7. 提升题 我国古代数学著作《算法统宗》里有这样一道题:我问开店李三公,众客都来到店中。一房七客多七客,一房九客一房空。后两句的意思是:如果每间客房住7人,那么有7人无房可住;如果每间客房住9人,那么就空出一间客房。
(1)该店有客房多少间?房客有多少人?
(2)假设李三公将客房进行改造后,房间数大大增加,每间客房收费25钱,且最多入住4人。订房优惠规则:一次性订房少于10间无优惠;10~19间给予九折优惠;20间及以上给予七折优惠。若“众客”再次一起入住,他们如何订房更合算?请说明理由。

解：(1)设该店有客房$x$间，根据题意列方程：
$7x + 7 = 9(x - 1)$
解得：$x=8$
房客总人数为：$7×8 +7 = 63$（人）
(2) 由题意，每间客房最多入住4人，$63÷4=15.75$，因此至少需要订16间客房。
分别计算两种可行订房方案的费用：
方案一：订16间客房，符合10~19间九折优惠规则，总费用为：
$25×16×0.9 = 360$（钱）
方案二：订20间客房，符合20间及以上七折优惠规则，总费用为：
$25×20×0.7 = 350$（钱）
因为$350＜360$，所以一次性订20间客房更合算。
答：(1)该店有客房8间，房客有63人；(2)他们一次性订20间房更合算。

【分析】
（1）第一问的解题核心是抓住“房客总人数固定不变”这一等量关系，我们可以设客房数量为未知数，分别用两种住宿安排的规则表示出总人数，列出一元一次方程求解得到客房数后，再代入任意一个总人数表达式即可算出房客总人数。
（2）第二问首先要根据总人数和每间房最多入住4人的限制，计算出至少需要订的客房数量，再结合不同档位的订房优惠规则，找出所有可行的订房方案，分别计算各方案的总费用后比较大小，就能得出最合算的订房方式。
【解析】
(1) 设该店有客房$x$间，根据房客总人数不变列方程：
$7x + 7 = 9(x - 1)$
去括号得：$7x + 7 = 9x - 9$
移项、合并同类项得：$2x = 16$
解得：$x = 8$
则房客总人数为：$7× 8 + 7 = 63$（人）
(2) 已知每间客房最多入住4人，计算最少订房数量：$63÷4=15.75$，由于房间数为正整数，因此至少需要订16间客房。
结合优惠规则，有两种可行订房方案：
方案一：订16间客房，符合10~19间九折优惠规则，总费用为：
$25× 16× 0.9 = 360$（钱）
方案二：订20间客房，符合20间及以上七折优惠规则，总费用为：
$25× 20× 0.7 = 350$（钱）
因为$350 ＜ 360$，所以订20间客房的费用更低。
【答案】
(1) 该店有客房8间，房客有63人；(2) 他们一次性订20间房更合算。
【知识点】
一元一次方程的应用，方案优化选择，有理数混合运算
【点评】
本题以古代数学典籍的问题为背景，结合生活消费场景，既考查了学生利用方程梳理等量关系、解决实际问题的能力，也要求学生全面分析规则下的所有可行方案，通过计算对比得出最优解，能有效锻炼学生的逻辑思维和知识应用能力。
【难度系数】
0.6