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1.将一块长方形铁皮的四个角各剪去一个边长为2 cm的小正方形，做成一个无盖的盒子。已知长方形铁皮的宽为10 cm，盒子的容积为300 cm³，则长方形铁皮的长为 cm。
答案
解：设长方形铁皮的长为$ x \, \mathrm{cm} $。
做成的无盖盒子的高为2 cm，盒子的宽为$ 10 - 2×2 = 6 \, \mathrm{cm} $，盒子的长为$ (x - 4) \, \mathrm{cm} $。
根据容积公式列方程：
$2 × 6 × (x - 4) = 300$
化简得：
$12(x - 4) = 300$
两边同时除以12：
$x - 4 = 25$
解得：
$x = 29$
答：长方形铁皮的长为29 cm。
做成的无盖盒子的高为2 cm，盒子的宽为$ 10 - 2×2 = 6 \, \mathrm{cm} $，盒子的长为$ (x - 4) \, \mathrm{cm} $。
根据容积公式列方程：
$2 × 6 × (x - 4) = 300$
化简得：
$12(x - 4) = 300$
两边同时除以12：
$x - 4 = 25$
解得：
$x = 29$
答：长方形铁皮的长为29 cm。
解析
【分析】
解题时首先明确等量关系：无盖长方体盒子的容积=长×宽×高。首先，四个角各剪去边长为2cm的小正方形后，折成的无盖盒子的高等于小正方形的边长2cm；原长方形铁皮的宽为10cm，左右各剪去2cm，因此盒子的宽为(10-2×2)cm；设原铁皮的长为x cm，上下各剪去2cm，因此盒子的长为(x-2×2)cm。将上述三个量代入容积公式即可列出一元一次方程，求解即可得到原铁皮的长。
【解析】
解：设长方形铁皮的长为$x\,\mathrm{cm}$。
折成的无盖盒子的高为剪去的小正方形边长，即$2\,\mathrm{cm}$；
盒子的宽为：$10 - 2×2 = 6\,\mathrm{cm}$；
盒子的长为：$x - 2×2 = (x-4)\,\mathrm{cm}$。
根据长方体容积公式列方程：
$2×6×(x-4)=300$
化简得：$12(x-4)=300$
两边同时除以12得：$x-4=25$
解得：$x=29$
【答案】
29
【知识点】
一元一次方程应用，长方体容积计算，列方程解应用题
【点评】
本题是一元一次方程在几何实际问题中的典型应用，解题关键是准确梳理剪去小正方形后，无盖盒子的长、宽、高与原长方形铁皮尺寸的对应关系，结合容积公式建立方程求解即可，侧重考查学生将实际问题转化为数学模型的能力。
【难度系数】
0.7
解题时首先明确等量关系：无盖长方体盒子的容积=长×宽×高。首先，四个角各剪去边长为2cm的小正方形后，折成的无盖盒子的高等于小正方形的边长2cm；原长方形铁皮的宽为10cm，左右各剪去2cm，因此盒子的宽为(10-2×2)cm；设原铁皮的长为x cm，上下各剪去2cm，因此盒子的长为(x-2×2)cm。将上述三个量代入容积公式即可列出一元一次方程，求解即可得到原铁皮的长。
【解析】
解：设长方形铁皮的长为$x\,\mathrm{cm}$。
折成的无盖盒子的高为剪去的小正方形边长，即$2\,\mathrm{cm}$；
盒子的宽为：$10 - 2×2 = 6\,\mathrm{cm}$；
盒子的长为：$x - 2×2 = (x-4)\,\mathrm{cm}$。
根据长方体容积公式列方程：
$2×6×(x-4)=300$
化简得：$12(x-4)=300$
两边同时除以12得：$x-4=25$
解得：$x=29$
【答案】
29
【知识点】
一元一次方程应用，长方体容积计算，列方程解应用题
【点评】
本题是一元一次方程在几何实际问题中的典型应用，解题关键是准确梳理剪去小正方形后，无盖盒子的长、宽、高与原长方形铁皮尺寸的对应关系，结合容积公式建立方程求解即可，侧重考查学生将实际问题转化为数学模型的能力。
