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1.《九章算术》中关于“盈不足”问题如下：“今有人共买物，人出五，盈三；人出四，不足二。问人数几何。”其大意：现有一些人共同买一个物品，若每人出5元，则还剩3元；若每人出4元，则还差2元。问：若设买这个物品共有x个人，则可列方程为。
答案
解：
由题意，物品的总价格固定不变，每人出5元剩余3元时，物品总价为$5x-3$；每人出4元还差2元时，物品总价为$4x+2$。
因此可列方程为：$5x - 3 = 4x + 2$
由题意，物品的总价格固定不变，每人出5元剩余3元时，物品总价为$5x-3$；每人出4元还差2元时，物品总价为$4x+2$。
因此可列方程为：$5x - 3 = 4x + 2$
解析
【分析】
列方程的核心是找到题目中的不变量作为等量关系，本题的不变量是物品的总价格。我们可以结合两种付费情况，分别用含人数x的式子表示物品总价，再让两个表示总价的式子相等，就能得到所求方程。首先分析第一种付费：每人出5元时总出钱为5x元，多出来3元，说明物价比总出钱少3元；再分析第二种付费：每人出4元时总出钱为4x元，还差2元，说明物价比总出钱多2元；最后利用物价相等的关系联立即可。
【解析】
设共有x个人，物品总价格固定不变：
1. 当每人出5元、盈余3元时，物品总价=总出钱数-盈余金额，即总价为$5x-3$；
2. 当每人出4元、还差2元时，物品总价=总出钱数+差额，即总价为$4x+2$；
由于两种情况对应的是同一个物品的总价，因此可列方程：$5x - 3 = 4x + 2$。
【答案】
$5x - 3 = 4x + 2$
【知识点】
1. 一元一次方程的应用
2. 找等量关系列方程
【点评】
本题是盈不足问题的基础考法，解题关键是快速定位题目中的不变量，通过不同表述方式表示同一个不变量建立等式，重点考察列一元一次方程的基础能力。
【难度系数】
0.8
列方程的核心是找到题目中的不变量作为等量关系，本题的不变量是物品的总价格。我们可以结合两种付费情况，分别用含人数x的式子表示物品总价，再让两个表示总价的式子相等，就能得到所求方程。首先分析第一种付费：每人出5元时总出钱为5x元，多出来3元，说明物价比总出钱少3元；再分析第二种付费：每人出4元时总出钱为4x元，还差2元，说明物价比总出钱多2元；最后利用物价相等的关系联立即可。
【解析】
设共有x个人，物品总价格固定不变：
1. 当每人出5元、盈余3元时，物品总价=总出钱数-盈余金额，即总价为$5x-3$；
2. 当每人出4元、还差2元时，物品总价=总出钱数+差额，即总价为$4x+2$；
由于两种情况对应的是同一个物品的总价，因此可列方程：$5x - 3 = 4x + 2$。
【答案】
$5x - 3 = 4x + 2$
【知识点】
1. 一元一次方程的应用
2. 找等量关系列方程
【点评】
本题是盈不足问题的基础考法，解题关键是快速定位题目中的不变量，通过不同表述方式表示同一个不变量建立等式，重点考察列一元一次方程的基础能力。
【难度系数】
0.8
2.某水产养殖户要在新开发的鱼塘里投放一批鱼苗。如果每亩投放鱼苗400尾，那么余下鱼苗800尾；如果每亩投放鱼苗500尾，那么缺少鱼苗300尾。设现有鱼苗x尾，那么可列方程为。
答案
解：
根据鱼塘的总亩数不变，由两种投放方式可得等量关系：
$\frac{x - 800}{400} = \frac{x + 300}{500}$
根据鱼塘的总亩数不变，由两种投放方式可得等量关系：
$\frac{x - 800}{400} = \frac{x + 300}{500}$
解析
【分析】
