ CAD = 180° - ∠ C - ∠ ADC = 180° - 55° - 70° = 55°$
【答案】
(1) $∠ BAD,∠ B,∠ ADB$；$AC,CD,DA$
(2) $85°$；$55°$
【知识点】
三角形的基本概念，三角形内角和定理
【点评】
本题是三角形相关知识的基础考查题，侧重对基础概念和基础定理的应用，难度较低，熟练掌握三角形的定义和内角和定理即可快速解题。
【难度系数】
0.9
2. 如图，在$△ ABC$中，点$D$在边$BC$上，连结$AD$。用“$＞$”或“$＜$”填空：
（1）$AC$
（2）$AD+BD$
（1）$AC$
$＜$
$AD+CD$；（2）$AD+BD$
$＞$
$AB$。答案
(1) $＜$ (2) $＞$
解析
【分析】
本题考查三角形三边关系的应用，解题思路是先找到每组线段所在的三角形，再根据“三角形任意两边之和大于第三边”的性质判断大小：
1. 对于第（1）问，线段AC、AD、CD是△ACD的三条边，直接套用三边关系即可判断；
2. 对于第（2）问，线段AD、BD、AB是△ABD的三条边，同理套用三边关系判断。
【解析】
根据三角形三边关系：三角形任意两边之和大于第三边。
（1）在$△ ACD$中，$AD$和$CD$是两条边，$AC$是第三条边，因此$AD+CD＞AC$，即$AC＜AD+CD$；
（2）在$△ ABD$中，$AD$和$BD$是两条边，$AB$是第三条边，因此$AD+BD＞AB$。
【答案】
（1）$＜$；（2）$＞$
【知识点】
三角形三边关系
【点评】
本题属于基础题，直接考查三角形三边关系的应用，解题关键是准确找出对应线段所属的三角形，结合性质即可快速得出结论。
【难度系数】
0.9
本题考查三角形三边关系的应用，解题思路是先找到每组线段所在的三角形，再根据“三角形任意两边之和大于第三边”的性质判断大小：
1. 对于第（1）问，线段AC、AD、CD是△ACD的三条边，直接套用三边关系即可判断；
2. 对于第（2）问，线段AD、BD、AB是△ABD的三条边，同理套用三边关系判断。
【解析】
根据三角形三边关系：三角形任意两边之和大于第三边。
（1）在$△ ACD$中，$AD$和$CD$是两条边，$AC$是第三条边，因此$AD+CD＞AC$，即$AC＜AD+CD$；
（2）在$△ ABD$中，$AD$和$BD$是两条边，$AB$是第三条边，因此$AD+BD＞AB$。
【答案】
（1）$＜$；（2）$＞$
【知识点】
三角形三边关系
【点评】
本题属于基础题，直接考查三角形三边关系的应用，解题关键是准确找出对应线段所属的三角形，结合性质即可快速得出结论。
【难度系数】
0.9
3. 如图,在锐角三角形ABC中,AD⊥BC于点D,E为AD的中点,连结CE。
图中共有
钝角三角形是
图中共有
5
个三角形,其中直角三角形是$△ ABD,△ ACD,△ CDE$
,钝角三角形是
$△ AEC$
。答案
5;$△ ABD,△ ACD,△ CDE$;$△ AEC$
解析
【分析】
解题分三步进行：第一步数三角形个数，按从小到大或从左到右的顺序枚举，避免重复、遗漏；第二步找直角三角形，结合AD⊥BC的条件，有一个内角为直角的三角形就是直角三角形，可借助直角快速筛选；第三步找钝角三角形，钝角是大于90°小于180°的角，借助邻补角的性质即可判断对应三角形的类型。
【解析】
1. 计数三角形：
按顺序枚举所有三角形：$△ ABD$、$△ ABC$、$△ ACD$、$△ AEC$、$△ CDE$，共5个。
2. 识别直角三角形：
$\because AD⊥ BC$，$\therefore ∠ ADB=∠ ADC=90°$，
包含直角的三角形分别是$△ ABD$（$∠ ADB=90°$）、$△ ACD$（$∠ ADC=90°$）、$△ CDE$（$∠ EDC=90°$）。
3. 识别钝角三角形：
在$Rt△ CDE$中，$∠ CED$是锐角，
$\because ∠ AEC+∠ CED=180°$，$\therefore ∠ AEC=180°-∠ CED＞90°$，即$∠ AEC$是钝角，因此$△ AEC$是钝角三角形；已知$△ ABC$是锐角三角形，故钝角三角形只有$△ AEC$。
【答案】
5;$△ ABD,△ ACD,△ CDE$;$△ AEC$
【知识点】
三角形计数；三角形按角分类；垂直的定义
【点评】
本题属于基础题，解题核心是按顺序计数避免漏数，同时紧扣不同类型三角形的定义，结合图形特征快速判断角的类型。
【难度系数】
0.8
解题分三步进行：第一步数三角形个数，按从小到大或从左到右的顺序枚举，避免重复、遗漏；第二步找直角三角形，结合AD⊥BC的条件，有一个内角为直角的三角形就是直角三角形，可借助直角快速筛选；第三步找钝角三角形，钝角是大于90°小于180°的角，借助邻补角的性质即可判断对应三角形的类型。
【解析】
1. 计数三角形：
按顺序枚举所有三角形：$△ ABD$、$△ ABC$、$△ ACD$、$△ AEC$、$△ CDE$，共5个。
2. 识别直角三角形：
$\because AD⊥ BC$，$\therefore ∠ ADB=∠ ADC=90°$，
包含直角的三角形分别是$△ ABD$（$∠ ADB=90°$）、$△ ACD$（$∠ ADC=90°$）、$△ CDE$（$∠ EDC=90°$）。