【难度系数】
0.7
2.某工厂要锻造一个直径为100 mm、高为80 mm的圆柱形毛坯，需截取的直径为80 mm的圆柱形钢材的长为 mm。
答案
解：设需截取的直径为80 mm的圆柱形钢材的长为x mm。
根据锻造前后钢材体积不变，列方程得：
$π × (\dfrac{100}{2})^2 × 80 = π × (\dfrac{80}{2})^2 × x$
约去$π$，化简得：
$50^2 × 80 = 40^2 × x$
$2500 × 80 = 1600x$
$200000 = 1600x$
解得：$x=125$
答：需截取的直径为80 mm的圆柱形钢材的长为125 mm。
根据锻造前后钢材体积不变，列方程得：
$π × (\dfrac{100}{2})^2 × 80 = π × (\dfrac{80}{2})^2 × x$
约去$π$，化简得：
$50^2 × 80 = 40^2 × x$
$2500 × 80 = 1600x$
$200000 = 1600x$
解得：$x=125$
答：需截取的直径为80 mm的圆柱形钢材的长为125 mm。
解析
【分析】
解决这道题首先要明确锻造过程的特点：钢材只是从一种圆柱形变为另一种圆柱形，形状发生改变但总体积没有变化，这是列方程的核心等量关系。接下来回忆圆柱体积公式：圆柱体积=π×半径²×高（长）。我们可以设需要截取的钢材长度为x mm，分别表示出锻造前钢材的体积和锻造后毛坯的体积，令二者相等列出一元一次方程，再求解就能得到答案。
【解析】
解：设需截取的直径为80 mm的圆柱形钢材的长为x mm。
根据锻造前后钢材体积不变，列方程得：
$π × (\dfrac{100}{2})^2 × 80 = π × (\dfrac{80}{2})^2 × x$
约去$π$，化简得：
$50^2 × 80 = 40^2 × x$
$2500 × 80 = 1600x$
$200000 = 1600x$
解得：$x=125$
【答案】
125
【知识点】
等积变换问题；一元一次方程的应用；圆柱体积计算
【点评】
本题是典型的等积变形类应用题，解题核心是抓住“形变体积不变”的等量关系，只要熟练掌握圆柱体积公式，能正确梳理题目中的数量关系列方程，即可快速求解。
【难度系数】
0.8
解决这道题首先要明确锻造过程的特点：钢材只是从一种圆柱形变为另一种圆柱形，形状发生改变但总体积没有变化，这是列方程的核心等量关系。接下来回忆圆柱体积公式：圆柱体积=π×半径²×高（长）。我们可以设需要截取的钢材长度为x mm，分别表示出锻造前钢材的体积和锻造后毛坯的体积，令二者相等列出一元一次方程，再求解就能得到答案。
【解析】
解：设需截取的直径为80 mm的圆柱形钢材的长为x mm。
根据锻造前后钢材体积不变，列方程得：
$π × (\dfrac{100}{2})^2 × 80 = π × (\dfrac{80}{2})^2 × x$
约去$π$，化简得：
$50^2 × 80 = 40^2 × x$
$2500 × 80 = 1600x$
$200000 = 1600x$
解得：$x=125$
【答案】
125
【知识点】
等积变换问题；一元一次方程的应用；圆柱体积计算
【点评】
本题是典型的等积变形类应用题，解题核心是抓住“形变体积不变”的等量关系，只要熟练掌握圆柱体积公式，能正确梳理题目中的数量关系列方程，即可快速求解。
【难度系数】
0.8
3.如图,在周长为10 m的长方形窗户上钉一块宽为1 m的长方形遮阳布,若使透光部分正好是一个正方形,则钉好后透光部分的面积为。
答案
解：设透光部分正方形的边长为$ x \, \mathrm{m} $，则原长方形窗户的水平边长为$ x \, \mathrm{m} $，竖直方向的边长为$ (x + 1) \, \mathrm{m} $。
根据长方形周长公式列方程：
$2[x + (x + 1)] = 10$
解方程：