解题时首先要找到题目中的不变量，本题中鱼塘的总亩数是固定不变的，这是列方程的核心等量关系。接下来我们分别用含x的式子表示两种投放方式对应的鱼塘亩数：第一种投放方式下，余下800尾鱼苗，说明实际投放的鱼苗数是总鱼苗数减800，除以每亩投放的400尾就得到亩数；第二种投放方式下，缺少300尾鱼苗，说明要满足每亩500尾的投放量，总鱼苗数需要加上缺少的300尾，再除以每亩投放的500尾也得到亩数，两个亩数相等即可列出方程。
【解析】
因为鱼塘的总亩数不变，我们分别用两种投放情况表示亩数：
① 每亩投放400尾，余800尾：总投放鱼苗数为$(x-800)$尾，鱼塘亩数为$\frac{x-800}{400}$；
② 每亩投放500尾，缺300尾：满足投放需求的总鱼苗数为$(x+300)$尾，鱼塘亩数为$\frac{x+300}{500}$。
根据亩数相等，可列方程：$\frac{x - 800}{400} = \frac{x + 300}{500}$
【答案】
$\frac{x - 800}{400} = \frac{x + 300}{500}$
【知识点】
1. 一元一次方程的应用
2. 等量关系的寻找
【点评】
本题是一元一次方程应用的基础题型，解题的关键是准确抓住题目中的不变量建立等量关系，熟练掌握这类题型能为后续解决更复杂的实际应用问题打好基础。
【难度系数】
0.8
解题时首先要找到题目中的不变量，本题中鱼塘的总亩数是固定不变的，这是列方程的核心等量关系。接下来我们分别用含x的式子表示两种投放方式对应的鱼塘亩数：第一种投放方式下，余下800尾鱼苗，说明实际投放的鱼苗数是总鱼苗数减800，除以每亩投放的400尾就得到亩数；第二种投放方式下，缺少300尾鱼苗，说明要满足每亩500尾的投放量，总鱼苗数需要加上缺少的300尾，再除以每亩投放的500尾也得到亩数，两个亩数相等即可列出方程。
【解析】
因为鱼塘的总亩数不变，我们分别用两种投放情况表示亩数：
① 每亩投放400尾，余800尾：总投放鱼苗数为$(x-800)$尾，鱼塘亩数为$\frac{x-800}{400}$；
② 每亩投放500尾，缺300尾：满足投放需求的总鱼苗数为$(x+300)$尾，鱼塘亩数为$\frac{x+300}{500}$。
根据亩数相等，可列方程：$\frac{x - 800}{400} = \frac{x + 300}{500}$
【答案】
$\frac{x - 800}{400} = \frac{x + 300}{500}$
【知识点】
1. 一元一次方程的应用
2. 等量关系的寻找
【点评】
本题是一元一次方程应用的基础题型，解题的关键是准确抓住题目中的不变量建立等量关系，熟练掌握这类题型能为后续解决更复杂的实际应用问题打好基础。
【难度系数】
0.8
3.我国古代《孙子算经》卷中记载了“多人共车”问题，现改编如下：今有三人共车，二车空；二人共车，五人步，问人与车各几何。其大意：若3个人乘一辆车，则空2辆车；若2个人乘一辆车，则有5个人要步行。问：人与车数各是多少？设有$ x $个人，根据题意可列方程为。
答案
解：
根据总车数不变，3人乘一辆车时空2辆车，可得总车数为$\frac{x}{3}+2$；
2人乘一辆车时5人步行，可得总车数为$\frac{x-5}{2}$。
因此可列方程为：$\frac{x}{3} + 2 = \frac{x - 5}{2}$
根据总车数不变，3人乘一辆车时空2辆车，可得总车数为$\frac{x}{3}+2$；
2人乘一辆车时5人步行，可得总车数为$\frac{x-5}{2}$。
因此可列方程为：$\frac{x}{3} + 2 = \frac{x - 5}{2}$
解析
【分析】