3. 识别钝角三角形：
在$Rt△ CDE$中，$∠ CED$是锐角，
$\because ∠ AEC+∠ CED=180°$，$\therefore ∠ AEC=180°-∠ CED＞90°$，即$∠ AEC$是钝角，因此$△ AEC$是钝角三角形；已知$△ ABC$是锐角三角形，故钝角三角形只有$△ AEC$。
【答案】
5;$△ ABD,△ ACD,△ CDE$;$△ AEC$
【知识点】
三角形计数；三角形按角分类；垂直的定义
【点评】
本题属于基础题，解题核心是按顺序计数避免漏数，同时紧扣不同类型三角形的定义，结合图形特征快速判断角的类型。
【难度系数】
0.8
4. 下列长度的三条线段首尾顺次相接，能组成三角形吗？请说明理由。
(1) 3 cm,4 cm,5 cm；
(2) 4 cm,5 cm,9 cm；
(3) 10 cm,6.5 cm,2.5 cm；
(4) 10 cm,6 cm,4.5 cm。
(1) 3 cm,4 cm,5 cm；
(2) 4 cm,5 cm,9 cm；
(3) 10 cm,6.5 cm,2.5 cm；
(4) 10 cm,6 cm,4.5 cm。
答案
(1) 能。因为最长线段长为5 cm,3+4＞5,所以能组成三角形。
(2) 不能。因为最长线段长为9 cm,4+5=9,所以不能组成三角形。
(3) 不能。因为最长线段长为10 cm,6.5+2.5＜10,所以不能组成三角形。
(4) 能。因为最长线段长为10 cm,6+4.5＞10,所以能组成三角形。
(2) 不能。因为最长线段长为9 cm,4+5=9,所以不能组成三角形。
(3) 不能。因为最长线段长为10 cm,6.5+2.5＜10,所以不能组成三角形。
(4) 能。因为最长线段长为10 cm,6+4.5＞10,所以能组成三角形。
解析
【分析】
判断三条线段能否组成三角形的核心依据是三角形三边关系：三角形任意两边之和大于第三边。为了简化计算，无需逐一验证三组两边之和，只需先找出三条线段中的最长边，再验证另外两条较短线段的长度和是否大于最长边即可：若和大于最长边则能组成三角形，若和小于或等于最长边则不能组成三角形，后续我们按该方法对4组线段逐一判断即可。
【解析】
(1) 三条线段中最长边为5cm，计算两条较短边的和：3+4=7cm，7＞5，满足三角形三边关系，因此可以组成三角形。
(2) 三条线段中最长边为9cm，计算两条较短边的和：4+5=9cm，9=9，不满足两边之和大于第三边的要求，因此不能组成三角形。
(3) 三条线段中最长边为10cm，计算两条较短边的和：6.5+2.5=9cm，9＜10，不满足三角形三边关系，因此不能组成三角形。
(4) 三条线段中最长边为10cm，计算两条较短边的和：6+4.5=10.5cm，10.5＞10，满足三角形三边关系，因此可以组成三角形。
【答案】
(1) 能。因为最长线段长为5 cm,3+4＞5,所以能组成三角形。
(2) 不能。因为最长线段长为9 cm,4+5=9,所以不能组成三角形。
(3) 不能。因为最长线段长为10 cm,6.5+2.5＜10,所以不能组成三角形。
(4) 能。因为最长线段长为10 cm,6+4.5＞10,所以能组成三角形。
【知识点】
三角形三边关系、有理数大小比较
【点评】
本题属于三角形部分的基础题型，核心考查三角形三边关系的应用，掌握用“较短两边之和与最长边比较”的判断技巧，可有效减少计算量，提升解题准确率，是学习三角形相关内容必须掌握的基础技能。
【难度系数】
0.9
判断三条线段能否组成三角形的核心依据是三角形三边关系：三角形任意两边之和大于第三边。为了简化计算，无需逐一验证三组两边之和，只需先找出三条线段中的最长边，再验证另外两条较短线段的长度和是否大于最长边即可：若和大于最长边则能组成三角形，若和小于或等于最长边则不能组成三角形，后续我们按该方法对4组线段逐一判断即可。
【解析】
(1) 三条线段中最长边为5cm，计算两条较短边的和：3+4=7cm，7＞5，满足三角形三边关系，因此可以组成三角形。
(2) 三条线段中最长边为9cm，计算两条较短边的和：4+5=9cm，9=9，不满足两边之和大于第三边的要求，因此不能组成三角形。
(3) 三条线段中最长边为10cm，计算两条较短边的和：6.5+2.5=9cm，9＜10，不满足三角形三边关系，因此不能组成三角形。
(4) 三条线段中最长边为10cm，计算两条较短边的和：6+4.5=10.5cm，10.5＞10，满足三角形三边关系，因此可以组成三角形。
【答案】
(1) 能。因为最长线段长为5 cm,3+4＞5,所以能组成三角形。
(2) 不能。因为最长线段长为9 cm,4+5=9,所以不能组成三角形。
(3) 不能。因为最长线段长为10 cm,6.5+2.5＜10,所以不能组成三角形。
(4) 能。因为最长线段长为10 cm,6+4.5＞10,所以能组成三角形。
【知识点】
三角形三边关系、有理数大小比较
【点评】
本题属于三角形部分的基础题型，核心考查三角形三边关系的应用，掌握用“较短两边之和与最长边比较”的判断技巧，可有效减少计算量，提升解题准确率，是学习三角形相关内容必须掌握的基础技能。
【难度系数】
0.9