$\begin{aligned}2(2x + 1) &= 10 \\2x + 1 &= 5 \\2x &= 4 \\x &= 2\end{aligned}$
透光部分的面积为$ x^2 = 2^2 = 4 \, \mathrm{m}^2 $。
答：钉好后透光部分的面积为$\boldsymbol{4 \, \mathrm{m}^2}$。
根据长方形周长公式列方程：
$2[x + (x + 1)] = 10$
解方程：
$\begin{aligned}2(2x + 1) &= 10 \\2x + 1 &= 5 \\2x &= 4 \\x &= 2\end{aligned}$
透光部分的面积为$ x^2 = 2^2 = 4 \, \mathrm{m}^2 $。
答：钉好后透光部分的面积为$\boldsymbol{4 \, \mathrm{m}^2}$。
解析
【分析】
要解决这道题，首先我们需要梳理已知条件和量之间的关系：已知原长方形窗户周长为10m，遮阳布宽1m，透光部分为正方形。要计算透光面积，首先得求出透光正方形的边长。我们可以先设正方形边长为x m：首先透光正方形的水平边长和原长方形的水平边长相等，即原长方形水平边长为x m；原长方形的竖直边长等于正方形边长加上遮阳布的宽度1m，也就是(x+1)m。接下来我们就可以利用长方形周长公式列一元一次方程，解出x后代入正方形面积公式就能得到透光部分的面积。
【解析】
设透光部分正方形的边长为$ x \, \mathrm{m} $，则原长方形窗户的水平边长为$ x \, \mathrm{m} $，竖直方向的边长为$ (x + 1) \, \mathrm{m} $。
根据长方形周长公式列方程：
$2[x + (x + 1)] = 10$
解方程：
$\begin{aligned}2(2x + 1) &= 10 \\2x + 1 &= 5 \\2x &= 4 \\x &= 2\end{aligned}$
透光部分的面积为$ x^2 = 2^2 = 4 \, \mathrm{m}^2 $。
【答案】
$4 \, \mathrm{m}^2$
【知识点】
一元一次方程的应用、长方形周长计算、正方形面积计算
【点评】
这道题是结合生活场景的方程应用题，解题核心是找准原长方形边长和透光正方形边长的数量关系，再结合几何公式建立方程求解，能有效考查学生将实际问题转化为数学问题的能力。
【难度系数】
0.7
要解决这道题，首先我们需要梳理已知条件和量之间的关系：已知原长方形窗户周长为10m，遮阳布宽1m，透光部分为正方形。要计算透光面积，首先得求出透光正方形的边长。我们可以先设正方形边长为x m：首先透光正方形的水平边长和原长方形的水平边长相等，即原长方形水平边长为x m；原长方形的竖直边长等于正方形边长加上遮阳布的宽度1m，也就是(x+1)m。接下来我们就可以利用长方形周长公式列一元一次方程，解出x后代入正方形面积公式就能得到透光部分的面积。
【解析】
设透光部分正方形的边长为$ x \, \mathrm{m} $，则原长方形窗户的水平边长为$ x \, \mathrm{m} $，竖直方向的边长为$ (x + 1) \, \mathrm{m} $。
根据长方形周长公式列方程：
$2[x + (x + 1)] = 10$
解方程：
$\begin{aligned}2(2x + 1) &= 10 \\2x + 1 &= 5 \\2x &= 4 \\x &= 2\end{aligned}$
透光部分的面积为$ x^2 = 2^2 = 4 \, \mathrm{m}^2 $。
【答案】
$4 \, \mathrm{m}^2$
【知识点】
一元一次方程的应用、长方形周长计算、正方形面积计算
【点评】
这道题是结合生活场景的方程应用题，解题核心是找准原长方形边长和透光正方形边长的数量关系，再结合几何公式建立方程求解，能有效考查学生将实际问题转化为数学问题的能力。
【难度系数】
0.7
4.如图，四个一样大的小长方形拼成一个大长方形，如果大长方形的周长为12 cm，那么小长方形的周长为 cm。