要列出符合题意的方程，首先要找到题目中的不变量作为等量关系，本题中总车数是固定不变的。接下来我们分别用含总人数x的代数式表示两种乘车场景对应的总车数，让两个表示总车数的代数式相等即可得到方程。第一步处理“3人共车、空2辆车”的场景：总人数除以每车坐的3人得到已坐满的车辆数，再加空的2辆车就是总车数；第二步处理“2人共车、5人步行”的场景：总人数减去步行的5人得到实际坐车的人数，再除以每车坐的2人就是总车数；第三步利用总车数相等的关系列方程即可。
【解析】
已知设有x个人，本题的等量关系为：两种乘车方式对应的总车数相等。
1. 当3人共车、空2辆车时：坐满人的车辆数为$\frac{x}{3}$，加上空的2辆车，总车数可表示为$\frac{x}{3}+2$；
2. 当2人共车、5人步行时：坐车的人数为$x-5$，总车数可表示为$\frac{x-5}{2}$；
根据总车数相等，可列方程：$\frac{x}{3} + 2 = \frac{x - 5}{2}$
【答案】
$\frac{x}{3} + 2 = \frac{x - 5}{2}$
【知识点】
一元一次方程的应用；找等量关系列方程；列代数式
【点评】
本题改编自我国古代数学名题，解题核心是抓住不变量作为列方程的突破口，需要结合题干描述准确转化不同场景下的数量关系，避免出现漏加空车数量、漏减步行人数的错误。
【难度系数】
0.8
要列出符合题意的方程，首先要找到题目中的不变量作为等量关系，本题中总车数是固定不变的。接下来我们分别用含总人数x的代数式表示两种乘车场景对应的总车数，让两个表示总车数的代数式相等即可得到方程。第一步处理“3人共车、空2辆车”的场景：总人数除以每车坐的3人得到已坐满的车辆数，再加空的2辆车就是总车数；第二步处理“2人共车、5人步行”的场景：总人数减去步行的5人得到实际坐车的人数，再除以每车坐的2人就是总车数；第三步利用总车数相等的关系列方程即可。
【解析】
已知设有x个人，本题的等量关系为：两种乘车方式对应的总车数相等。
1. 当3人共车、空2辆车时：坐满人的车辆数为$\frac{x}{3}$，加上空的2辆车，总车数可表示为$\frac{x}{3}+2$；
2. 当2人共车、5人步行时：坐车的人数为$x-5$，总车数可表示为$\frac{x-5}{2}$；
根据总车数相等，可列方程：$\frac{x}{3} + 2 = \frac{x - 5}{2}$
【答案】
$\frac{x}{3} + 2 = \frac{x - 5}{2}$
【知识点】
一元一次方程的应用；找等量关系列方程；列代数式
【点评】
本题改编自我国古代数学名题，解题核心是抓住不变量作为列方程的突破口，需要结合题干描述准确转化不同场景下的数量关系，避免出现漏加空车数量、漏减步行人数的错误。
【难度系数】
0.8
4. 提升题 幻方的历史很悠久，传说最早出现在夏禹时代的“洛书”。在如图所示的三阶幻方中，每行、每列、每条对角线上的三个数之和都相等，且均为m，则m的值为。
答案
解：设三阶幻方正中间的数为x。
根据第一列三个数之和为m，可得第二行第一个数为：$m - 16 - 4 = m - 20$。
根据第二行三个数之和为m，列方程：
$(m - 20) + x + 7 = m$
化简得：$x - 13 = 0$
解得：$x = 13$
根据左上到右下的对角线三个数之和为m，可得第三行第三个数为：$m - 16 - x$。
根据第三列三个数之和为m，可得第一行第三个数为：$m - 7 - (m - 16 - x) = x + 9$。
根据右上到左下的对角线三个数之和为m，列方程：
$(x + 9) + x + 4 = m$
将$x=13$代入上式：
$(13 + 9) + 13 + 4 = m$
解得：$m = 39$
答：m的值为39。
