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1. 将下列式子表示为分式：
(1) $x÷ y=$
(2) $2÷ ab=$
(3) $2ab÷(-a-2b)=$
(4) $(a^2+b^2)÷ a=$
(5) $-4x÷5ab^2=$
(6) $(x+1)÷(x^2+1)=$
(1) $x÷ y=$
$\frac{x}{y}$
；(2) $2÷ ab=$
$\frac{2}{ab}$
；(3) $2ab÷(-a-2b)=$
$-\frac{2ab}{a+2b}$
；(4) $(a^2+b^2)÷ a=$
$\frac{a^2+b^2}{a}$
；(5) $-4x÷5ab^2=$
$-\frac{4x}{5ab^2}$
；(6) $(x+1)÷(x^2+1)=$
$\frac{x+1}{x^2+1}$
。答案
$(1) \frac{x}{y}. $
$(2) \frac{2}{ab}. $
$(3) -\frac{2ab}{a+2b}. $
$(4) \frac{a^2+b^2}{a}. $
$(5) -\frac{4x}{5ab^2}. $
$(6) \frac{x+1}{x^2+1}.$
2. 当$x$满足什么条件时，下列分式有意义？
(1) $\frac{1}{2+x}$；
(2) $\frac{2-x}{2x+1}$；
(3) $\frac{x}{x^2 -1}$；
(4) $\frac{x^2 -1}{x^2 +1}$。
(1) $\frac{1}{2+x}$；
(2) $\frac{2-x}{2x+1}$；
(3) $\frac{x}{x^2 -1}$；
(4) $\frac{x^2 -1}{x^2 +1}$。
答案
1. （1）
对于分式$\frac{1}{2 + x}$，要使其有意义，则分母不能为0，即$2 + x\neq0$，解得$x\neq - 2$。
2. （2）
对于分式$\frac{2 - x}{2x + 1}$，分母$2x + 1\neq0$，
解$2x+1\neq0$，移项得$2x\neq - 1$，两边同时除以2，得$x\neq-\frac{1}{2}$。
3. （3）
对于分式$\frac{x}{x^{2}-1}$，分母$x^{2}-1\neq0$，
因为$x^{2}-1=(x + 1)(x - 1)$，所以$(x + 1)(x - 1)\neq0$，
则$x+1\neq0$且$x - 1\neq0$，解得$x\neq1$且$x\neq - 1$。
4. （4）
对于分式$\frac{x^{2}-1}{x^{2}+1}$，分母$x^{2}+1$，
因为$x^{2}\geqslant0$，所以$x^{2}+1\geqslant1$，即对于任意实数x，$x^{2}+1\neq0$。
综上，$（1）x\neq - 2$；$（2）x\neq-\frac{1}{2}$；$（3）x\neq1$且$x\neq - 1$；（4）x为任意实数。
对于分式$\frac{1}{2 + x}$，要使其有意义，则分母不能为0，即$2 + x\neq0$，解得$x\neq - 2$。
2. （2）
对于分式$\frac{2 - x}{2x + 1}$，分母$2x + 1\neq0$，
解$2x+1\neq0$，移项得$2x\neq - 1$，两边同时除以2，得$x\neq-\frac{1}{2}$。
3. （3）
对于分式$\frac{x}{x^{2}-1}$，分母$x^{2}-1\neq0$，
因为$x^{2}-1=(x + 1)(x - 1)$，所以$(x + 1)(x - 1)\neq0$，
则$x+1\neq0$且$x - 1\neq0$，解得$x\neq1$且$x\neq - 1$。
4. （4）
对于分式$\frac{x^{2}-1}{x^{2}+1}$，分母$x^{2}+1$，
因为$x^{2}\geqslant0$，所以$x^{2}+1\geqslant1$，即对于任意实数x，$x^{2}+1\neq0$。
综上，$（1）x\neq - 2$；$（2）x\neq-\frac{1}{2}$；$（3）x\neq1$且$x\neq - 1$；（4）x为任意实数。
3. 求下列分式的值：
(1) $\frac{x+2}{x^2+4x+4}$，其中 $x=3$；
(2) $\frac{xy}{x^2+y}$，其中 $x=-\frac{1}{2}$，$y=2$。
(1) $\frac{x+2}{x^2+4x+4}$，其中 $x=3$；
(2) $\frac{xy}{x^2+y}$，其中 $x=-\frac{1}{2}$，$y=2$。
答案
(1)
解：
先对$\frac{x + 2}{x^{2} + 4x + 4}$的分母进行因式分解，根据完全平方公式$a^2+2ab+b^2=(a + b)^2$，这里a=x，b = 2，则$x^{2}+4x + 4=(x + 2)^{2}$。
所以$\frac{x + 2}{x^{2} + 4x + 4}=\frac{x + 2}{(x + 2)^{2}}$，约分可得$\frac{1}{x + 2}$。
当x = 3时，代入$\frac{1}{x + 2}$得：$\frac{1}{3+2}=\frac{1}{5}$。
(2)
解：
当$x =-\frac{1}{2}$，y = 2时，将其代入$\frac{xy}{x^{2}+y}$中。
$xy=(-\frac{1}{2})×2=-1$，$x^{2}=(-\frac{1}{2})^{2}=\frac{1}{4}$，则$x^{2}+y=\frac{1}{4}+2=\frac{1 + 8}{4}=\frac{9}{4}$。
所以$\frac{xy}{x^{2}+y}=\frac{-1}{\frac{9}{4}}$，根据除法运算法则$a÷\frac{b}{c}=a×\frac{c}{b}（a=-1$，b = 9，c = 4），可得$\frac{-1}{\frac{9}{4}}=-1×\frac{4}{9}=-\frac{4}{9}$。
综上，答案依次为$(1)\boldsymbol{\frac{1}{5}}$；$(2)\boldsymbol{-\frac{4}{9}}$。
解：
先对$\frac{x + 2}{x^{2} + 4x + 4}$的分母进行因式分解，根据完全平方公式$a^2+2ab+b^2=(a + b)^2$，这里a=x，b = 2，则$x^{2}+4x + 4=(x + 2)^{2}$。
所以$\frac{x + 2}{x^{2} + 4x + 4}=\frac{x + 2}{(x + 2)^{2}}$，约分可得$\frac{1}{x + 2}$。
当x = 3时，代入$\frac{1}{x + 2}$得：$\frac{1}{3+2}=\frac{1}{5}$。
(2)
解：
当$x =-\frac{1}{2}$，y = 2时，将其代入$\frac{xy}{x^{2}+y}$中。
$xy=(-\frac{1}{2})×2=-1$，$x^{2}=(-\frac{1}{2})^{2}=\frac{1}{4}$，则$x^{2}+y=\frac{1}{4}+2=\frac{1 + 8}{4}=\frac{9}{4}$。
所以$\frac{xy}{x^{2}+y}=\frac{-1}{\frac{9}{4}}$，根据除法运算法则$a÷\frac{b}{c}=a×\frac{c}{b}（a=-1$，b = 9，c = 4），可得$\frac{-1}{\frac{9}{4}}=-1×\frac{4}{9}=-\frac{4}{9}$。
综上，答案依次为$(1)\boldsymbol{\frac{1}{5}}$；$(2)\boldsymbol{-\frac{4}{9}}$。