答案
解：设小长方形的宽为$ x \, \mathrm{cm} $，由拼图可知小长方形的长为$ 2x \, \mathrm{cm} $。
大长方形的长为$ x + 2x + x = 4x \, \mathrm{cm} $，大长方形的宽为$ 2x \, \mathrm{cm} $。
根据大长方形周长为12 cm，列方程：
$2×(4x + 2x) = 12$
$12x = 12$
$x = 1$
则小长方形的长为$ 2×1 = 2 \, \mathrm{cm} $，宽为$ 1 \, \mathrm{cm} $，
小长方形的周长为$ 2×(2+1) = 6 \, \mathrm{cm} $。
答：小长方形的周长为$\boldsymbol{6}$ cm。
大长方形的长为$ x + 2x + x = 4x \, \mathrm{cm} $，大长方形的宽为$ 2x \, \mathrm{cm} $。
根据大长方形周长为12 cm，列方程：
$2×(4x + 2x) = 12$
$12x = 12$
$x = 1$
则小长方形的长为$ 2×1 = 2 \, \mathrm{cm} $，宽为$ 1 \, \mathrm{cm} $，
小长方形的周长为$ 2×(2+1) = 6 \, \mathrm{cm} $。
答：小长方形的周长为$\boldsymbol{6}$ cm。
解析
【分析】
解题时首先观察拼接图形，先找小长方形长和宽的关系：观察中间上下摆放的2个小长方形，可知小长方形的长等于2倍的宽；接下来分析大长方形的长和宽与小长方形长宽的关系：大长方形的长=小长方形的宽+小长方形的长+小长方形的宽，大长方形的宽等于小长方形的长；再结合大长方形周长已知的条件，设小长方形的宽为未知数，用未知数表示出大长方形的长宽，根据长方形周长公式列一元一次方程求解，最后代入小长方形周长公式计算即可。
【解析】
设小长方形的宽为$ x \, \mathrm{cm} $，由拼图可知小长方形的长为$ 2x \, \mathrm{cm} $。
则大长方形的长为$ x + 2x + x = 4x \, \mathrm{cm} $，大长方形的宽为$ 2x \, \mathrm{cm} $。
根据长方形周长公式$C=2×(长+宽)$，结合大长方形周长为12 cm，列方程：
$\begin{aligned}2×(4x + 2x) &= 12 \\12x &= 12 \\x &= 1\end{aligned}$
因此小长方形的长为$2×1 = 2 \, \mathrm{cm}$，宽为$1 \, \mathrm{cm}$，
小长方形的周长为$2×(2+1) = 6 \, \mathrm{cm}$。
【答案】
6
【知识点】
一元一次方程应用、长方形周长计算、几何等量关系
【点评】
本题解题核心是通过观察拼接图形，挖掘出小长方形长与宽的隐藏数量关系，再结合周长公式建立方程求解，侧重考察数形结合分析问题的能力，细心观察图形即可顺利解题。
【难度系数】
0.7
解题时首先观察拼接图形，先找小长方形长和宽的关系：观察中间上下摆放的2个小长方形，可知小长方形的长等于2倍的宽；接下来分析大长方形的长和宽与小长方形长宽的关系：大长方形的长=小长方形的宽+小长方形的长+小长方形的宽，大长方形的宽等于小长方形的长；再结合大长方形周长已知的条件，设小长方形的宽为未知数，用未知数表示出大长方形的长宽，根据长方形周长公式列一元一次方程求解，最后代入小长方形周长公式计算即可。
【解析】
设小长方形的宽为$ x \, \mathrm{cm} $，由拼图可知小长方形的长为$ 2x \, \mathrm{cm} $。
则大长方形的长为$ x + 2x + x = 4x \, \mathrm{cm} $，大长方形的宽为$ 2x \, \mathrm{cm} $。
根据长方形周长公式$C=2×(长+宽)$，结合大长方形周长为12 cm，列方程：