根据第一列三个数之和为m，可得第二行第一个数为：$m - 16 - 4 = m - 20$。
根据第二行三个数之和为m，列方程：
$(m - 20) + x + 7 = m$
化简得：$x - 13 = 0$
解得：$x = 13$
根据左上到右下的对角线三个数之和为m，可得第三行第三个数为：$m - 16 - x$。
根据第三列三个数之和为m，可得第一行第三个数为：$m - 7 - (m - 16 - x) = x + 9$。
根据右上到左下的对角线三个数之和为m，列方程：
$(x + 9) + x + 4 = m$
将$x=13$代入上式：
$(13 + 9) + 13 + 4 = m$
解得：$m = 39$
答：m的值为39。
解析
【分析】
解题时首先抓住三阶幻方的核心特征：每行、每列、每条对角线上的三个数之和都等于m，以此作为等量关系列方程。首先设中间的数为x，先从已知数最多的第一列入手，表示出第二行第一个数，再利用第二行的和求出中间数x的取值，之后结合对角线、第三列的和的关系表示其余未知量，最后根据另一条对角线的和建立方程即可求出m的值。
【解析】
设三阶幻方正中间的数为x。
1. 根据第一列三个数之和为m，可得第二行第一个数为：$ m - 16 - 4 = m - 20 $。
2. 根据第二行三个数之和为m，列方程：
$ (m - 20) + x + 7 = m $
化简得：$ x - 13 = 0 $，解得$ x = 13 $。
3. 根据左上到右下的对角线三个数之和为m，可得第三行第三个数为：$ m - 16 - x $。
4. 根据第三列三个数之和为m，可得第一行第三个数为：$ m - 7 - (m - 16 - x) = x + 9 $。
5. 根据右上到左下的对角线三个数之和为m，列方程：
$ (x + 9) + x + 4 = m $
将$ x=13 $代入上式：
$ (13 + 9) + 13 + 4 = m $
解得：$ m = 39 $
【答案】
39
【知识点】
三阶幻方性质；一元一次方程的应用
【点评】
本题结合传统幻方知识考查方程的应用，解题核心是紧扣幻方的和相等的性质，通过设未知数、表示未知量、建立方程逐步推导，能有效考查逻辑推理能力和方程建模思想。
【难度系数】
0.6
解题时首先抓住三阶幻方的核心特征：每行、每列、每条对角线上的三个数之和都等于m，以此作为等量关系列方程。首先设中间的数为x，先从已知数最多的第一列入手，表示出第二行第一个数，再利用第二行的和求出中间数x的取值，之后结合对角线、第三列的和的关系表示其余未知量，最后根据另一条对角线的和建立方程即可求出m的值。
【解析】
设三阶幻方正中间的数为x。
1. 根据第一列三个数之和为m，可得第二行第一个数为：$ m - 16 - 4 = m - 20 $。
2. 根据第二行三个数之和为m，列方程：
$ (m - 20) + x + 7 = m $
化简得：$ x - 13 = 0 $，解得$ x = 13 $。
3. 根据左上到右下的对角线三个数之和为m，可得第三行第三个数为：$ m - 16 - x $。
4. 根据第三列三个数之和为m，可得第一行第三个数为：$ m - 7 - (m - 16 - x) = x + 9 $。
5. 根据右上到左下的对角线三个数之和为m，列方程：
$ (x + 9) + x + 4 = m $
将$ x=13 $代入上式：
$ (13 + 9) + 13 + 4 = m $
解得：$ m = 39 $
【答案】
39
【知识点】
三阶幻方性质；一元一次方程的应用
【点评】
本题结合传统幻方知识考查方程的应用，解题核心是紧扣幻方的和相等的性质，通过设未知数、表示未知量、建立方程逐步推导，能有效考查逻辑推理能力和方程建模思想。
