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1.将一块长方形铁皮的四个角各剪去一个边长为2 cm的小正方形，做成一个无盖的盒子。已知长方形铁皮的宽为10 cm，盒子的容积为300 cm³，则长方形铁皮的长为 cm。
答案
解：设长方形铁皮的长为$ x \, \mathrm{cm} $。
做成的无盖盒子的高为2 cm，盒子的宽为$ 10 - 2×2 = 6 \, \mathrm{cm} $，盒子的长为$ (x - 4) \, \mathrm{cm} $。
根据容积公式列方程：
$2 × 6 × (x - 4) = 300$
化简得：
$12(x - 4) = 300$
两边同时除以12：
$x - 4 = 25$
解得：
$x = 29$
答：长方形铁皮的长为29 cm。
做成的无盖盒子的高为2 cm，盒子的宽为$ 10 - 2×2 = 6 \, \mathrm{cm} $，盒子的长为$ (x - 4) \, \mathrm{cm} $。
根据容积公式列方程：
$2 × 6 × (x - 4) = 300$
化简得：
$12(x - 4) = 300$
两边同时除以12：
$x - 4 = 25$
解得：
$x = 29$
答：长方形铁皮的长为29 cm。
2.某工厂要锻造一个直径为100 mm、高为80 mm的圆柱形毛坯，需截取的直径为80 mm的圆柱形钢材的长为 mm。
答案
解：设需截取的直径为80 mm的圆柱形钢材的长为x mm。
根据锻造前后钢材体积不变，列方程得：
$π × (\dfrac{100}{2})^2 × 80 = π × (\dfrac{80}{2})^2 × x$
约去$π$，化简得：
$50^2 × 80 = 40^2 × x$
$2500 × 80 = 1600x$
$200000 = 1600x$
解得：$x=125$
答：需截取的直径为80 mm的圆柱形钢材的长为125 mm。
根据锻造前后钢材体积不变，列方程得：
$π × (\dfrac{100}{2})^2 × 80 = π × (\dfrac{80}{2})^2 × x$
约去$π$，化简得：
$50^2 × 80 = 40^2 × x$
$2500 × 80 = 1600x$
$200000 = 1600x$
解得：$x=125$
答：需截取的直径为80 mm的圆柱形钢材的长为125 mm。
3.如图,在周长为10 m的长方形窗户上钉一块宽为1 m的长方形遮阳布,若使透光部分正好是一个正方形,则钉好后透光部分的面积为。
答案
解：设透光部分正方形的边长为$ x \, \mathrm{m} $，则原长方形窗户的水平边长为$ x \, \mathrm{m} $，竖直方向的边长为$ (x + 1) \, \mathrm{m} $。
根据长方形周长公式列方程：
$2[x + (x + 1)] = 10$
解方程：
$\begin{aligned}2(2x + 1) &= 10 \\2x + 1 &= 5 \\2x &= 4 \\x &= 2\end{aligned}$
透光部分的面积为$ x^2 = 2^2 = 4 \, \mathrm{m}^2 $。
答：钉好后透光部分的面积为$\boldsymbol{4 \, \mathrm{m}^2}$。
根据长方形周长公式列方程：
$2[x + (x + 1)] = 10$
解方程：
$\begin{aligned}2(2x + 1) &= 10 \\2x + 1 &= 5 \\2x &= 4 \\x &= 2\end{aligned}$
透光部分的面积为$ x^2 = 2^2 = 4 \, \mathrm{m}^2 $。
答：钉好后透光部分的面积为$\boldsymbol{4 \, \mathrm{m}^2}$。
4.如图，四个一样大的小长方形拼成一个大长方形，如果大长方形的周长为12 cm，那么小长方形的周长为 cm。
答案
解：设小长方形的宽为$ x \, \mathrm{cm} $，由拼图可知小长方形的长为$ 2x \, \mathrm{cm} $。
大长方形的长为$ x + 2x + x = 4x \, \mathrm{cm} $，大长方形的宽为$ 2x \, \mathrm{cm} $。
根据大长方形周长为12 cm，列方程：
$2×(4x + 2x) = 12$
$12x = 12$
$x = 1$
则小长方形的长为$ 2×1 = 2 \, \mathrm{cm} $，宽为$ 1 \, \mathrm{cm} $，
小长方形的周长为$ 2×(2+1) = 6 \, \mathrm{cm} $。
答：小长方形的周长为$\boldsymbol{6}$ cm。
大长方形的长为$ x + 2x + x = 4x \, \mathrm{cm} $，大长方形的宽为$ 2x \, \mathrm{cm} $。
根据大长方形周长为12 cm，列方程：
$2×(4x + 2x) = 12$
$12x = 12$
$x = 1$
则小长方形的长为$ 2×1 = 2 \, \mathrm{cm} $，宽为$ 1 \, \mathrm{cm} $，
小长方形的周长为$ 2×(2+1) = 6 \, \mathrm{cm} $。
答：小长方形的周长为$\boldsymbol{6}$ cm。
5.如图,用直径为200 mm的圆钢锻造一个长、宽、高分别为300 mm,300 mm和90 mm的长方体毛坯底板,应截取多长的圆钢?(结果保留π)
答案
解：设应截取$x\ \mathrm{mm}$长的圆钢。
根据锻造前后体积相等，列方程得：
$π × (\frac{200}{2})^2 · x = 300 × 300 × 90$
化简得：
$10000π x = 8100000$
解得：
$x=\frac{810}{π}$
答：应截取$\frac{810}{π}\ \mathrm{mm}$长的圆钢。
根据锻造前后体积相等，列方程得：
$π × (\frac{200}{2})^2 · x = 300 × 300 × 90$
化简得：
$10000π x = 8100000$
解得：
$x=\frac{810}{π}$
答：应截取$\frac{810}{π}\ \mathrm{mm}$长的圆钢。
6. 提升题 要建一个长方形养鸡场，养鸡场的一边靠墙，另三边用竹篱笆围成，墙对面有一个2 m宽的门，如图所示。围成长方形的养鸡场除门之外四周不能有空隙。篱笆的总长度为36 m，若墙的长为18 m，要求长方形养鸡场的长比宽多11 m（规定与墙平行的边为长边），围成这样的养鸡场的长和宽各为多少？该设计是否合理？
答案
解：设长方形养鸡场的宽为$ x \, \mathrm{m} $，则与墙平行的长边长度为$ (x+11) \, \mathrm{m} $。
根据题意列方程得：
$2x + (x + 11) - 2 = 36$
解方程：
$3x + 9 = 36$
$3x = 27$
$x = 9$
则长边长度为：$ x + 11 = 9 + 11 = 20 \, (\mathrm{m}) $
因为墙的长度为18 m，$ 20 ＞ 18 $，长边长度超过墙的可利用长度，无法满足搭建要求。
答：围成的养鸡场的长为20 m，宽为9 m，该设计不合理。
根据题意列方程得：
$2x + (x + 11) - 2 = 36$
解方程：
$3x + 9 = 36$
$3x = 27$
$x = 9$
则长边长度为：$ x + 11 = 9 + 11 = 20 \, (\mathrm{m}) $
因为墙的长度为18 m，$ 20 ＞ 18 $，长边长度超过墙的可利用长度，无法满足搭建要求。
答：围成的养鸡场的长为20 m，宽为9 m，该设计不合理。