$\begin{aligned}2×(4x + 2x) &= 12 \\12x &= 12 \\x &= 1\end{aligned}$
因此小长方形的长为$2×1 = 2 \, \mathrm{cm}$，宽为$1 \, \mathrm{cm}$，
小长方形的周长为$2×(2+1) = 6 \, \mathrm{cm}$。
【答案】
6
【知识点】
一元一次方程应用、长方形周长计算、几何等量关系
【点评】
本题解题核心是通过观察拼接图形，挖掘出小长方形长与宽的隐藏数量关系，再结合周长公式建立方程求解，侧重考察数形结合分析问题的能力，细心观察图形即可顺利解题。
【难度系数】
0.7
5.如图,用直径为200 mm的圆钢锻造一个长、宽、高分别为300 mm,300 mm和90 mm的长方体毛坯底板,应截取多长的圆钢?(结果保留π)
答案
解：设应截取$x\ \mathrm{mm}$长的圆钢。
根据锻造前后体积相等，列方程得：
$π × (\frac{200}{2})^2 · x = 300 × 300 × 90$
化简得：
$10000π x = 8100000$
解得：
$x=\frac{810}{π}$
答：应截取$\frac{810}{π}\ \mathrm{mm}$长的圆钢。
根据锻造前后体积相等，列方程得：
$π × (\frac{200}{2})^2 · x = 300 × 300 × 90$
化简得：
$10000π x = 8100000$
解得：
$x=\frac{810}{π}$
答：应截取$\frac{810}{π}\ \mathrm{mm}$长的圆钢。
解析
【分析】
本题属于等积变形类应用题，解题的核心是抓住锻造前后物体体积不变这一关键等量关系。首先我们设截取圆钢的长度为未知数，分别根据圆柱、长方体的体积公式表示出圆钢和长方体毛坯的体积，再依据体积相等建立一元一次方程，最后求解方程即可得到答案。
【解析】
解：设应截取$x\ \mathrm{mm}$长的圆钢。
根据锻造前后体积相等，列方程得：
$π × (\frac{200}{2})^2 · x = 300 × 300 × 90$
化简得：
$10000π x = 8100000$
两边同时除以$10000π$，解得：
$x=\frac{810}{π}$
【答案】
应截取$\frac{810}{π}\ \mathrm{mm}$长的圆钢。
【知识点】
一元一次方程的应用；圆柱体积计算；长方体体积计算
【点评】
本题是几何等积变形的基础题型，重点考查学生对等量关系的提取能力和常见几何体体积公式的应用能力，解题时注意区分圆柱的直径和半径，代入公式计算即可。
【难度系数】
0.7
本题属于等积变形类应用题，解题的核心是抓住锻造前后物体体积不变这一关键等量关系。首先我们设截取圆钢的长度为未知数，分别根据圆柱、长方体的体积公式表示出圆钢和长方体毛坯的体积，再依据体积相等建立一元一次方程，最后求解方程即可得到答案。
【解析】
解：设应截取$x\ \mathrm{mm}$长的圆钢。
根据锻造前后体积相等，列方程得：
$π × (\frac{200}{2})^2 · x = 300 × 300 × 90$
化简得：
$10000π x = 8100000$
两边同时除以$10000π$，解得：
$x=\frac{810}{π}$
【答案】
应截取$\frac{810}{π}\ \mathrm{mm}$长的圆钢。
【知识点】
一元一次方程的应用；圆柱体积计算；长方体体积计算
【点评】
本题是几何等积变形的基础题型，重点考查学生对等量关系的提取能力和常见几何体体积公式的应用能力，解题时注意区分圆柱的直径和半径，代入公式计算即可。
【难度系数】
0.7
6. 提升题 要建一个长方形养鸡场，养鸡场的一边靠墙，另三边用竹篱笆围成，墙对面有一个2 m宽的门，如图所示。围成长方形的养鸡场除门之外四周不能有空隙。篱笆的总长度为36 m，若墙的长为18 m，要求长方形养鸡场的长比宽多11 m（规定与墙平行的边为长边），围成这样的养鸡场的长和宽各为多少？该设计是否合理？