【难度系数】
0.6
5.我国古代数学著作《算法统宗》中有一题：“林下牧童闹如簇，不知人数不知竹。每人六竿多十四，每人八竿恰齐足。”其大意是：牧童们在树下拿着竹竿高兴地玩耍，不知有多少人和竹竿。每人6竿，多14竿；每人8竿，恰好用完。请用列方程的方法求牧童的人数。
答案
解：设牧童的人数为x人。
根据题意列方程，得
$6x + 14 = 8x$
移项，得$8x - 6x = 14$
合并同类项，得$2x = 14$
系数化为1，得$x = 7$
答：牧童的人数为7人。
根据题意列方程，得
$6x + 14 = 8x$
移项，得$8x - 6x = 14$
合并同类项，得$2x = 14$
系数化为1，得$x = 7$
答：牧童的人数为7人。
解析
【分析】
这是一道一元一次方程的实际应用题，解题核心是找到题目中的不变量建立等量关系。首先明确本题中竹竿的总数量是固定不变的，我们设要求的牧童人数为x人，接下来用含x的式子分别表示两种分配方式下的竹竿总数量：①每人6竿多14竿时，总竹竿数为6x+14；②每人8竿恰好用完时，总竹竿数为8x。根据总竹竿数相等即可列出方程，再按一元一次方程的求解步骤计算即可得到结果。
【解析】
解：设牧童的人数为x人。
根据题意列方程，得
$6x + 14 = 8x$
移项，得$8x - 6x = 14$
合并同类项，得$2x = 14$
系数化为1，得$x = 7$
答：牧童的人数为7人。
【答案】
牧童的人数为7人
【知识点】
一元一次方程的应用；一元一次方程的解法；等量关系确定
【点评】
本题以我国古代数学著作《算法统宗》中的问题为背景，兼顾了传统文化渗透与数学知识应用的考查，解题关键是抓住竹竿总数不变的特点建立等量关系，是典型的一元一次方程基础应用题。
【难度系数】
0.8
这是一道一元一次方程的实际应用题，解题核心是找到题目中的不变量建立等量关系。首先明确本题中竹竿的总数量是固定不变的，我们设要求的牧童人数为x人，接下来用含x的式子分别表示两种分配方式下的竹竿总数量：①每人6竿多14竿时，总竹竿数为6x+14；②每人8竿恰好用完时，总竹竿数为8x。根据总竹竿数相等即可列出方程，再按一元一次方程的求解步骤计算即可得到结果。
【解析】
解：设牧童的人数为x人。
根据题意列方程，得
$6x + 14 = 8x$
移项，得$8x - 6x = 14$
合并同类项，得$2x = 14$
系数化为1，得$x = 7$
答：牧童的人数为7人。
【答案】
牧童的人数为7人
【知识点】
一元一次方程的应用；一元一次方程的解法；等量关系确定
【点评】
本题以我国古代数学著作《算法统宗》中的问题为背景，兼顾了传统文化渗透与数学知识应用的考查，解题关键是抓住竹竿总数不变的特点建立等量关系，是典型的一元一次方程基础应用题。
【难度系数】
0.8
6. 提升题 成语“朝三暮四”讲述了一名老翁喂养猴子的故事，老翁为了限制猴子的粮食，分早晚两次投喂，早上投喂的粮食是晚上的$\frac{3}{4}$，猴子对于这个安排很不满意。于是老翁将晚上粮食中的2 kg放在早上投喂，这样早上投喂的粮食是晚上的$\frac{4}{3}$，猴子很满意这样的安排。则调整前早上和晚上分别投喂多少粮食？
答案
解：设调整前晚上投喂$ x $ kg粮食，则调整前早上投喂$\frac{3}{4}x$ kg粮食。
根据题意列方程：
$\frac{3}{4}x + 2 = \frac{4}{3}(x - 2)$
去分母，两边同乘12，得：
$9x + 24 = 16(x - 2)$
去括号，得：
$9x + 24 = 16x - 32$
移项、合并同类项，得：
$-7x = -56$
系数化为1，得：
$x = 8$
调整前早上投喂的粮食重量为$\frac{3}{4} × 8 = 6\ \mathrm{kg}$。
答：调整前早上投喂6kg粮食，晚上投喂8kg粮食。
根据题意列方程：
$\frac{3}{4}x + 2 = \frac{4}{3}(x - 2)$
去分母，两边同乘12，得：
$9x + 24 = 16(x - 2)$
去括号，得：
$9x + 24 = 16x - 32$
移项、合并同类项，得：
$-7x = -56$
系数化为1，得：
$x = 8$
调整前早上投喂的粮食重量为$\frac{3}{4} × 8 = 6\ \mathrm{kg}$。
答：调整前早上投喂6kg粮食，晚上投喂8kg粮食。
解析
【分析】
这是一道和差倍分类的一元一次方程应用题，解题思路如下：首先明确未知量是调整前早上、晚上的投喂量，已知调整前早上投喂量是晚上的$\frac{3}{4}$，因此可以设调整前晚上投喂量为$x$kg，用含$x$的式子表示出早上的投喂量；再结合调整规则：晚上拿出2kg放到早上，调整后早上投喂量是晚上的$\frac{4}{3}$，以此作为等量关系列方程，最后按照一元一次方程的求解步骤计算即可。
【解析】
解：设调整前晚上投喂$ x $ kg粮食，则调整前早上投喂$\frac{3}{4}x$ kg粮食。
根据题意列方程：
$\frac{3}{4}x + 2 = \frac{4}{3}(x - 2)$
去分母，两边同乘12，得：
$9x + 24 = 16(x - 2)$
去括号，得：
$9x + 24 = 16x - 32$
移项、合并同类项，得：
$-7x = -56$
系数化为1，得：
$x = 8$
调整前早上投喂的粮食重量为$\frac{3}{4} × 8 = 6\ \mathrm{kg}$。
答：调整前早上投喂6kg粮食，晚上投喂8kg粮食。
【答案】
调整前早上投喂6kg粮食，晚上投喂8kg粮食。
【知识点】
一元一次方程的应用；和差倍分问题；一元一次方程的解法
【点评】
本题结合趣味成语故事考查方程的实际应用，解题关键是找准调整前后早晚投喂量的数量关系，正确列出方程，计算难度低，熟练掌握一元一次方程的求解步骤即可顺利解答。
【难度系数】
0.7
这是一道和差倍分类的一元一次方程应用题，解题思路如下：首先明确未知量是调整前早上、晚上的投喂量，已知调整前早上投喂量是晚上的$\frac{3}{4}$，因此可以设调整前晚上投喂量为$x$kg，用含$x$的式子表示出早上的投喂量；再结合调整规则：晚上拿出2kg放到早上，调整后早上投喂量是晚上的$\frac{4}{3}$，以此作为等量关系列方程，最后按照一元一次方程的求解步骤计算即可。
【解析】
解：设调整前晚上投喂$ x $ kg粮食，则调整前早上投喂$\frac{3}{4}x$ kg粮食。
根据题意列方程：
$\frac{3}{4}x + 2 = \frac{4}{3}(x - 2)$
去分母，两边同乘12，得：
$9x + 24 = 16(x - 2)$
去括号，得：
$9x + 24 = 16x - 32$
移项、合并同类项，得：
$-7x = -56$
系数化为1，得：
$x = 8$
调整前早上投喂的粮食重量为$\frac{3}{4} × 8 = 6\ \mathrm{kg}$。
答：调整前早上投喂6kg粮食，晚上投喂8kg粮食。
【答案】
调整前早上投喂6kg粮食，晚上投喂8kg粮食。
【知识点】
一元一次方程的应用；和差倍分问题；一元一次方程的解法
【点评】
本题结合趣味成语故事考查方程的实际应用，解题关键是找准调整前后早晚投喂量的数量关系，正确列出方程，计算难度低，熟练掌握一元一次方程的求解步骤即可顺利解答。
【难度系数】
0.7