答案
解：设长方形养鸡场的宽为$ x \, \mathrm{m} $，则与墙平行的长边长度为$ (x+11) \, \mathrm{m} $。
根据题意列方程得：
$2x + (x + 11) - 2 = 36$
解方程：
$3x + 9 = 36$
$3x = 27$
$x = 9$
则长边长度为：$ x + 11 = 9 + 11 = 20 \, (\mathrm{m}) $
因为墙的长度为18 m，$ 20 ＞ 18 $，长边长度超过墙的可利用长度，无法满足搭建要求。
答：围成的养鸡场的长为20 m，宽为9 m，该设计不合理。
根据题意列方程得：
$2x + (x + 11) - 2 = 36$
解方程：
$3x + 9 = 36$
$3x = 27$
$x = 9$
则长边长度为：$ x + 11 = 9 + 11 = 20 \, (\mathrm{m}) $
因为墙的长度为18 m，$ 20 ＞ 18 $，长边长度超过墙的可利用长度，无法满足搭建要求。
答：围成的养鸡场的长为20 m，宽为9 m，该设计不合理。
解析
【分析】
解题时首先明确题目条件：与墙平行的边为长边，长比宽多11m，三边篱笆总长度为36m，且长边处有2m宽的门不需要篱笆，墙的可利用长度仅18m。我们可以先设宽为x m，那么长边就可以表示为(x+11)m，再根据“两个宽的长度+长边长度-门的宽度=篱笆总长度”这一等量关系列一元一次方程，求解得到长和宽的数值后，再将长边长度与墙长对比，判断设计是否符合实际要求。
【解析】
解：设长方形养鸡场的宽为$ x \, \mathrm{m} $，则与墙平行的长边长度为$ (x+11) \, \mathrm{m} $。
根据题意列方程得：
$2x + (x + 11) - 2 = 36$
解方程：
$3x + 9 = 36$
$3x = 27$
$x = 9$
则长边长度为：$ x + 11 = 9 + 11 = 20 \, (\mathrm{m}) $
因为墙的长度为18 m，$ 20 ＞ 18 $，长边长度超过墙的可利用长度，无法满足搭建要求。
【答案】
围成的养鸡场的长为20 m，宽为9 m，该设计不合理。
【知识点】
一元一次方程应用，长方形周长计算，方案合理性判断
【点评】
本题是方程实际应用的典型题型，易错点有两处：一是列方程时容易忽略门不需要篱笆的条件，误把长边长度直接计入篱笆总长；二是求解方程后忘记结合墙长的实际限制判断设计是否可行，解题时要注意结合实际条件分析问题，避免遗漏判断步骤。
【难度系数】
0.6
解题时首先明确题目条件：与墙平行的边为长边，长比宽多11m，三边篱笆总长度为36m，且长边处有2m宽的门不需要篱笆，墙的可利用长度仅18m。我们可以先设宽为x m，那么长边就可以表示为(x+11)m，再根据“两个宽的长度+长边长度-门的宽度=篱笆总长度”这一等量关系列一元一次方程，求解得到长和宽的数值后，再将长边长度与墙长对比，判断设计是否符合实际要求。
【解析】
解：设长方形养鸡场的宽为$ x \, \mathrm{m} $，则与墙平行的长边长度为$ (x+11) \, \mathrm{m} $。
根据题意列方程得：
$2x + (x + 11) - 2 = 36$
解方程：
$3x + 9 = 36$
$3x = 27$
$x = 9$
则长边长度为：$ x + 11 = 9 + 11 = 20 \, (\mathrm{m}) $
因为墙的长度为18 m，$ 20 ＞ 18 $，长边长度超过墙的可利用长度，无法满足搭建要求。
【答案】
围成的养鸡场的长为20 m，宽为9 m，该设计不合理。
【知识点】
一元一次方程应用，长方形周长计算，方案合理性判断
【点评】
本题是方程实际应用的典型题型，易错点有两处：一是列方程时容易忽略门不需要篱笆的条件，误把长边长度直接计入篱笆总长；二是求解方程后忘记结合墙长的实际限制判断设计是否可行，解题时要注意结合实际条件分析问题，避免遗漏判断步骤。
【难度系数】
0.6
